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高一数学寒假作业


师宗三中高一数学寒假作业 (必修 1、 必修 2)
班级:
第1天 集合
N ?(
) ) ) B. {0,1} C. {1} D. {0} C. {1, 2, 4}
2

姓名:

2 1. (2012 湖南高考)设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {x x ? x} ,则 M<

br />
A. {?1, 0,1} A. {2, 4,6} A. 1 个

2. (2012 广东高考)设集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6} , M ? {1,3,5} ,则 ? UM ?( B. {1,3,5} B. 2个 D. U D. 4个

3. (2012 门头沟一模)已知集合 A ? {x x ? 2 x ? 3 ? 0} ,那么满足 B ? A 的集合 B 有( C. 3 个

4. (2012 江西高考)若集合 A ? {?1,1} , B ? {0, 2} ,则集合 {z z ? x ? y, x ? A, y ? B} 中的元 素的个数为( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. (2012 四川高考)设集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d } ,则 A B ? ( A. {b} A. {0} A. 4 则集合 A A. (0,0) 表示的集合为( A. {0,1, 2} C. {1, 2} B. {b, c, d} B. {0,1} B. 3 C. {a, c, d} C. {0,3} C. 2

) D. {a, b, c, d}

6. (2012 顺义二模) 已知集合 M ? {0,1,3} ,N ? ?x | x ? 3a, a ? M ? , 则集合 M D. {1,3} ) D. 1 7. (2012 广州二模)已知集合 A 满足 A ? {1, 2} ,则集合 A 的个数为(

N ?(



8.(2012 惠州调研)已知集合 A ? {( x, y) x ? y ? 0, x, y ? R} , B ? {( x, y) x ? y ? 0, x, y ? R} ,

B =(

9. (2012 汕头质检)已知全集 U ? R, 集合 A ? ?1,2,3,4,5? , B ? [2, ??) ,则图中阴影部分所 ) B. {0,1} D. {1}
A B

B. ?0?



C. ?(0,0)?

D. ?

10.已知集合 M ? ? x x ?

? ?

k 1 ? ? k 1 ? ? , k ? Z ? , N ? ? x x ? ? , k ? Z ? ,若 x0 ? M ,则 x0 与 N 2 4 4 2 ? ? ?

的关系是(



A. x0 ? N
值范围.

B. x0 ? N C. x0 ? N 或 x0 ? N D.不能确定 11.已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5} , B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} 且 A B ? A ,求实数 m 的取

第 1 页 共 28 页

12. 设 S 为满足下列两个条件的实数所构成的集合: ① S 内不含 1; 解答下列问题: (1)若 2 ? S ,则 S 中必有其他两个元素,求出这两个元素; (2)求证:若 a ? S ,则 1 ?

②若 a ? S , 则

1 ?S 1? a

1 ?S ; a

(3)在集合 S 中元素的个数能否只有一个?请说明理由.

第2天

函数的概念
1 的定义域为( ) x ?1 B. (??, ?1) C. [?1, ??)
2

1. (2012 广州一模)函数 y ? A. (??, ?1]

D. (?1, ??) )

2.(2012 茂名一模)已知函数 y ? x ? x 的定义域为 {0,1, 2} ,那么该函数的值域为( A. {0,1, 2} B. {0, 2} C. { y | ?

1 ? y ? 2} 4


D. { y | 0 ? y ? 2}

3. (2012 湛江一模)函数 y ? log 2 ( x ?1) 的定义域为( A. {x | x ? 1} 4.函数 f ( x) ? ? A. R A. (?3, 0] B. {x | x ? 1}
2 ? ?2 x ? x , x ?[0,3], 的值域是( ) 2 x ? 6 x , x ? [ ? 2, 0) ? ? B. [?9, ??) C. [?8,1]

C. {x | x ? 1且x ? 2}

D. R

D. [?9,1] ) D. [1,5) )

5. (2012 海淀二模)函数 y ? ? x ? 1,?1 ? x ? 2 的值域是(
2

B. (?3,1]
2

C. [0,1]

6. (2012 江西高考)设函数 f ( x) ? ? 2

A.

1 5

3 B.

?x ?1 x ? 1 ? ,则 f ( f (3)) ? ( x ? 1 ? ?x 2 13 C. D. 3 9

7.已知函数 f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域、值域分别是 ( ) A. (?3,3) , (?2, 2) B. [?3,3] , [?2, 2]
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C. [?2, 2] , [?3,3]

D. (?2, 2) , (?3,3) ,

0 1 ,) 8. (2012 朝阳质检)已知 x ? R , 用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 记 {x} ? x ? [ x] , 若 a ?(
则 {a} 与 {a ? } 的大小关系是( A.不确定(与 a 的值有关) C. {a} = {a ? } 9. (2012 广东高考)函数 y ?

1 2

) B. {a} < {a ? }

1 2

1 2 1 D. {a} > {a ? } 2

x ?1 的定义域为 . x 10.集合 A ? { 3 , 4} , B ? { 5 , 6 , 7 } ,集合 A 到集合 B 的映射共有 个. 11.已知 f ( x ) 是二次函数,若 f (0) ? 0 ,且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,求函数 f ( x ) 的解析式.

12.若函数 f ( x) ?

1 2 x ? x ? a 的定义域和值域均为 [1, b](b ? 1) ,求 a 、 b 的值. 2

第3天

函数的单调性 1.函数 y ? x ? 2 在区间 [?3, 0] 上(

) D.先增后减 ) D. y ? x ?

A.递减 B.递增 C.先减后增 2. (2012 广东高考)下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( A. y ? ln( x ? 2) B. y ? ? x ? 1 C. y ? ( )

1 x 3. (2012 肇庆二模)已知 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数,且满足 f (3x ? 2) ? f (1) ,
x

1 2

则实数 x 的取值范围是( A. (??,1)



B. ( ,1)

4.已知 f ( x) 在 R 上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是( A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)]

2 3

C. ( , ??) )

2 3

D. (1, ??)

B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

第 3 页 共 28 页

C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)]

D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) D. [1,??)

