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北师大版高一数学必修1教案-对数函数的图像与性质


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5.3 对数函数的图像与性质 【教学目标】 : 知识与技能:理解对数函数的概念,掌握它们的基本性质,进一步领会研究函数的基本方法 过程与方法: 复习与实例引入、利用互为反函数的关系研究图像与性质 情感态度与价值观:体会对数函数的应用价值,体验数学建模、求解和解释的过程 【教学重点与难点】 重点:

对数函数的概念;对数函数的性质;研究函数的方法 难点:对数函数的性质 【教学过程】 : 一. 复习:反函数的概念;通过实例和反函数的概念导出对数函数的概念 通过关于细胞分裂的具体实例,直接了解对数函数模型所刻画的数量关系,使学生科学 的发展源于实际生活,感受到指数函数与对数函数的密切关系:它们是从不同角度、不 同需求看待同一个客观事实,前者根据细胞分裂次数,获得分裂后的细胞数;后者根据 分裂后的细胞数,获得分裂的次数.前者用指数函数 y ? 2 表示,后者用对数函数
x

y ? log2 x .
(1)引入:在我们学习研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂 时,得到的细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数,这个函数可用指数函数 y ? 2 表
x

示. 现在来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,可以得到 1 万个、 10 万个、??细胞,那么分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数.根据对数的 定义,这个函数可以写成对数的形式,就是 x ? log2 y . 如果用 x 表示自变量, y 表示函数,这个函数就是 y ? log2 x 由反函数的概念,可知函数 y ? log2 x 与指数函数 y ? 2 互为反函数.
x

(2) 定义: 一般地, 函数 y ? loga x( a ? 0, 且 a ? 1 ) 就是指数函数 y ? a ( a ? 0,
x

且 a ? 1 )的反函数.因为 y ? a 的值域是 ? 0, ?? ? ,所以,函数 y ? loga x 的定义
x

域是 ? 0, ?? ? . 二. 通过对数函数和指数函数的关系利用互为反函数的两函数的关系探求对数函数的 图像和性质 提问绘制图像的方法: (1)利用反函数的关系; (2)描点绘图 图像 Y

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O 性质 对数函数 y ? loga x ? a ? 1?



? 0 ? a ? 1?

性质 1.对数函数 y ? loga x 的图像都在Y轴的右方. 性质 2.对数函数 y ? loga x 的图像都经过点(1,0) 性质 3.当 x ? 1 时, y ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 . 性质 4.对数函数在 ? 0, ?? ? 上是增函数. 当 x ? 1 时, y ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 . 对数函数在 ? 0, ?? ? 上是减函数.

三. 掌握对数函数的图像和性质———巩固与应用对数函数的性质解决简单问题 例1. 求下列函数的定义域: (2) (3) ?1? y ? loga x2 ; y ? loga (4 ? x2 ) ; y ? log a 4 ? x . 解(1) 因为 x ? 0 ,即 x ? 0 ,所以函数 y ? log a x 2 的定义域是 ? ??,0? ? ? 0, ??? .
2

x

(2) 因为 4 ? x ? 0 , x ? 4 ? 0 , 即 所以函数 y ? loga (4 ? x2 ) 的定义域是 ? ?2, 2 ? .
2 2

(3)因为

x x ? 0 ,即 x ? x ? 4? ? 0 ,所以函数 y ? log a 的定义域是 ? 0, 4 ? . 4? x 4? x
(2) log 0.5 3 和 log 0.5 ? ; ( 3) log a

例 2.利用对数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小: ( 1) log3 5 和 log3 7 ;

1 1 和 log a , 其 中 2 3

a ? 0, a ? 1
解(1)因为对数函数 y ? log3 x 在 ? 0, ?? ? 上是增函数,又 5 ? 7 ,所以 log3 5 < log3 7 . (2)因为对数函数 y ? log 0.5 x 在 ? 0, ?? ? 上是减函数,又 3< ? ,所以 log 0.5 3 > log 0.5 ? . (3)① 当 a ? 1 时,因为对 数函数 y ? loga x 在 ? 0, ?? ? 上是增 函数,又

1 1 ? ,所 以 2 3

log a

1 1 > log a . 2 3 1 1 ? ,所以 2 3

② 当 0 ? a ? 1 时 , 因 为 对 数 函 数 y ? loga x 在 ? 0, ?? ? 上 是 减 函 数 , 又

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log a

1 1 < log a . 2 3

例 3.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数 t ? ?144lg ?1 ?

? ?

N? ? 中, t 90 ?

