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2104高中物理竞赛辅导(质点运动学的基本概念)


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第一讲 运动学 §1.1 质点运动学的基本概念
1.1.1、参照物和参照系
要准确确定质点的位置及其变化,必须事先选取另一个假定不动的物体作参照,这个 被选的物体叫做参照物。为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标,构成坐标 系。 通常选用直角坐标系 O–xyz,有时也采用极坐标系。平面直角坐标系一

般有三种,一 种是两轴沿水平竖直方向,另一是两轴沿平行与垂直斜面方向,第三是两轴沿曲线的切线 和法线方向(我们常把这种坐标称为自然坐标)。

1.1.2、位矢

位移和路程

在直角坐标系中,质点的位置可用三个坐标 x,y,z 表示,当质点运动时,它的坐标 是时间的函数 x=X(t) y=Y(t) z=Z(t) 这就是质点的运动方程。 z 质点的位置也可用从坐标原点 O 指向质点 P 、 (x y、z)的有向线段 r 来表示。如图 1-1-1 所示, r 也 是描述质点在空间中位置的物理量。r 的长度为质点 到原点之间的距离,r 的方向由余弦 cos? 、cos ? 、 cos? 决定,它们之间满足

?

r

?

z

?

cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
2 2 2

O
y

?

y

x x

当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间而 变,可表示为 r = r (t)。 在直角坐标系中,设分别为 i 、

z 图 1-1-1 , z ) P ( x1 , y1 1 1
r 1 ?r
O
P2 ( x2 , y 2 , z 2 )
2

j 、 k 沿方向 x 、 y 、 z 和单位矢量,则 r 可表示为 r (t ) ? x(t )i ? y (t ) j ? z (t )k
位矢 r 与坐标原点的选择有关。 研究质点的运动,不仅要知道它的位置,还必须知 道它的位置的变化情况,如果质点从空间一点

r

y

x
图 1-1-2

P1 ( x1 , y1 , z1 ) 运动到另一点 P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) , 相应的位矢
由 r 1 变到 r 2,其改变量为 ? r

? r ? r2 ? r1 ? ( x 2 ? x1 )i ? ( y 2 ? y1 ) j ? ( z 2 ? z1 )k
称为质点的位移,如图 1-1-2 所示,位移是矢量,它是从初始位置指向终止位置的一个有
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向线段。它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。它与坐标原点的选择无关。

1.1.3、速度 平均速度
质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速度

? ? s v? ?t

平均速度是矢量, 其方向为与 ?r 的方向相同。 平均速度的大小, 与所取的时间间隔 ?t 有关,因此须指明是哪一段时间(或哪一段位移)的平均速度。

?

瞬时速度 ? 当 ?t 为无限小量,即趋于零时, ?r 成为 t 时刻的瞬时速度,简称速度 ? s ? ? v ? lim v ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0
瞬时速度是矢量,其方向在轨迹的切线方向。 瞬时速度的大小称为速率。速率是标量。

1.1.4、加速度 平均加速度 ? ? 质点在 ?t 时间内, 速度变化量为 ?v , ?v 与 ?t 的比值为这段时间内的平均加速度 则 ? ? ?v a? ?t ? 平均加速度是矢量,其方向为 ?v 的方向。 瞬时加速度 ? 当 ?t 为无限小量,即趋于零时, ?v 与 ?t 的比值称为此时刻的瞬时加速度,简称加
速度

? ?v a ? lim ?t ?0 ?t
加速度是矢量,其方向就是当 ?t 趋于零时,速度增量的极限方向。

1.1.5、匀变速直线运动 ? ? ? 加速度 a 不随时间 t 变化的直线运动称为匀变速直线运动。若 a 与 v 同方向,则为匀 ? ? 加速直线运动;若 a 与 v 反方向,则为匀减速直线运动。
匀变速直线运动的规律为:

v1 ? v? ? at

v1 ? v? ? 2as
2 2

1 2 at 2 1 s ? vt ? (v0 ? vt )t 2 s ? v0 t ?

匀变速直线运动的规律也可以用图像描述。其位移—时间图像(s~t 图)和速度—时 间图像(v~t 图)分别如图 1-1-3 和图 1-1-4 所示。
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从(s~t)图像可得出: (1)任意一段时间内的位移。 (2)平均速度,在( t 2 ? t1 )的 时间内的平均速度的大小,是 通过图线上点 1、点 2 的割线 的斜率。 (3)瞬时速度,图线上某点的切 线的斜率值,等于该时刻的速 度值。从 s~t 图像可得出: 从(v~t)图像可得出: (1)任意时刻的速度。

s v 2 1 t t

O

t1

t2

O

图 1-1-3

图 1-1-4

(2)任意一段时间内的位移,t1 ? t 2 时间内的位移等于 v~t 图线,t1、t 2 时刻与横轴所围 的“面积”。这一结论对非匀变速直线运动同样成立。 (3)加速度,v~t 图线的斜率等于加速度的值。若为非匀变速直线运动,则 v~t 图线任 一点切线的斜率即为该时刻的瞬时加速度的大小。 【例题 1】沿直线做匀加速运动的质量,从某时刻开始,在相继的 t1 秒、t2 秒和 t3 秒内的 平均速度为 v1、v2 和 v3,试证明 v2 ? v1 t1 ? t 2

v3 ? v2

?

t 2 ? t3

【练习 1】A、B 两站相距 s,将其分成 n 段,汽车无初速由 A 站出发,分 n 段向 B 站作 匀加速直线运动,第一段的加速度为 a.当汽车到达每一等份的末端时,其加速度增加

a ,求汽车到达 B 站时的速度 n

【练习 2】一个物体做匀加速直线运动,依次经过间距相等的 A、B、C 三个点,从 A 到 B 的加速度为 a1,从 B 到 C 的加速度为 a2,且 vB=(vA+vC)/2,则:比较 a1 和 a2 的大 小。 v/m.s-1 【例题 2】一质点沿直线运动,其速度随时间变化的 关系图像恰好是与坐标轴相切的 1/4 圆弧, 如图所 示,则质点在这 20s 内的位移是多少?在第 10s 末的加速度是多少? 【练习 1】蚂蚁离开巢穴沿直线爬行,它的速度与到
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8

20

t/s

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蚁巢中心的距离成反比,当蚂蚁爬到距离蚁巢中心 l1=1m 的 A 处时,速度 v1=2cm/s, 问:当蚂蚁从 A 点爬到距离巢穴中心 l2=2m 的 B 需要多长的时间?