5.函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的单调减区间是( ) A. (??,?3] B. [?1,??) C. (??,?1]

6. (2012 烟台质检)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的正实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,恒有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) ? 0 .则( x1 ? x2 A. f (3) ? f (?2) ? f (1) B. f (1) ? f (?2) ? f (3) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2) 1 7.函数 f ( x) ? 2 的最大值是 ( ) x ? x ?1 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3 (a ? 2) x, x ? 2, ? ? 8. (2012 济宁质检)若函数 f ( x) ? ? 1 x 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值 ( ) ? 1 , x ? 2 ? ? 2
范围为( A. (??,2) ) B. ( ?? ,

13 ] 8

C. (0,2)

D. [

13 ,2) 8

1 在 [2,3] 上的最小值为______,最大值为______. x ?1 10.(2012 金华质检)函数 y ? x ? 1? x 的单调增区间为________. 11.已知函数 y ? f ( x) 在定义域为 [?1,1] 是减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,求 a 的取值范围.
9.(2012 舟山调研)函数 f ( x ) ?

1 1 ? (a ? 0, x ? 0) . a x (1)求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上是单调递增函数; 1 1 (2)若 f ( x ) 在 [ , 2] 上的值域是 [ , 2] ,求 a 的值. 2 2
12.已知函数 f ( x) ?

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第4天

奇偶性
D.关于原点对称 D. y ? ln

1. (2012 梅州一模)函数 f ( x) ? 2 x 3 的图象( ) A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称 C.关于直线 y ? x 对称 2.下列函数为偶函数的是( ) A. y ? 2 x B. y ? x3 C. y ? e x

x2 ? 1

3. (2012 广州二模)已知函数 f ( x) ? ex ? e? x ? 1 ( e 是自然对数的底数),若 f (a) ? 2 ,则 ) f ( ?a ) ? ( A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 )

4. (2012 佛山二模)设函数 f ( x) ? ? A. ?2 B. ?

? x ,??? x ? 0 ? ,若 f ( x ) 是奇函数,则 g (?4) 的值是( ? ? g ( x), x ? 0
C. ?

1 2
B. y ? ? x3

1 4


D. 2

5. (2012 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1

1 C. y ? x

D. y ? x | x |

6. (2012 揭阳质检)已知奇函数 f ( x) 在 R 上单调递增,且 f (2 x ? 1) ? f ( ) ? 0 . 则 x 的取值 范围为( )

1 2

A. ( ??, )

1 4

B. ( , ??)

1 4

C. ( ??, )

3 4

D. ( , ??)

3 4

7. (2012 房山一模) 已知函数 f ( x ) ? ? 下列不等式成立的是( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 )

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0
2 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0

, 则对任意 x1 , x2 ? R , 若 0 ? x1 ? x2 ,

B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

8. (2012 潍坊联考) 奇函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, 若 f (1) ? 0 , 则不等式 x[ f ( x) ? f (?x)] ? 0 的解集是( ) A. (?1 , 0) (1 , ? ?) B. (??, ?1) (0,1) C. (??, ?1) (1, ??) D. (?1 , 0) (0 , 1) 9. (2012 重庆高考)函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? 4) 为偶函数,则实数 a ? . 10. (2012 上海高考) 已知 y ? f ( x) 是奇函数, 若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 , 则 g (? 1 ) ?



a ( x ? 0, a ? R) x (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)若 f ( x ) 在区间 ?2,??? 是增函数,求实数 a 的取值范围.
2 11.已知函数 f ( x) ? x ?

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12. (2012 德州联考)已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的单调函数满足 f (?3) ? 2 ,且对任意的实 数 a ? R 有 f (?a) ? f (a) ? 0 恒成立. (1)试判断 f ( x ) 在 R 上的单调性,并说明理由; (2)解关于 x 的不等式 f (

2? x ) ? 2. x

第5天

指数与指数函数 1.函数 y ? a x?2 ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象必经过点( ) A. (0,1) B. (2,1) C. (2, 2) D. (1, 2) ?1 ? x, x ? 0, 2. (2012 广州调研)已知函数 f ( x ) ? ? x 若 f (1) ? f (?1) ,则实数 a ? ( ? a ,???? x ? 0.
A.1 B.2 C.3 D.4



1 x x 3.(2012 北京模拟)在同一坐标系中,函数 y ? 2 与 y ? ( ) 的图象之间的关系是( ) 2 A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y ? x 对称
4. (2012 四川高考)函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(
y


y
1

y
1
1

y
1

1

O
A.

x

O
B.

1

x

O
1

1

x

O
C.

x
D.

5. (2012 房山一模)下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是( A. y ? ?



1 x

B. y ? e

x

C. y ? ? x ? 3
2

D. y ? cos x

1 2.5 ) 2 A. a ? c ? b B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. b ? a ? c x ? 2 , x ? 0, 7. (2012 济南质检)设函数 f ( x ) ? ? 若 f ( x ) 是奇函数,则 g (2) 的值是( ? g ( x ),x ? 0.
2.5 0 6. (2012 韶关二模)设 a ? 2 , b ? 2.5 , c ? ( ) ,则 a, b, c 的大小关系是(



A. ?

1 4

B. ?4

C.

1 4

D. 4

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8. 定义运算 a ? b ? ?

y
1 O

? a, a ? b x ,则函数 f ( x) ? 1 ? 2 的图象是( ?b, a ? b y y
1 1



y
1

x

O

x
? 2 x ? 1,
2

O

x
C.

O

A.

B.

D.

x

9. (2011 门头沟一模)已知函数 f ( x) ? ?

, 若 f (a) ? 1, 则实数 a 的值是 . ?? x ? 2 x, x ? 0. x ?a 10. (2012 上海高考)已知函数 f ( x) ? e ( a 为常数) .若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数, 则 a 的取值范围是 . a 11 . 函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在区间 [1, 2] 上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2

x ? 0,

12.设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) , 2 ?1 (1)求 a 的值,使函数 f ( x ) 为奇函数; (2)试证明:对于任意 a, f ( x) 在 R 上为增函数.
x

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第6天

对数与对数函数 1. (2012 安徽高考) (log2 9) ? (log3 4) ? ( ) 1 1 A. B. C. 2 D. 4 4 2 1 ?0.2 1.2 2. (2012 天津高考)已知 a ? 2 , b ? ( ) , c ? 2log5 2 ,则( ) 2 A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a 2 3. (2012 陕西高考)集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M N ? ( ) A. (1, 2) B. [1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2] 4.(2012 济南质检)若函数 f ( x) ? loga ( x ?1)(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点,则定点的坐标为
( ) A. (1, 0) A. c ? b ? a 则 c 的取值范围是( A. (0,1]
x

B. (2, 0)
4.2

C. (1,1)
0.6

D. (2,1) , c ? log 0.6 7 ,则 a , b , c 的大小关系是( C. a ? c ? b D. a ? b ? c , )

5. (2012 丰台一模)设 a ? 0.6 , b ? 7 B. c ? a ? b

? B ? {x | 0 ? x ? c , 6. (2012 西城二模) 已知集合 A ? {x | log2 x ? 1} , 其中 c ? 0} . 若A B B
) B. [1, ??) ) C. (1, ??) )
1 1

C. (0, 2]

D. [2, ??) D. [1, ??)
x

7.函数 f ( x) ? log 2 (3 ?1) 的值域为( A. (0, ??) B. [0, ??)

