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第4课时数列求和

时间:2013-01-11


一.课题:数列求和 二.教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 三.教学重点:特殊数列求和的方法. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列与等比数列的求和公式的应用; 在数列求各时,一个关键点是要写出数列的通项。 2.倒序相加、错位相减,分组求和、拆项求和等求和方法; (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例 1.求下列数列的前 n 项和 Sn : (1)5,55,555,5555,…, (10 ? 1) ,…; (2) S ? 1? n ? 2(n ? 1) ? 3(n ? 2) ? ? ? n ?1
n

5 9

1 1 1 1 1 (4) an ? ; , , ,?, ,? ; 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) n ? n ?1 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? (5) sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ?? ? sin 89 . (6) a, 2a2 ,3a3 ,?, na n ,?;
(3) (7)

n n ?个 ? ? 5 ?个 ? ? 解: (1) S n ? 5 ? 55 ? 555 ? ? ? 55? 5 ? (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99?9) 9 5 ? [(10 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n . 9 81 9

(2)

1 1 1 1 ? ( ? ), n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )] ? (1 ? ? ? ). ∴ S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 3 2 4 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 1 n ?1 ? n (4)∵ an ? ? ? n ?1 ? n n ? n ? 1 ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n ) 1 1 1 ? ??? ∴ Sn ? 2? 1 3? 2 n ?1 ? n
(3)∵ 第三章 数列——第 22 课时:数列求和

? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ? ?? ( n ?1 ? n ) ? n ? 1 ?1 . 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? (5)设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ?? ? sin 89 , 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 又∵ S ? sin 89 ? sin 88 ? sin 87 ? ?? ? sin 1 , 89 ∴ 2 S ? 89 , S ? . 2 (6) Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan , n(n ? 1) 当 a ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ? , 2 n 当 a ? 1 时, Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? … ? na ,

aSn ? a2 ? 2a3 ? 3a4 ? … ? na n ?1 ,
两式相减得 (1 ? a)Sn ? a ? a2 ? a3 ? … ? a ? na
n n ?1

?

a(1 ? a n ) ? na n ?1 , 1? a

na n? 2 ? (n ? 1)a n?1 ? a ∴ Sn ? . (1 ? a)2
例 2.已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 (n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .

解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n 当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有 项, 2 n n (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 ? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? (n为奇数) ? ? 2 3 所以, Sn ? ? . n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ? ? (n为偶数) ? 2 3 ? 例 3.数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? p( p ? R) ,数列 {bn } 满足 bn ? log2 an ,若 {an } 是等比数列,
2 2 2 (1)求 p 的值及通项 an ; (2)求和 Tn ? (b1 ) ? (b2 ) ? (b3 ) … ?(?1)n?1 (bn )2 (n ? N * ) .

(四)巩固练习:设数列 1,(1 ? 2),?,(1 ? 2 ? ? ? 2

n?1

),? 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn 等于(
n ?1



( A) 2

n

(B) 2 ? n
n

(C ) 2

?n

( D) 2

n ?1

?n?2

第三章 数列——第 22 课时:数列求和

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