【练习 2】小球从 h0=120m 的高度自由落下,落地后与地面碰撞竖直反弹,每与地面碰撞 一次速度减小为原来的一半,(1)作出小球运动的 v-t 图像(以向上为正方向)(2) 求小球从下落到停止所经过的时间和运动的路程。

【例题 3】在一段平直的公路上,小刚骑自行车带着小明正在匀速前进,路过小明家门口 时,小明从车上跳下来。 (1)小明知道如果直接跳小来,他可能会摔跤,试分析他可能摔跤的原因是什么? (2)小明为了避免在跳下车的过程中摔跤,他跳离车时应该用力向前推自行车,还 是应该用力向后拉自行车? (3)在小明以最理想的安全方式跳车前后,小刚、自行车及小明三者运动的总动能 如何变化?

【例题 4】以初速度 2v0 竖直上抛一物体后,又以初速度 v0 竖直上抛另一物体,若要两物 体能在空中相遇,两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件? 【练习 1】A、B 两车沿同一直线同向行驶。A 车在前,以速度 v1 做匀速直线运动;B 车 在后,先以速度 v 2 做匀速直线运动( v 2 ? v1 )。当两车相距为 d 时(B 车在后),B 车 开始做匀减速运动,加速度的大小为 a。试问为使两车不至于相撞,d 至少为多少?

【练习 2】在以速度 v0 行驶的小汽车的正前方 L 处有一辆载重卡车。由于大雾,使得公路 上能见度降低,当小车司机发现这一情况时,卡车正以加速度 a 由静止开始做匀加速 运动,其方向和小车运动方向一致,于是小车司机立即以加速度 2a 做减速运动,那么 小车速度 v0 必须满足什么条件,小车才不至于和卡车相撞?

【练习 3】处于一平直轨道上的甲、乙两物体相距 s,同时同向开始运动。甲以初速度 v0、 加速度 a1 向乙做匀加速运动,乙做初速度为零、加速度为 a2 的匀加速运动,设两车相
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互超前时各不影响,试讨论两车相遇的条件及对应的相遇次数?

【例题 5】 (2009 年应用物理知识竞赛)一个喷漆桶能够向外喷射不同速度 的油漆雾滴, 某同学要测量雾滴的喷射速率, 他采用如图所示的装置, 一个直径为 d 的纸带环安放在一个可以按照不同转速转动的固定转台 上, 纸带环上刻有一条狭缝 A,狭缝 A 的正对 面的纸带环的内侧画一条标志线.在转台开始 转动达到稳定转速时, 向侧面开有同样狭缝 B 的纸盒中喷射油漆雾滴,当狭缝 A 转至与狭缝 B 正对平行时, 雾滴便通过狭缝 A 在纸 带的内侧面留下痕迹.将纸带从转台上取下来, 展开平放, 并用毫米刻度尺进行测量, 如图所示 (1)简述侧面开有狭缝 B 的纸盒子的作用 (2)如果转台转动的周期为 T, 写出这些雾滴喷射速率的范围(用字母表示)

【练习 1】有两把锯齿不同的梳子,其中一把每厘米有 4 个齿,另一把每厘米有 5 个齿, 现将其重叠起来,再透过其齿间的缝隙去看亮光,则可以看到亮段和暗段交替出现, 如果把其中一把梳子以 1cm/s 的速度移动,问亮的部分将以多大的速度移动?

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【练习 2】磁带录音机的空带轴转动时,相同的时间转过的角度相同,重新绕上磁带后, 绕好后的带卷的末半径 R2 为除半径 R1 的 3 倍,绕带的时间为 t1,要在相同的带轴上 重新绕上厚度为原磁带一半,长度相同的薄磁带,问需要多少时间 t2

【练习 3】在听磁带录音机的录音时发现,经过时间 t1=20min,带轴上带卷的半径减小一 半,求此后半径又减小一半的时间 t2?

【例题 6】.由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小,所以其最大加速度 不能超过 a=0.5m/s2.根据要求,驾驶员必须在最短时间内从 A 点到 达 B 点,直线 AB 垂直于汽车的初始速度 ? ,如图所示.如果 A、B 之间的距离 AB=375 m,而初速度 ? =10 m/s,那么这个最短时间为多 少?

【练习 1】如图所示,一串相同汽车以相等的速度 v 沿宽度为 c 的平直公路行驶,每车宽 为 b,头尾间距为 a,则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用的时间为多少?

a c b

【练习 2】一质点在平面上做匀变速运动,在时刻 t=1s、3s、5s 时,质点分别位于平面上
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的 A、B、C 三点已知 AB=8m、BC=6m,且 AB⊥BC,试求:此质点运动的加速度为 多少?

【例题 7】如图所示,在绳子的 C 端以速度 v 匀速的拉绳子,从而拉动地处的物体 M 沿水 平面直线前进,当绳子 BC 与水平恰好成 α 角时,求物体 M 此时的速度?

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