8. (2012 门头沟一模)函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 ( 2 , ? 1) ,函数 y ? b (b ? 0 且 b ? 1) 的图象经过点 (1, 2 ) ,则下列关系式中正确的是( A. a 2 ? b 2 B. 2 a ? 2 b
1 1 C. ( ) a ? ( ) b 2 2

D. a 2 ? b 2 . .

9. (2012 江苏高考)函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为

2 2 10. (2012 北京高考)已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a ) ? f (b ) ?

1 ? ? x ? a, x ? , ? ? 2 11. (2012 石景山一模)设函数 f ( x) ? ? 的最小值为 ?1 ,求实数 a 的取值范围. ? log x, x ? 1 2 ? ? 2

12. (2012 济南质检)设函数 f ( x) ? ln(x ? ax ? 1) 的定义域为 A .
2

(1)若 1 ? A , ?3 ? A ,求实数 a 的范围; (2)若函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围.
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第7天

幂函数
1 2 1 4


1. (2012 曲阜质检)幂函数 y ? f ( x) )的图象经过点 (4, ) ,则 f ( ) ? ( A. 1 B. 2 C. 3
2

D. 4

2. (2012广州一模)已知幂函数 y ? (m2 ? 5m ? 7) xm ?6 在区间 (0, ??) 上单调递增,则实数 m ? ( ) A. 3 B. 2 C. 2 或 3 D. ?2 或 ?3 3.(2012 淄博模拟)若 a ? 0 ,则下列不等式成立的是 ( ) A. 2a ? ( ) ? (0.2)
a

1 2

a

B. (0.2) ? ( ) ? 2a
a a

1 2

C. ( ) ? (0.2) ? 2a
a a

1 2

D. 2a ? (0.2) ? ( )
a

1 2

a

4.函数 f ( x) ? ( x ?1)? ? 2 过定点( A. (1,3) B. (1, 2)

) C. (2,3) D. (0,1)

5. (2012 济宁质检)设 n ? {?1, ,1, 2,3} ,则使得 f ( x) ? xn 为奇函数,且在 (0, ??) 上单调 递减的 n 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6. (2012 韶关一模)下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. y ? ?

1 2



1 x

B. y ? 3x

C. y ? x

1 3

D. y ? lg x

7.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? x? (? ? 0) 与 y ? ? x ?

1

?

的图象应是(

)

8.(2012 海淀质检)函数 f ( x ) ? A. (0, 0) 9.函数 y ?

x ?1 图象的对称中心为( x B. (0,1) C. (1,0)

) D. (1,1)

2x ? 5 ( x ? A) 的值域是 [4, ??) ,则集合 A ? . x?3 ?2 x ? 2, ? , 10. (2011 北京高考)已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的 ?( x ? 1)3 , x ? 2. ? k 实根,则实数 的取值范围是________.
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11.(2012 淮北模拟)已知函数 f ( x) ? x ?1 ,若 f (a ? 1) ? f (10 ? 2a) ,求 a 的取值范围.

12.已知幂函数 y ? x3m?9 (m ? N * ) 的图象关于 y 轴对称,且在 ? 0, ??? 上单调递减,求满足

? a ? 1? 2 ? ? 3 ? 2a ? 2 的 a 得取值范围.

m

m

第8天

函数与方程
1

1. (2012 北京高考)函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为(
x

1 2



A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. (2012 东莞二模)方程 log3 x ? x ? 3 ? 0 的解所在的区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C.(2,3) D. (3,4) b} 表示 a,b 两个数中的最大数,设 3. (2011 丰台二模)用 max{a,

f ( x) ? max{? x2 ? 8x ? 4, log2 x} ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? kx 有 2 个零点,则 k 的取值范围
是( ) A. (0,3) A. 0 B. (0,3] B. 1
x 3

C. (0, 4) ) D. 3 C. 2

D. [0, 4]

4.函数 f ( x) ? x ? 2 ? ln x 在定义域内零点的个数为(

5. (2012 天津高考)函数 f ( x) ? 2 ? x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 6. (2013 揭阳质检)函数 f ( x) ? x ? lg x ? 3 的零点所在区间为( ) A. (3, ??) 7.已知 f ( x) ? B. (2,3) )



, 1 )( C. (2

D. (0,1)

1 ? ln x 在区间 (1, 2) 内有一个零点 x0 ,若用二分法求 x0 的近似值(精确度 0.1 ), x
) C.5
第 10 页 共 28 页

则需要将区间等分的次数为( A.3 B.4

D.6

8. (2012 汕头一模) 已知 a 是函数 f ( x) ? 5x ? log 1 x 的零点, 若 0 ? x0 ? a , 则 f ( x0 ) 的值 (
5



A. f ( x0 ) ? 0 ____________.

B. f ( x0 ) ? 0

C. f ( x0 ) ? 0

D. f ( x0 ) 的符号不能确定

9.已知函数 f ( x) ? 2mx ? 4 ,在 [?2,1] 上存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 m 的取值范围是

? 1 x 3 ?( ) ? , x ? 2, 10. (2012 朝阳一模)已知函数 f ( x) ? ? 2 若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 有两个不 4 ? ?log 2 x,?????0 ? x ? 2. 同的零点,则实数 k 的取值范围是 .

? 0 ? x ? 9, ?x 2 , f ( x ) ? ? 11. (2012 西城一模)已知函数 2 ? ? x ? x, ? 2 ? x ? 0.
1

(1)求 f ( x ) 的零点;

(2)求 f ( x ) 的值域.

