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2018届高三数学一轮复习 空间向量及其运算和空间位置关系

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第五节 空间向量及其运算和 空间位置关系 本节主要包括2个知识点: 1.空间向量及其运算; 2.利用空间向量证明平行与垂直问题 . 突破点(一) 基础联通 空间向量及其运算 抓主干知识的“源”与“流” 1.空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 方向 的量叫做空 大小 和_____ ①空间向量:在空间中,具有_____ 间向量. 相同 且模____ 相等的向量. ②相等向量:方向_____ ③共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合的向量. __________ 平行于同一个平面的向量. ④共面向量:________________ (2)空间向量中的有关定理 ①共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0), λb a∥b?存在唯一一个λ∈R,使a=___. ②共面向量定理:若两个向量a、b不共线,则向量p 与向量a,b共面?存在唯一的有序实数对(x,y),使p= xa+yb ________. ③空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共 面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z}使 xa+yb+zc 得p=____________. 2.两个向量的数量积 (1)非零向量a,b的数量积a· b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c. 3.空间向量的运算及其坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 向量表示 数量积 共线 垂直 模 a· b a=λb(b≠0) a· b=0(a≠0,b≠0) |a| 〈a,b〉(a≠0,b≠0) 坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3 ________________ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 __________________ 2 2 2 a + a + a 1 2 3 ____________ cos〈a,b〉= 夹角 a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a2 + a + a · b + b + b 1 2 3 1 2 3 考点贯通 [ 例 1] 抓高考命题的“形”与“神” 空间向量的线性运算 如图所示,在平行六面体 ABCD ??? ? ???? ???? ? A1B1C1D1 中,设 AA1 =a, AB =b, AD =c,M, N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b, c 表示以下各向量: ??? ? ????? (1) AP ; (2) A1 N ; ???? ???? ? (3) MP + NC1 . [解] (1)∵P 是 C1D1 的中点, ? ????? ? ???? ? ? ??? ? ???? ???? 1 ????? ∴ AP = AA1 + A1 D1 + D1 P =a+ AD +2 D1C1 ? 1 ??? 1 =a+c+2 AB =a+c+2b. ????? (2) A1 N ; [解 ] ∵N 是 BC 的中点, ????? ???? ? ??? ? ???? ? 1 ??? ∴ A1 N = A1 A + AB + BN =-a+b+2 BC 1 ???? 1 =-a+b+2 AD =-a+b+2c. ? ??? ???? ???? ??? ? 1 ???? ? [解] ∵M 是 AA1 的中点, ∴ MP =

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