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平顶山许昌新乡2015届高三第二次模拟考试文科数学答案

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平顶山、许昌、新乡三市 2015 届高三第二次调研考试 文科数学答案
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8.A 9.D 10.A 11.C 12.D

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. 13. a ? 2 ;14


??? ?



15.2; 16.

2 3 ?1 . 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q ,∵S3 + a3,S5 + a5,S4 + a4 成等差数列, ∴(S5 + a5)-(S3 + a3)=(S4 + a4)-(S5 + a5) , ∴4 a5= a3,因此, q ?
2

…… 2 分 …… 4 分

1 a5 1 ? . ∵数列 {an } 不是递减数列,∴ q ? ? . 2 a3 4

3 1 n ?1 3 (? ) ? (?1) n ?1 n , n ? N* . 2 2 2 3 3n n ?1 ? (?1) n ?1 n ? n , (Ⅱ)∵ an ? bn ? (?1) n 2 2 1 2 3 n ∴ Tn ? 3( ? 2 ? 3 ? ? n ) , 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n ∴ Tn ? 3( 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ) , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 n 以上两式相减得: Tn ? 3( 1 ? 2 ? ? n ? n ?1 ) ? 3(1 ? n ? n ?1 ) , 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ∴ Tn ? 6(1 ? n ?1 ) . 2
∴ an ? 18.解: (Ⅰ)∵VC 是圆柱 OO1 的母线,∴VC⊥⊙O 所在的平面 ABC, ∴VC⊥BC. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC. ∴BC⊥平面 VAC. ∴平面 VAC⊥平面 VBC. (Ⅱ)作 CD⊥AB 于 D,连 VD,由(Ⅰ)可知,AB⊥平面 VCD, ∴∠VDC 就是二面角 V-AB-C 的平面角,即∠VDC=60° . 在 Rt△ABC 中,AB=2,AC=1,∴CD=

…… 6 分 …… 7 分 …… 8 分 ……10 分

…… 12 分 …… 2 分 …… 3 分 …… 4 分 …… 5 分 …… 6 分 …… 8 分 …… 10 分

3 3 ,∴ VC ? CD tan 60 ? ? . 2 2

∴圆柱 OO1 的侧面积为 S ? 2??

3 ? 3? . 2
第 1 页

…… 12 分

19.解: (Ⅰ )由已知得,样本中有“高中组”学生 60 名, “初中组”学生 40 名.
高三数学(文科答案) 3/20/2015

在“高中组”抽取的 60 名样品中, “周平均学习时间”分别落在区间 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为:6,15,24,12,3. ∴高中部学生的“周平均学习时间”为

(6 ? 45 ? 15 ? 55 ? 24 ? 65 ? 12 ? 75 ? 3 ? 85) ? 60 ? 63.5 (小时) .

…… 4 分

(Ⅱ )由已知得,样本中“周平均学习时间”不足 50 小时的学生中, “高中组”学生有 60 ? 0.10 ? 6 (人) ,记为 A1 , A2 ,?, A6 ; “初中组”学生有 40 ? 0.05 ? 2 (人) ,记为 B1 , B2 . 从中随机抽选取 2 名学生,所有可能的结果共有 28 种,他们是: ( A1 , A2 ) ,?, ( A1 , A6 ) ,?,

( A5 , A6 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) ,?, ( A6 , B1 ) , ( A6 , B2 ) , ( B1 , B2 ) .
其中,至少有一名“初中组”学生的可能结果共 13 种,它们是:( A1 , B1 ) ,( A1 , B2 ) ,( A2 , B1 ) ,

13 . …… 8 分 28 (Ⅲ) 由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 名学生中, “高中组” 中 “学霸” 人数为 60 ? 0.25 ? 15 (人) , “初中组”中“学霸”人数为 40 ? 0.375 ? 15 (人) ,据此可得 2 ? 2 列联表如下:
( A2 , B2 ) ,?, ( A6 , B1 ) , ( A6 , B2 ) , ( B1 , B2 ) .故所求的概率: P ?
高中组 初中组 合计 所以得: K 2 ? 学霸 15 非学霸 45 合计 60

15 30

25 70

40 100

n(ad ? bc)2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14
…… 12 分

因为 1.79 ? 2.706 ,所以没有 90% 的把握认为“学霸”与学生所在的年级组有关.

