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1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算


(1)理解弧度制的概念;
(2)熟练进行角度制与弧度制的换算; (3)能应用弧长公式与扇形面积公式解

决有关问题.

复习回顾
1、角的分类: ? 正角--- 逆时针方向旋转所成角 ? 角 ? 零角--- 不作任何旋转所成角 ? 负角--- 顺时针方向旋转所成角 ? 注意:⑴k∈ Z ⑵α任意 2、角的表示: ⑶终

边相同的角有无数个 ? 1)终边相同的角的集合 ? S ? ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ? 2).坐标轴上的角的集合 ? ? 终边在x轴上的角 : S ? ? | ? ? k ?180 , k ? Z 角? ? 终边在y轴上的角: S ? ? | ? ? k ?180 ? 90 , k ? Z ? 终边在坐标轴上的角: S ? ? | ? ? k ? 90 , k ? Z ? ? 3).象限角的集合 ?

?

?

? ?

?

?

?

?

3).象限角的表示:

?1).第一象限角 0 ? ? ? 90 ? ? S ? ? | k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z ?2).第二象限角 90 ? ? ? 180 ? ? S ? ? | k ? 360 ? 90 ? ? ? k ? 360 ? 180 , k ? Z ? 角 ?3).第三象限角 180 ? ? ? 270 ? S ? ? | k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? Z ? ?4).第四象限角 270 ? ? ? 360 ? ? S ? ? | k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? Z ? ?

?

?

?

? ? ?

?

?

提出问题: 思考1:在平面几何中,1°的角是怎样 定义的?
将圆周分成360等份,每一段圆弧所 对的圆心角就是1°的角. 思考2:在半径为r的圆中,圆心角n°所 对的圆弧长如何计算? 2?r

l?

360

?n

用度作单位来度量角的制度叫做角度 制 ,今天我们来学习另一种在数学和其

他学科中常用的度量角的制度——弧度制。

设?? ? n 0,OM 1 ? r1,OM 2 ? r2 弧M 1 N1和M 2 N 2的长分别为 l1和l2 2?r n?r 因为:l ? n ? ? 360 180 l1 l2 n? 所以: ? ? r1 r2 180

这就启示我们: 可以用圆的半径作单位去度量弧

思考3:如图,我们规定:把长度等于半 径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角, 记作1rad,读作1弧度. 那么,1弧度圆 心角的大小与所在圆的半径的大小是否 有关?为什么?
l= 2p r n 360

A r

r

B
1rad O

思考4:如果半径为r的圆的圆心角α 所 对的弧长为l,那么,角α 的弧度数的绝 对值如何计算?

l ? ? r

l ? ? ? r (弧长计算公式)

思考5:约定:正角的弧度数为正数,负角
的弧度数为负数,零角的弧度数 为0.如果将半径为r的圆的一条 半径OA,绕圆心顺时针旋转到 OB,若弧AB长为2r,那么∠AOB 的大小为多少弧度?
A

2r

-2rad.

r
O

B

角度制与弧度制互换:
(1)将角度化为弧度:
因为半径为r的圆周长为 2?r , 所以周角的 2?r 弧度数是 ? 2? r

360? ? 2? rad
1? ?
0

180? ? ? rad

?
180

rad ? 0.01745

n ?

n? 180 _____ rad

巩固练习

今后用弧度制表示角时,“弧度”二字 或“rad”通常略去不写,而只写该角所 对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角. 课本P11 A 2

角度制与弧度制互换:
(2)将弧度化为角度:

2? ? 360 ?
?

? ? 180 ?

180 1rad ? ( )? ? 57.30? ? 57?18'

? ? n ? ?_____

180 n

0

巩固练习

课本P11

A

3

典例解析

例1 填 空:
(1) 100 ?
0

17 (3) ?? 12
5 (4) ?? 8

(2) ? 600 ?
0

特殊角的弧度:
角 o 0 度 弧 度 30
o

45

o

60

o

90

o

120
2? 3

o

0

? 6

? 4

? 3

? 2
270
3? 2
o

角 o o o 135 150 180 度 弧 度
3? 4

360

o

5? 6

?

2?

思考6:在弧度制下,角的集合与实数集R之间可
以建立一个一一对应关系,这个对应关系 是如何理解的?