12.证明方程 2 ? x ? 4 在区间 (1, 2) 内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确到 0.2 ) . 参考数据:
x

x
2x

1.125 2.18

1.25 2.38

1.375 2.59

1.5 2.83

1.625 3.08

1.75 3.36

1.875 3.67

第 11 页 共 28 页

第9天

空间几何体的结构

1.下列命题正确的是( ) A.棱柱的底面一定是平行四边形 B.棱锥的底面一定是三角形 C.棱台的底面是两个相似的正方形 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 2.一个棱锥的侧面都是正三角形,那么这个棱锥底面多边形边数最多是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 如果圆锥的侧面展开图是半圆, 那么这个圆锥的顶角 (圆锥轴截面中两条母线的夹角) 是 ( A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 4. 若一个长方体共顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 , 则这个长方体的对角线长为 ( A. 2 3 B. 3 2 C. 6 D. 6 5.(2012 温州联考)下图是一个正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形可能是 ( )

) )

6. 如图, 是一个无盖正方体盒子的表面展开图, A、 B、 C 为其上三点, 则在正方体盒子中, ∠ABC 等于( ) A.45° B.60° C.90° D.120°

7.一个圆锥的轴截面的面积是 3cm ,母线与轴的夹角为 30 ,求圆锥的母线长以及圆锥的高.

2

0

8.如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等,且侧棱垂直于底面,由 B 沿棱柱侧面

D .求三棱柱的 经过棱 CC1 到点 A 1 的最短路线长为 2 5 ,设这条最短路线与 CC1 的交点为
棱长.

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第 10 天
a 2 a3 B. 6 a3 C. 12 a3 D. 18
A. A. 1cm
3

三视图和直观图

3

1. (2012 梅州一模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
a a
正视图

a
侧视图

俯视图

2. (2012 浙江高考) 已知某三棱锥的三视图 (单位:cm ) 如图所示, 则该三棱锥的体积是 (
3



B. 2cm C. 3cm

3
1 正视图

3

D. 6cm

3

侧视图

2 俯视图

3. (2012 汕头质检)如图,一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长为 1 的正方形,侧视图是 一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为( ) A. 4? B. 3? C. 2?

主视图

侧视图

3 D. ? 2
俯视图

4. (2012 汕头一模)一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的侧视图 的面积为( ) A. 12 B. 8 C. 8 3 D. 6 3
正视图 2 3 侧视图

俯视图

5. (2012 新课标高考)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体的三视图,
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则此几何体的体积为( A. 6 B. 9 C. ?? D. ??



6. (2012 东城二模)若一个三棱柱的底面是正三角形,其正(主)视图如图所示,则它的体积 为 ( ) A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 4

1

1

1

7. (2012 湛江一模)一个几何体的三视图如图所示,正视图是正方形,俯视图为半圆,侧视图 为矩形,则其表面积为( ) A. 3? B. 4 ? ? C. 4 ? 2? D. 4 ? 3? 2 1
正视图 侧视图

俯视图

8. (2012 西城一模)已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 2cm ,其三视图中的俯视图如图所 示,则其侧视图的面积是( ) A. 4 3 cm2 C. 8cm
2

B. 2 3 cm2 D. 4cm
2

第 11 天

空间几何体的表面积与体积 1.正三棱柱的高为 3 ,底面边长为 2 ,则它的体积为( ) A. 2 B. 3 C. 3 D. 3 3 2.一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个圆锥的全面积是( A. 3? B. 3 3? C. 6? D. 9? 4? 3.已知正方体的外接球的体积是 ,则这个正方体的棱长是( ) 3
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2 3 3 4. (2012 新课标高考)平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 ,球心 O 到平面 ? 的距离为 2 ,
A. B. C. D. 则此球的体积为( ) A. 6? B. 4 3? C. 4 6? D. 6 3? 2 2 ? 5. (2012 上海高考)一个高为 的圆柱,底面周长为 ,该圆柱的表面积为______. 6. (2012 韶关一模)如图 BD 是边长为 3 的 ABCD 为正方形的对角线, A AB ? BCD 将 绕直线 旋转一周后形成的几何体的体积等于______. 7. (2012 江苏高考)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3 , B

2 3

3 3

2 2 3

D

AA1 ? 2 ,求四棱锥 A ? BB1D1D 的体积.
D1 A1 D A

C

C1 B1 C B

8.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱柱 分成体积为 V1 、 V2 的两部分,求 V1 : V2 的值.

C1 A1 B1

E A

C F B

第 12 天

空间点、线、面的位置关系 1.如果两条直线 a , b 没有公共点,那么 a , b 的位置关系是(

A.共面 B.平行 C.异面 2.下列说法正确的是( ) A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.梯形确定一个平面 D.一条直线和一个点确定一个平面 3.已知 E ,F ,G , H 是空间四点,命题甲: E , F ,G ,H 四点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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) D.平行或异面

4. (2012 广州调研)在正四棱锥 V ? ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1,侧棱长为 2, 则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为( ) A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

5.下列四个命题: ①若直线 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,则 a、c 是异面直线; ②若直线 a、b 相交,b、c 相交,则 a、c 相交; ③若 a∥b,则 a、b 与 c 所成的角相等; ④若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c. 其中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 6. (2012 江门一模)如图是某个正方体的侧面展开图, l1 、 l 2 是两条侧面对角线,则在正方体 中, l1 与 l 2 ( A.互相平行 ) B.异面且互相垂直 D.相交且夹角为

C.异面且夹角为

? 3

? 3
l2

l1

第 13 天

空间中的平行关系

1. (2012 湛江一模)对两条不相交的空间直线 a 和 b ,则( ) A.必定存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ? ? B.必定存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ∥ ? C.必定存在直线 c ,使得 a ∥ c , b ∥ c D.必定存在直线 c ,使得 a ∥ c , b ? c 2. (2012 东莞二模)已知直线 l,m,n 及平面 ? ,下列命题中是假命题的是( ) A.若 l ∥ m , m ∥ n ,则 l ∥ n B.若 l ∥ ? , n ∥ ? ,则 l ∥ n C.若 l ? m , m ∥ n ,则 l ? n D.若 l ? ? , n ∥ ? ,则 l ? n 3. (2012 四川高考)下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

AB ? 2 ,CC1 ? 2 2 , E 为 CC1 的 4. (2012 全国高考)已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1中 ,
中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 5. (2012 梅州一模)如图,在多面体 ABCDEFG 中,平面 ABC //平面 DEFG , AD ? 平面 DEFG ,AB ? AC ,ED ? DG ,EF ∥ DG , C ? E F ? 1 ,AB ? AD ? DE ? DG ? 2 . 且A (1)求证: BF //平面 ACGD ; (2)求三棱锥 A ? BCF 的体积. A C

B

D E
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G

F

6. (2012 湛江一模) 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? AC ? BC ? 2 ,PA ⊥平面 ABC ,BC ? AC , D 、 E 分别是 PC 、 PB 的中点. (1)求证: DE //平面 ABC ; (2)求证: AD ⊥平面 PBC ; P (3)求四棱锥 A ? BCDE 的体积.