20.解: (Ⅰ )∵直线 AB 交椭圆于点 B(0,1) ,∴ b ? 1 ,又直线 AB 的倾斜角为 45°,∴ c ? b ,

∴椭圆的方程为

x2 2

? y2 ? 1.
2

……2 分

将 AB: y ? x ? 1 代入椭圆得: 3x ? 4 x ? 0 ,

4 1 1 解得 A( ? , ? ), B (0,1) ,将其代入 FA ? ? FB ,得 ? ? ? . 3 3 3
(Ⅱ )由(Ⅰ )得 AB 的中点为( ?

……5 分

2 1 1 , ) ,∴AB 的中垂线 CD 的方程为 y ? ? x ? . 3 3 3 1 4 16 2 ?0. 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,将 CD: y ? ? x ? 代入椭圆得: 3 x ? x ? 3 3 9
4 4 ∵ BC ? BD ? x1 ? x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) 3 3 4 16 16 4 4 16 ? 2 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? ?2 ? ? ? (? ) ? ? 0. 3 9 27 3 9 9
∴ BC ? BD ,∴A,B,C,D 四点共圆.

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2 1 2 2 10 2 104 ∵CD 的中点为 ( ? , ? ) ,半径为 (? ) ? (? ) ? , 9 9 9 9 9
∴经过 A,B,C,D 四点的圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

2 9

1 9

104 . 81

……12 分

? 21.解: (Ⅰ )令 f () x ? l n x ? 10 ?,得 x ?

1 . e 1 1 当 x ? ( 0 , ) 时, f ?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, f ?(x) ? 0. e e 1 1 所以函数 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递减,在 ( , ? ? ) 上单调递增. …… 5 分 e e 1 1 (Ⅱ )由于 x ? 0 ,所以 fx ( ) ? xxk l n ?? x ? k ? l n x ?. 2 2 x 1 1 2 x ? 1 1 1 ? 构造函数 k(x) ? ln x ? ,则令 kx ,得 x ? . () ? ? 2? 2 ? 0 x2 x 2 x 2x 2 1 1 当 x ? ( 0 , ) 时, k?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, k?(x) ? 0. 2 2 1 1 1 所以函数在点 x ? 处取得最小值,即 k . () x ? k () ? l n? 11l ? ? n 2 m i n 2 2 2 因此所求的 k 的取值范围是 ( ……12 分 ? ? ,1 ? l n 2 ).

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ )消去参数 t 得 x ? y ? 2 , 即 ? (cos? ? sin ? ) ? 2 , ∴直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 1 . (答案也可以化为 ? sin(? ?
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? 4

? ) ? 1) 4
第 3 页

……5 分
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(Ⅱ )∵ A( 2, ) 的直角坐标为 A(1,1) ,曲线 ? ? ?2sin ? 是圆 C : x2 ? ( y ? 1)2 ? 1(C 为圆心) . ∴ | PA | ? | PB |?| PA | ? | PC | ?1 ?| AC | ?1 ? 5 ?1 . ∴ | PA | ? | PB | 的最小值为 5 ? 1 (这时 P 是直线 l 与直线 AC 的交点) . 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 x<0 时,原不等式可化为 ?2 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,又∵ x ? 0 ,∴ x 不存在; 当0? x ? 当x? ……10 分

π 4

1 1 1 时,原不等式可化为 ?2 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,又∵ 0 ? x ? ,∴ 0 ? x ? ; 2 2 2

1 1 1 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 1 ,解得 x ? 2 ,又∵ x ? ,∴ ? x ? 2 ; 2 2 2 综上,原不等式的解为 0 ? x ? 2 . …… 5 分
(Ⅱ )由 a ? 2ab ? 5b ? 4 得 (a ? b)2 ? (2b)2 ? 4 ,
2 2

∴ (a ? b) ? (a ? b ? 2b) ? 2[(a ? b) ? (2b) ] ? 8 ,
2 2 2 2

∴ a ? b 的最大值为 2 2 ,此时相应的 a ?

3 2 2 ,b ? . 2 2

……10 分

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3/20/2015


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