正角
零角 负角 角的弧度数

正实数 零 负实数 实数集R

对应角的 弧度数

角度制与弧度制的比较
①、弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度, 角度制是以“度”为单位度量角的制度; ②、1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 1 ? 的大小,而 是圆的 所对的圆心角的大小; 1
360

③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值.

? 弧度与角度不能混用.

弧长及扇形面积公式:
(1)弧长公式:

l ? ? ?r
看课本例5

看课本例4,做 A 5 (2)扇形面积公式:

1 1 2 S ? l?r ? ? ?r 2 2
其中l是扇形弧长,r是圆的半径

典例解析

例2:在半径为R的圆中,240? 的圆心角
所对的弧长为 ,面积为2R2的

扇形的圆心角等于

弧度。

4 4 解:(1)240? = ? ,根据l=αR,得 l ? ? R 3 3
1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2 2 2

?? ? 4

典例解析

例3:已知扇形的周长为8cm,圆心角为2 弧度,求该扇形的面积.
解:设扇形的半径为r,弧长为l,则有
C

L=2r
2rad

?2r ? l ? 8, ?r ? 2 ?l ? 2r , 解得 ?l ? 4 ? ? 1 2 故扇形的面积为S ? rl ? 4(cm ). 2

O

A

课堂检测
1、在已知圆内, 1rad的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆 心角所对的弧长为
1 1 sin 2

4? 2.半径为10的圆中, 的圆心角所对的弧长 ( A ) 3 40? 20? 200? 400? A. B. C. D. 3 3 3 3 3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的 边长 , 则其圆心角的弧度数为( C ) ? 2? A. B. C. 3 D .2 3 3 4.圆的半径是 6, 则15?的圆心角与圆弧围成的扇 形面积是________________.

使用弧度制,写出各象限角的集合:
第一象限角的集合:

? {? | 2k? ? ? ? ? 2k? , k ? Z } 2 第二象限角的集合: ? {? | ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z }
2 3 {? | ? ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z } 2 第四象限角的集合: 3? {? | ? 2k? ? ? ? 2? ? 2k? , k ? Z } 2

第三象限角的集合:

如图 ,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y

0 (1) y

? 4 x ? ? ? ?? | 2?? ? ? ? ? 2?? ?
? 4

2

? (? ? ? )? ?

0 (2)

? 4

x

? ? ? ?? | ?? ? ? ? ? ?? ? 4 2 ?

? (? ? ? )? ?

【总一总★成竹在胸】
1. 什么叫1弧度角? 2. “角度制”与“弧度制”的联系与区

别.
3、角度制与弧度制互化。 4.能应用弧长公式与扇形面积公式解决 有关问题.

15 30 45
?

0

0

0

?

?

60 75 90 120 135
0
0

0

0

0

?

12

6

4

3

5? 12

?

2

2? 3

3? 4

0 0 270 150 180 210 225 240 300 330
0 0

0

0

0

0

5? 6

?

7? 6

5? 4

4? 3

3? 2

5? 11? 3 6

例3

写出满足下列条件的角的集合(用弧度制):

1、 终边与X轴正半轴重合;
2、 终边与X轴负半轴重合; 3、 终边与X轴重合;

?? | ? ? 2?? (? ? ? )? ?? | ? ? 2?? ? ? (? ? ? )?

? ? ?? | 2? ? ? ? ? 2? ? ? 2 7、第一象限内的角; ? ? ? ? | 2?? ? ? ? ? 2?? ? ? 8、第二象限内的角; ? 2 ? 3? ? ?? | 2?? ? ? ? ? ? 2?? ? 2 9、第三象限内的角; ? 3? ? ? | 2 ?? ? ? ? ? 2?? ? 2? 10、第四象限内的角; ? 2 ?

(? ? ? )? ? ? ? ? | ? ? 2 ?? ? ( ? ? ? ) ? ? 4、 终边与Y轴正半轴重合; 2 ? ? 3? ? ? ? | ? ? 2 ?? ? ( ? ? ? ) ? ? 5、 终边与Y轴负半轴重合; 2 ? ? ? ? ? (? ? ? )? ? ? | ? ? ?? ? 6、 终边与Y轴重合; 2 ? ?

?? | ? ? ? ? ?

? (? ? ? )? ? ? (? ? ? )? ? ? (? ? ? )? ?
? (? ? ? )? ?


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