D E A B C

第 14 天

空间中的垂直关系
) B.若 l ∥ ? , l ⊥ ? ,则 ? ⊥ ?

1. (2012 浙江高考)设 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面( A.若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ?

C.若 ? ⊥ ? , l ⊥ ? ,则 l ⊥ ? D.若 ? ⊥ ? , l ∥ ? ,则 l ⊥ ? 2. (2012 东城二模)设 m, n 是两条不同的直线,? , ? 是两个不重合的平面,那么下面给出的条 件中一定能推出 m ? ? 的是( A. ? ? ? ,且 m ? ? C. ? ? ? ,且 m ∥ ? ) B. m ∥ n ,且 n ? ? D. m ? n ,且 n ∥ ?

3. (2012 密云一模)已知 ? , ? 是平面, m , n 是直线,给出下列命题 ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? . ②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? . ③如果 m ? ? , n ? ? , m 、 n 是异面直线,那么 n 与 ? 相交. ④若 ? ? ? m , n ∥ m ,且 n ? ? , n ? ? ,则 n ∥ ? 且 n ∥ ? . 其中正确命题的有 . (填命题序号) 4. (2012 惠州一模)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中正确命题的有 . (填命题序号) 5. (2012 济南一模)如图,四棱锥 S ? ABCD 中, M 是 SB 的中点, AB / / DC , BC ? CD , SD ? 平面 SAB ,且 AB ? BC ? 2CD ? 2SD . S (1)证明: CD ? SD ; (2)证明: CM ∥平面 SAD . M

D A
第 17 页 共 28 页

C

B

6. (2012 济宁质检) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形, 且 PA ? AD ? 1 ,AB ? 2 ,

?PAB ? 120 , ?PBC ? 90 . (1)求证:平面 PAD ? 平面 PAB ; (2)求三棱锥 D ? PAC 的体积.

D

C

A

B

P

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师宗三中高一寒假作业详细答案 第1天 集合 1. B 【解析】 ∵ M ? {?1,0,1} ,N ? {0,1} , ∴M

N?{ 0 ,1 } . 2. A 【解析】? U M ? {2, 4,6} .

2 3.D 【解析】 A ? {x x ? 2 x ? 3 ? 0} ? {?1,3} , B 有 ? , {?1} , {3} , {?1,3} ,共 4 个.

4.C【解析】∵ x ? A, y ? B ,∴当 x ? ?1 时, y ? 0,2 ,此时 z ? x ? y ? ?1,1 , 当 x ? 1 时, y ? 0,2 ,此时 z ? x ? y ? 1,3 ,∴集合 {z z ? ?1,1,3} ? {?1,1,3} 共三个元素. 5.D 6.C【解析】∵ N ? {0,3,9} ,∴ M

N ? {0,3} .

7.A 【解析】集合 A 有 ?,{1},{2},{1, 2} ,共 4 个. 8.C 9.D【解析】阴影部分表示 A

(? U B) ,故选 D. 10.A
? ? n 1 ? ? ,n?Z? , 2 2 ?

【解析】当 k ? 2n, n ? Z 时, N ? ? x x ?

n 1 ? ? ,n?Z? ? M , 2 4 ? ? M N ∴ ,∵ x0 ? M ,∴ x0 ? N . 11. 【解析】 ∵ A B ? A ,∴ B ? A . (1)当 B ? ? 时,则 m ? 1 ? 2m ? 1 ,解得 m ? 2 . ? m ? 1 ? 2m ? 1 ? ?? ,解得 2 ? m ? 3 .∴实数 m 的取值范围是 m ? 3 . (2)当 B ? ? 时,则 ? 2 m ? 1 ? 5 ? m ? 1 ? ?2 ?
当 k ? 2n ? 1, n ? Z 时, N ? ? x x ? 12. 【解析】(1) ∵ 2 ? S , ∴

?

1 ? S ,即 ?1 ? S , ∴ 1 ? S ,即 1 ? S ; 1? 2 2 1 ? ? ?1?
1 ?S , ∴ 1? a
1

1 ? 1? ? S ; 1 a 1? 1? a (3) 集合 S 中不能只有一个元素,用反证法证明如下: 1 假设 S 中只有一个元素,则有 a ? ,即 a2 ? a ? 1 ? 0 ,该方程没有实数解, 1? a ∴集合 S 中不能只有一个元素.
(2) 证明:∵ a ? S , ∴

第2天

函数的概念 1.D【解析】∵ x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?1 . 2.B【解析】当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 1 时, y ? 0 ;当 x ? 2 时, y ? 2 . 3.A【解析】由 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 . ??( x ? 1) 2 +1, x ? [0,3], ? 4.C【解析】∵ f ( x) ? ? , 2 ? ?( x ? 3) ? 9, x ? [?2, 0). ∴当 x ? [0,3] 时, f ( x) ? [?3,1] ;当 x ? [?2, 0) 时, f ( x) ? [?8, 0) ; ∴ f ( x ) 的值域为 [?3,1] [?8,0) ? [?8,1] .
2 2 2 5.B【解析】∵ y ? ? x ? 1,?1 ? x ? 2 ,∴ ?2 ? 1 ? y ? ?0 ? 1 ,即 ?3 ? y ? 1 .

第 19 页 共 28 页

2 2 2 2 4 13 ,∴ f ( f (3)) ? f ( ) ? ( ) ? 1 ? ? 1 ? . 3 3 3 9 9 7.B 【解析】由图象可知,该函数的定义域为 [?3,3] ,值域为 [?2, 2] . 1 1 1 1 1 {a ? } ? a ? ? 0 ? a ? , 8. A 【解析】 当 a ? (0, ) 时, 则 {a} ? a ? 0 ? a , ∴ {a} ? {a ? } . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 当 a ? [ ,1) 时,则 {a} ? a ? 0 ? a , {a ? } ? a ? ? 1 ? a ? ,∴ {a} ? {a ? } . 2 2 2 2 2 9. 【答案】 ? ?1,0? ? 0, ???
6.D【解析】∵ f (3) ?