表示达到某一英文打字水平 (字/ 分) 所需的学习时间 (时) N 表示每分钟打出的字数 , (字 / 分). (1) 计算要达到 20 字/ 分、40 字/ 分所需的学习时间; (精确到“时” ) (2) 利用(1)的结果,结合对数性质的分析,作出函数的大致图像 解(1)用计算器计算,得 N =20 时, t =16; N =40 时, t =37. 所以,要达到这两个水平分别需要时间 16 小时和 37 小时. (2)由 1 ?

N N >0,得 N <90.当 N 增大时, 1 ? 随 N 得增大而减小. 90 90

又 y ? lg x 为递增函数, lg ? 1 ?

? ?

N? ? 随 N 得增大而减小. 90 ?

从而有 ?144 lg ?1 ?

? ?

N? N? ? ? 随 N 得增大而增大,所以 t ? ?144 lg ?1 ? ? 为递增函数. 90 ? ? 90 ?

由(1)知函数图像过点(20,16)(40,37). 、 另外,当 N =0 时 t =0,所以函数图像过点(0,0). O 根据上述这些点得坐标描点作图 N 四.练习:教科书 P20 页 1.2.3.4.5.6 作业:练习册 P5 页 1————4; 《一课一练》 五.小结:对数函数的概念、图像、性质 教学反思: 对数与对数函数同步练习 一、选择题: 1、已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是(
a


2

A、 a ? 2

B、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)

D、 3a ? a )

2

2、 2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,则 A、

M 的值为( N

1 4

B、4

C、1

D、4 或 1

2 2 x ,log 3、已知 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 ,且 log a(1 ? ) ? m

a

A、 m ? n
2

B、 m ? n

C、

1 ? m ? n? 2

1 ?, n log a y 等于( 则 1? x 1 D、 ? m ? n ? 2



4、如果方程 lg x ? (lg5 ? lg 7)lg x ? lg5? 7 ? 0 的两根是 ? , ? ,则 ? ?? 的值是 ( lg
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lg A、 lg 5? 7

B、 lg 35
? 1 2

C、35 等于( )

D、

1 35

5、已知 log7 [log3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x A、

1 3

B、

1 2 3

C、

1 2 2


D、

1 3 3

6、函数 y ? lg ? A、 x 轴对称

? 2 ? ? 1? 的图像关于( ? 1? x ?
B、 y 轴对称

C、原点对称 )

D、直线 y ? x 对称

7、函数 y ? log(2 x?1) 3x ? 2 的定义域是( A、 ?

?2 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?3 ?

B、 ?

?1 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?2 ?

C、 ?

?2 ? , ?? ? ?3 ?

D、 ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?
) D、 ?3, ?? ? ) D、 0 ? m ? n ? 1

8、函数 y ? log 1 ( x2 ? 6 x ? 17) 的值域是(
2

A、 R

B、 ?8, ?? ?

C、 ? ??, ?3?

9、若 log m 9 ? log n 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( A、 m ? n ? 1 10、 log a B、 n ? m ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1 )

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3
B、 ?

A、 ? 0, ? ? ?1, ?? ?

? ?

2? 3?

?2 ? , ?? ? ?3 ?

C、 ? ,1? )

?2 ? ?3 ?

D、 ? 0, ? ? ? , ?? ?

? ?

2? ?2 3? ?3

? ?

11、下列函数中,在 ? 0, 2 ? 上为增函数的是( A、 y ? log 1 ( x ? 1)
2

B、 y ? log 2 D、 y ? log

x2 ?1

C、 y ? log 2

1 x

1 2

( x2 ? 4 x ? 5)
x ?1

12 、 已 知 g ( x) ? loga x+1 (a ? 0且a ? 1) 在 ? ?1 0? 上 有 g ( x ) ? 0 , 则 f ( x) ? a , ( ) B、在 ? ??,0 ? 上是减少的 D、在 ? ??,0 ? 上是减少的
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A、在 ? ??,0 ? 上是增加的 C、在 ? ??, ?1? 上是增加的

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二、填空题: 13、若 log a 2 ? m,log a 3 ? n, a2m?n ? 14、函数 y ? log( x-1) (3- x) 的定义域是 15、 lg 25 ? lg 2? lg50 ? (lg 2)2 ? 16、函数 f ( x) ? lg 三、解答题: 。 。 (奇、偶)函数。



?

x2 ? 1 ? x 是

?

10 x ? 10? x 17、已知函数 f ( x) ? x ,判断 f ( x) 的奇偶性和单调性。 10 ? 10? x
18、已知函数 f ( x ? 3) ? lg
2

x2 , x2 ? 6

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性。

19、已知函数 f ( x) ? log 3

mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R ,值域为 ? 0, 2? ,求 m, n 的值。 x2 ? 1

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