nbhkdz.com冰点文库

第4讲 数列求和


1.在数列{an}中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则 S60 的值为( ) A.990 B.1 000 C.1 100 D.99 解析:选 A.n 为奇数时,an+2-an=0,an=2;n 为偶数时,an+2-an=2,an=n.故 S60 =2×30+(2+4+?+60)=990. 2.(2015· 山东济南期末)已知{an}为等差数列,a1

0=33,a2=1,Sn 为数列{an}的前 n 项 和,则 S20-2S10 等于( ) A.40 B.200 C.400 D.20 20(a1+a20) 10(a1+a10) 解析:选 C.S20-2S10= -2× 2 2 =10(a20-a10)=100d. 又 a10=a2+8d, ∴33=1+8d, ∴d=4. ∴S20-2S10=400. ?1? 3.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列?a ?的 ? n? 前 5 项和为( ) 15 31 A. 或 5 B. 或 5 8 16 31 15 C. D. 16 8 9(1-q3) 1-q6 解析: 选 C.设数列{an}的公比为 q.由题意可知 q≠1,且 = ,解得 q=2, 1-q 1-q ?1? 1 31 所以数列?a ?是以 1 为首项, 为公比的等比数列,由求和公式可得 S5= . 2 16 ? n? 4.(2015· 皖西七校联考(一))已知数列{an}是等差数列,a1=tan 225°,a5=13a1,设 Sn 为数列{(-1)nan}的前 n 项和,则 S2 016=( ) A.2 016 B.-2 016 C.3 024 D.-3 024 a5-a1 13-1 解析:选 C.∵a1=tan 225°=1,∴a5=13a1=13,则公差 d= = =3, 4 5-1 ∴an=3n-2, ∴(-1)nan=(-1)n(3n-2), ∴S2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+?+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024. 1 ? ? ?的前 8 项 5.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5,则数列?a ? 2n-1a2n+1? 和为( ) 3 8 A.- B.- 4 15 3 8 C. D. 4 15 n(n-1) 解 析 : 选 B. 设 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 则 Sn = na1 + d. 由 已 知 可 得 2 ?3a1+3d=0, ?
? ?5a1+10d=-5, ?

解得 a1=1,d=-1,故{an}的通项公式为 an=2-n.

1 1 所以 = a2n-1a2n+1 (3-2n)(1-2n) 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 1 ? 的 前 - = , 所 以 数 列 ?a 8 项 和 为 2 ?2n-3 2n-1? 2 ? 2n-1a2n+1? 1 1 1 1 1 1 ? - + - +?+ ? - 16-3 16-1? ?-1 1 1 3 8 =- . 15 6.数列 a1+2,?,ak+2k,?,a10+20 共有十项,且其和为 240,则 a1+?+ak+? +a10 的值为________. 解析:a1+?+ak+?+a10 =240-(2+?+2k+?+20) (2+20)×10 =240- 2 =240-110=130. 答案:130 1 7.在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2|+?+|an| 2 =________. 解析:a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所以 q=-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2, 1 1 1 1 - - - 则|an|= ×2n 1,所以|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|= (1+2+22+?+2n 1)= (2n-1)=2n 1- . 2 2 2 2 1 - 答案:-2 2n 1- 2 8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 解析:∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 - - =2n 1+2n 2+?+22+2+2 2-2n = +2=2n-2+2=2n. 1-2 + 2-2n 1 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 + 答案:2n 1-2 9.(2014· 高考安徽卷)数列{a n}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. an (1)证明:数列{ }是等差数列; n n (2)设 bn=3 · an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an+1 an an+1 an 解:(1)证明:由已知可得 = +1,即 - =1, n n+1 n+ 1 n ?an? a1 所以? n ?是以 =1 为首项,1 为公差的等差数列. 1 ? ? an (2)由(1)得 =1+(n-1)· 1=n,所以 an=n2. n 从而 bn=n· 3n. 1 Sn=1×3 +2×32+3×33+?+n· 3n,① + 2 3 n 3Sn=1×3 +2×3 +?+(n-1)· 3 +n· 3n 1.② + 3·(1-3n) (1-2n)· 3n 1-3 + + ①-②得, -2Sn=31+32+?+3n-n· 3n 1= -n· 3n 1= . 2 1-3 + (2n-1)· 3n 1+3 所以 Sn= . 4 10.在等比数列{an}中,a1>0,n∈N*,且 a3-a2=8,又 a1、a5 的等比中项为 16.

(1)求数列{an}的通项公式;