?x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1且x ? 0 ,∴定义域为 [?1, 0) (0, ??) . ?x ? 0 10. 9 【解析】 3 ? 3 ? 9 . 11. 【解析】设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,∵ f (0) ? 0 ,∴ c ? 0 ,∴ f ( x) ? ax2 ? bx .
【解析】由 ? 又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 .∴ a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? ax2 ? bx ? x ? 1 , ∴ 2ax ? a ? b ? x ? 1 ,

1 ? a? ? ?2a ? 1 1 2 1 ? 2 ∴? ,解得 ? .∴ f ( x ) ? x ? x . 2 2 ?a ? b ? 1 ?b ? 1 ? ? 2 1 1 2 12. 【解析】 f ( x) ? ( x ? 1) ? ? a 的对称轴为 x ? 1 .∴ [1, b] 为 f ( x ) 的单调递增区间. 2 2 1 1 2 ∴ f ( x) min ? f (1) ? a ? ? 1 ①, f ( x) max ? f (b) ? b ? b ? a ? b ② 2 2 3 ? ?a ? 由①②解得 ? 2. ? ?b ? 3 第 3 天 函数的单调性
1.C 2.A 3.B 4.D【解析】∵ f ( x) 在 R 上是减函数,若 a ? b ? 0 ,∴ a ? ?b ,∴ f (a) ? f (?b) , 同理: f (b) ? f (?a) , ∴ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, x1 ? x2 又 f ( x ) 是偶函数,∴ f (?2) ? f (2) ,∵ 3>2 ? 1 ? 0 ,∴ f (3) ? f (?2) ? f (1) . 1 2 3 3 1 4 2 ? . 7.D【解析】∵ x ? x ? 1 ? ( x ? ) ? ? ,∴ f ( x) ? 2 2 4 4 x ? x ?1 3 ?a ? 2 ? 0, 13 ? 8.B【解析】 ? 1 2 ,解得 a ? . 8 ( ) ? 1 ? 2(a ? 2) ? ? 2 1 1 1 9. , 1 【解析】 f ( x ) ? 在 (1, ??) 上是减函数,∴ f ( x ) ? 在 [2,3] 上是减函数, 2 x ?1 x ?1
5.A 6.A【解析】由
第 20 页 共 28 页

1 , f ( x)max ? f (2) ? 1 . 2 ?1,????????x ? 1, 10. (??,1] 【解析】 y ? x ? 1 ? x ? ? ?2 x ? 1, x ? 1.
∴ f ( x) min ? f (3) ? 作出该函数的图象如图所示. 由图象可知,函数的单调增区间是 (??,1] . 11. 【解析】∵ y ? f ( x) 在定义域为 [?1,1] 是减函数, ∴由 f (1 ? a) ? f (2a ?1) 得:

?1 ? a ? 2a ? 1 2 2 ? ? ?1 ? 1 ? a ? 1 ,解得 0 ? a ? , ∴ a 的取值范围是 [0, ) . 3 3 ? ?1 ? 2 a ? 1 ? 1 ?
12. 【解析】 (1)证明:设 x2 ? x1 ? 0 ,则

x ?x 1 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1 2 , a x1 a x2 x1 x2
又∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,∴ ∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上是单调递增函数.

x1 ? x2 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 x2

(2)∵ f ( x ) 在 [ , 2] 上的值域是 [ , 2] ,又 f ( x ) 在 [ , 2] 上单调递增, ∴ f( )?

1 2

1 2

1 2

第4天
1.D

1 1 2 , f (2) ? 2 .∴解得 a ? . 2 2 5 奇偶性
3.D 4.A 5.D

2.D

6.A【解析】∵ f ( x ) 为奇函数, f (2 x ? 1) ? f ( ) ? 0. ,

1 2

1 1 1 ,解得 x ? . 2 2 4 2 2 7.D【解析】∵设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,∴ f (? x) ? (? x) ? 2(? x) ?1 ? x ? 2x ?1 ? f ( x) , 同理:设 x ? 0 , f (? x) ? f ( x) ,∴ f ( x ) 为偶函数,图象关于 y 轴对称,
∴ f (2 x ? 1) ? f ( ? ) ,∴ 2 x ? 1 ? ? ∵ f ( x) ? x ? 2x ?1 ? ( x ? 1) ? 2 在 [0, ??) 上递增,
2 2

y

∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? 0 ? x2 ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 8.D【解析】∵ f ( x ) 为奇函数,∴ x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 可化为 xf ( x) ? 0 ,
-1 O

如图,根据 f ( x ) 的性质可以画出 f ( x ) 的草图,因此 xf ( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 0 ,或 0 ? x ? 1 . 9. 4 【解析】 f ( x ) 为偶函数,∴ f (?1) ? f (1) ,∴ ?5(?1 ? a) ? ?3(1 ? a) ,即 a ? 4 .

1

x

10. 3 【解析】由 g (1) ? f (1) ? 2 ? 1 ,得 f (1) ? ?1 ,∴ g (?1) ? f (?1) ? 2 ? ? f (1) ? 2 ? 3 .
2 11. 【解析】 (1)当 a ? 0 时, f ?x? ? x 为偶函数;当 a ? 0 时, f ? x ? 既不是奇函数也不是偶
2 函数. (2)设 x2 ? x1 ? 2 , f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? x1 ?

a a x1 ? x2 2 ? ? x2 ? ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a ? , x1 x2 x1 x2

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由 x2 ? x1 ? 2 得 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? 16 , x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0

要使 f ? x ? 在区间 ?2,??? 是增函数只需 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,即 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? a ? 0 恒成立,则

a ? 16 . 12. 【解析】 (1) f ( x ) 是 R 上的减函数,

∵对任意的实数 a ? R 有 f (?a) ? f (a) ? 0 恒成立.∴ f ( x ) 在 R 上的奇函数,∴ f (0) ? 0 . ∵ f ( x ) 在 R 上是单调函数,且 f (?3) ? f (0) ,∴ f ( x ) 在 R 上是减函数.

2? x 2? x ) ? 2 ,∴ f ( ) ? f (?3) , x x 2? x 2x ? 2 ? ?3 ,即 ? 0 ,解得: x ? ?1 ,或 x ? 0 , ∵ f ( x ) 在 R 上是减函数∴ x x ∴不等式的解集为 (??, ?1) (0, ??) . 第5天 指数与指数函数 1.C【解析】 x ? 2 时, y ? 2 ,故图象必经过点 (2, 2) . 2.B【解析】∵ f (1) ? a , f (?1) ? 2 , f (1) ? f (?1) ,∴ a ? 2 . 1 x ?x 3.A【解析】∵ y ? ( ) ? 2 ,∴它与函数 y ? 2x 的图象关于 y 轴对称. 2 4.C【解析】∵ y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过点 (1, 0) ,故 C 正确. 5.B 6.C【解析】∵ a ? 1 , b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,∴ a ? b ? c . 1 7. A【解析】 g (2) ? ? f (?2) ? ?2?2 ? ? . 4 x ? 2 , x?0 8. A【解析】∵ f ( x) ? 1 ? 2 x ? ? ,∴选项 A 正确. ?1 , x ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 9. ? 1 【解析】 ? a 或? 2 ,解得 a ? ?1 . ? 2 ? 1 ? 1 ? ? a ? 2a ? 1 10. 【解析】 ∵ f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数, ∴ t ? x ? a 在区间 [1, ??) 上单调递增, ∴ a ? 1.
(2)∵ f (?3) ? 2 , f ( 11 . 【解析】当 a ? 1 时, f ( x) ? a 在区间 [1, 2] 上为增函数,
x

2 ∴ f ( x)max ? f (2) ? a , f ( x)min ? f (1) ? a .∴ a ? a ?
2

a 3 ,解得 a ? 0 (舍去),或 a ? . 2 2 x 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) ? a 在区间 [1, 2] 上为减函数,∴ f ( x)max ? f (1) ? a ,

f ( x)min ? f (2) ? a2 . a 1 1 3 2 ∴ a ? a ? ,解得 a ? 0 (舍去),或 a ? . 综上可知, a ? ,或 a ? . 2 2 2 2 x 2 2?2 ? a? 12. 【解析】 (1)∵ f (? x) ? a ? ? x , 2 ?1 1 ? 2x 2(1 ? 2 x ) ? 0 ,∴ a ? 1 . 由 f ( x ) 是奇函数,∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 2a ? 1 ? 2x (2)证明:设 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则
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f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1 x1 x2 2 2 2(2 ? 2 ) ? x2 ? x1 , ? x1 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1) ∵ y ? 2x 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 ,
x1

∴ 2 1 ? 2 2 即2 1 ? 2 2 ? 0,
x x

x

x

又∵ 2 1 ? 1 ? 0 , 2 2 ? 1 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
x x

∵此结论与 a 取值无关,∴对于 a 取任意实数, f ( x ) 在 R 上为增函数.

第6天

对数与对数函数
lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 ? ? ? ? 4. lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

1.D【解析】 log 2 9 ? log3 4 ?

1 2 ∵ c ? 2 log5 2 ? log5 2 2 ? log5 4 ? 1,∴ c ? b ? a . 3.C 【解析】∵ M ? {x | lg x ? 0} ? {x | x ? 1},
?0.2 ? 20.2 ? 21.2 ,∴ 1 ? b ? a , 2.A【解析】∵ b ? ( )

N ? {x | x2 ? 4} ? {x | ?2 ? x ? 2} ,∴ M N ? (1, 2] . , y? 0 . 5. 4. B 【解析】 令 x ?1 ? 1 , 得x?2 B 【解析】 ∵ 0 ? a ? 1 ,b ? 1 ,c ? 0 , ∴c ? a ? b. 6.D【解析】∵ A ? {x | 0 ? x ? 2} , A B ? B ,∴ c ? 2 .
7.A【解析】∵ 3 ? 1 ? 1,∴ f ( x) ? log2 (3x ? 1) ? log2 1 ? 0 .
x

8.C【解析】∵ loga 2 ? ?1 ? loga a?1 ,∴ a ? 9.(0, 6]【解析】 ∵ 1 ? 2log6 x ? 0 , ∴ log6 x ?

1 1 1 1 ,∵ b ? 2 ,∴ b ? 2 ,∴ ( )a ? ( )b . 2 2 2
1

10.2【解析】∵ f ( x) ? lg x ,∴ f (ab) ? 1 , lg ab ? 1 ,

1 , ∴ log6 x ? log6 6 2 ? log6 6 , ∴0< x ? 6 . 2

2 2 2 2 ∴ f (a ) ? f (b ) ? lg a ? lg b ? 2(lg a ? lg b) ? 2lg ab ? 2 .

11. 【解析】当 x ? 当x?

1 1 时, f ( x) ? (a ? , ??) , 2 2

1 1 时, f ( x) ?[?1, ??) ,∵ f ( x ) 的最小值为 ?1 ,∴ (a ? , ??) ? [?1, ??) 2 2 1 1 1 ∴ a ? ? ?1 ,即 a ? ? . ∴实数 a 的取值范围是 a ? ? . 2 2 2 ? 1? a ?1 ? 0 10 10 12. 【解析】 (1)由题意,得 ? ,解得 a ? .∴实数 a 的范围为 [ ,?? ) . 3 3 ?9 ? 3a ? 1 ? 0
2 2 (2)由题意,得 x ? ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,则 ? ? a ? 4 ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? 2 . 2) . ∴实数 a 的范围为 (?2,

第7天

幂函数

第 23 页 共 28 页

? ? 1 2 1 1.C【解析】设 f ( x) ? x ,则 ? 4? ,∴ ? ? ? ,∴ f ( x) ? x 2 ,∴ f (2) ? 2 2 ? . 2 2 2
?

1

1

2.A【解析】由 ?

2 ? ?m ? 5m ? 7 ? 1 ,解得 m ? 3 . 2 m ? 6 ? 0 ? ?
a

1 a 2 ? 4.C【解析】令 x ? 1 ? 1 ,得 x ? 2, y ? 3 , ∴函数 f ( x) ? ( x ?1) ? 2 过定点 (2,3) .
3.B【解析】∵ a ? 0 , y ? xa 在 (0, ??) 上是减函数,∴ (0.2) ? ( ) ? 2a . 5.A 6.C 7.B【解析】先由一个图象的位置特征确定 ? 的大小, 再由此 ? 值判断另一图象位置特征是否合适,可判定选 B.

x ?1 1 ? 1 ? ,∴对称中心为 (0,1) . x x 7 x ? 7 2x ? 5 2 ? 0 ,∴ 3 ? x ? 7 . ? 4 ,∴ 9. (3, ] 【解析】∵ y ? 2 x?3 2 x ?3 2 10. (0,1) 【解析】 f ( x) ? 在 [2, ??) 上递减,故 f ( x) ? (0,1] , x 3 f ( x) ? ( x ?1) 在 (??, 2) 上递增,故 f ( x) ? (??,1) , ∵ f ( x) ? k 有两个不同的实根,∴实数 k 的取值范围是 (0,1) .
8.B【解析】∵ f ( x ) ? 11. 【解析】由函数 f ( x) ? x ?1 的图象可得,