1 1 1 (2)设 bn=log4an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,是否存在正整数 k,使得 + + +?+ S1 S2 S3 1 <k 对任意 n∈N*恒成立.若存在,求出正整数 k 的最小值;若不存在,请说明理由. Sn 解:(1)设数列{an}的公比为 q,由题意可得 a3=16, ∵a3-a2=8,则 a2=8, ∴q=2. + ∴an=2n 1. n+1 + (2)∵bn=log42n 1= , 2 n(n+3) ∴Sn=b1+b2+?+bn= . 4 1 ? 1 4 4 1 ∴ = = ? - . Sn n(n+3) 3?n n+3? 1 1 1 1 ∴ + + +?+ S1 S2 S3 Sn 1 1 4 1 1 1 1 1 1 = ?1-4+2-5+3-6+?+n-n+3? 3? ? 1 1 1 ? 4? 1 1 = 1+2+3-n+1-n+2-n+3 3? ? 4? 1 1? 22 < ?1+2+3?< , 3 9 ∴存在正整数 k 的最小值为 3. 1? ?n-1? * ?1? 2.已知 F(x)=f? ?x+2?-1 是 R 上的奇函数,an=f(0)+f?n?+?+f? n ?+f(1)(n∈N ), 则数列{an}的通项公式为( ) A.an=n-1 B.an=n C.an=n+1 D.an=n2 解析:选 C.∵F(x)+F(-x)=0, 1? ? 1? ∴f? ?x+2?+f?-x+2?=2, 1? ?2? ?n-1? 即若 a+b=1,则 f(a)+f(b)=2.于是,由 an=f(0)+f? ?n?+f?n?+?+f? n ?+f(1),得 1? ?n-1?? n-1? ?1?? 2an=[f(0)+f(1)]+?f? +f +?+?f? n ? ? ? ? n ?? ? ? n ?+f?n??+[f(1)+f(0)]=2n+2, ∴an=n+1.故选 C. n 4. (2015· 湖南长郡中学、 衡阳八中等十二校联考)定义: 称 为 n 个正数 x1, x1+x2+?+xn 1 x2,?,xn 的“平均倒数”,若正项数列{cn}的前 n 项的“平均倒数”为 ,则数列{cn} 2n+1 的通项公式为 cn=________. 解析:由已知可得,数列{cn}的前 n 项和 Sn=n(2n+1),所以数列{cn}为等差数列,首 项 c1=S1=3,c2=S2-S1=10-3=7,故公差 d=c2-c1=7-3=4,得数列的通项公式为 cn =c1+(n-1)×4=4n-1. 答案:4n-1 5.(2015· 广东广州模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+pn+q(p,q∈R),且 a2,a3,a5 成等比数列. (1)求 p,q 的值; (2)若数列{bn}满足 an+log2n=log2bn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)法一:当 n=1 时,

a1=S1=1+p+q, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+pn+q-[(n-1)2+p(n-1)+q]=2n-1+p. ∵{an}是等差数列, ∴1+p+q=2×1-1+p,得 q=0. 又 a2=3+p,a3=5+p,a5=9+p, ∵a2,a3,a5 成等比数列, 2 ∴a2 3=a2a5,即(5+p) =(3+p)(9+p), 解得 p=-1. 法二:设等差数列{an}的公差为 d, n(n-1) d 2 ? d 则 Sn=na1+ d= n +?a1-2? ?n. 2 2 2 ∵Sn=n +pn+q, d d ∴ =1,a1- =p,q=0. 2 2 ∴d=2,p=a1-1,q=0. ∵a2,a3,a5 成等比数列, ∴a2 3=a2a5, 即(a1+4)2=(a1+2)(a1+8),解得 a1=0. ∴p=-1. (2)由(1)得 an=2n-2. ∵an+log2n=log2bn, - - ∴bn=n· 2an=n· 22n 2=n· 4n 1. - - ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn-1+bn=40+2×41+3×42+?+(n-1)· 4n 2+n· 4n 1,① - 4Tn=41+2×42+3×43+?+(n-1)· 4n 1+n· 4n,② 1-4n (1-3n)· 4n-1 - ①-②得-3Tn=40+41+42+?+4n 1-n· 4n= -n· 4n= . 3 1-4 1 ∴Tn= [(3n-1)· 4n+1]. 9


数列 第4讲 数列求和

数列 第4讲 数列求和_数学_高中教育_教育专区。数列,学案,高三晓风残月 课时序号 学生人数 课题 考纲要求 第4讲 授课日期 出席 数列求和 授课班级 旷课 以数列为...

第5篇 第4讲 数列求和

第5篇 第4讲 数列求和_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 4 讲 数列求和基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.等差数列{an}的通项公式为 an...

第4讲 数列求和

第4讲 数列求和_数学_高中教育_教育专区。第 4 讲 数列求和考纲要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法....

第4讲 数列求和

第4讲 数列求和_数学_高中教育_教育专区。1.在数列{an}中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则 S60 的值为( ) A.990 B.1 000 C.1 100 D...

第4讲 数列求和

第4讲 数列求和_数学_高中教育_教育专区。明达中学 2016 届高三(文科)数学一轮复习导学案 第4讲 数列求和 考试要求 1.等差、等比数列的前 n 项和公式,C 级...

第4讲数列求和

第4讲数列求和_数学_高中教育_教育专区。第 4 讲数列求和课前自主导学 1.公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 ①...

第4讲 数列求和

第4讲【2013 年高考会这样考】 1.考查等差、等比数列的求和. 数列求和 2.考查非等差、等比数列的求和,主要考查学生的观察能力、分析问题与解决 问题的能力以及...

第4讲_数列求和

第4 讲 数列求和【2013 年高考会这样考】 1.考查非等差、等比数列求和的几种常见方法. 2.通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算...

第4讲 数列求和

第4讲 数列求和_高中教育_教育专区。第4讲 【2013 年高考会这样考】 数列求和 1.考查非等差、等比数列求和的几种常见方法. 2.通过数列求和考查学生的观察能力...