?a ? 1 ? 0 ?a ? 1 ? 0 ?a ? 1 ? 0 ? ? ,或 ?10 ? 2a ? 0 ,或 ?10 ? 2a ? 0 ,∴ a ? ?1 或 3 ? a ? 5 . ? ?10 ? 2a ? 0 ? a ? 1 ? 10 ? 2a ? a ? 1 ? 10 ? 2a ? ? 12. 【解析】∵函数在 ? 0, ??? 上的单调递减,∴ 3m ? 9 ? 0 ,解得 m ? 3 ;
∵ m ? N ,∴ m ? 1, 2 .当 m ? 1 时, 3m ? 9 ? ?6 ,当 m ? 2 时, 3m ? 9 ? ?3 ,
*

又函数图象关于 y 轴对称,∴ 3m ? 9 是偶数,∴ m ? 1 .
?a ? 1 ? 0 2 ? ∵ y ? x 在 [0, ??) 上单调递增,∴ ?3 ? 2a ? 0 ,解得 ?1 ? a ? . 3 ?3 ? 2a ? a ? 1 ?
1 2

∴ a 的取值范围是 ?1 ? a ?

2 . 3

第8天

函数与方程
1

1 x 2 2.C【解析】令 f ( x) ? log3 x ? x ? 3 ,∵ f (2) ? 0 , f (3) ? 0 ,∴ f (2) ? f (3) ? 0 ,故选 C. 3.C【解析】依题意函数 y ? f ( x) 与直线 y ? kx 有两个交点.当 k ? 0 显然不成立,排除 D.其
1.B【解析】∵ y ? x 2 和 y ? ( ) 的图象只有一个交点,∴零点只有一个,故选 B. 次,二次函数的顶点是(4,12) ,与原点连线的斜率是 3,显然成立,排除 A,B. 4.C【解析】画出函数 y ? x ? 2 和函数 y ? ln x 的图象有两个交点,则原函数有两个零点.
x 3 5.B【解析】令 f ( x) ? 0 ,得 2 ? 2 ? x ,∵ y ? 2 和 y ? 2 ? x 的图象的交点有 1 个,
x 3

第 24 页 共 28 页

∵ f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 ,∴在区间 (0,1) 内函数的零点个数为 1. 6.B【解析】∵ f (1) ? ?2 ? 0 , f (2) ? 1g 2 ? 1 ? 0 , f (3) ? 1g 3 ? 0 ,∴ f (2) ? f (3) ? 0 .

1 n 2 8.C【解析】∵ f ( x) ? 5x ? log 1 x 在 (0, ??) 上为增函数,∵ 0 ? x0 ? a ,∴ f (x 0) ? f (a) ? 0 .
7.B【解析】 ( ) ? 0.1 ,解得 n ? 4 . 9. (??, ?2] [1, ??) 【解析】 f (?2) ? f (1) ? (?4m ? 4)(2m ? 4) ? 0 ,∴ m ? 1 ,或 m ? ?2 . 10. ( ,1) 【解析】当 x ? 2 时, f ( x ) ? ( ,1] ,当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? ( ??,1) ,∴ k ? ( ,1) . 11. 【解析】 (1)由 ?
5

3 4

3 4

3 4

? ?0 ? x ? 9 ? ?x ? 0
1 2

,解得 x ? 0 ;由 ?

??2 ? x ? 0
2 ?x ? x ? 0

,解得 x ? ?1 ; ∴ f ( x ) 的零点是

1 ?1 和 0 . (2)∵当 x ? [?2, 0) 时, f ( x) ? [? , 2] ,当 x ? [0,9] 时, f ( x) ? [0,3] ,∴ f ( x ) 的 4 1 值域是 [? ,3] . 4 12. 【解析】设函数 f ( x) ? 2x ? x ? 4 ,∵ f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 4 ? 0 ,
又∵ f ( x ) 是增函数,∴函数 f ( x) ? 2x ? x ? 4 在区间 [1, 2] 有唯一的零点, 取区间 ?0,1? 作为起始区间,用二分法逐次计算如下 中点的值 中点函数值 取区间 则方程 2 ? x ? 4 在区间 (1, 2) 有唯一一个实数解.
x

区间长度

(1, 2)

1

x1 ? 1.5 x2 ? 1.25
x3 ? 1.375

f ( x1 ) ? 0

(1,??1.5) (1.25,1.5)

0.5 0.25 0.125

f ( x2 ) ? 0 f ( x3 ) ? 0

(1.375,1.5)

由上表可知区间 ?1.375,1.5? 的长度为 0.125 ? 0.2 , ∴函数 f ( x) 零点的近似值可取 1.375 (或 1.5 ) .

第9天
1.D

空间几何体的结构
2. B 3.C【解析】设圆锥的底面圆半径为 r ,母线长为 l ,高为 h ,则

∴ l ? 2r ,∴轴截面为等边三角形,故选 C. 4.D【解析】设长方体的长、宽、高分别为 x 、 y 、 z ,则

2? r ?? , l

? xy ? 2 ? ? ∵ ? xz ? 3 , 解得 xyz ? 6 , ∴ x ?1 ,y? 2 , z?3 ? ? ? yz ? 6

. ∴对角线长 d ?

x2 ? y 2 ? z 2 ? 6 .

5.B【解析】∵在这个正方体的展开图中与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线,当变成正 方体后,这三条直线应该互相平行. 6.B
第 25 页 共 28 页

7. 【解析】如图, ?SAB 是圆锥的轴截面,设母线长为 l ,则 ∵ ?BSO ? 30 ,
0

S

∴高 h ? SO ?

1 3 l , OB ? l . 2 2
A O B

又 ∵ S ?SAB ? ∴

1 AB ? SO ? OB ? SO ? 3 , 2

3 2 l ? 3 ,∴ l ? 2 , h ? 3 , 4

即圆锥的母线长是 2cm ,高为 3cm .

8. 【解析】将侧面展开为如图, 则由 B 经棱 CC1 到点 A 1 的最短距离为 A 1B ? 2 5 ,
2 2 设棱长为 x ,则有 ( x ? x) ? x ? 20 ,解得 x ? 2 , 故三棱柱的棱长为 2 .

第 10 天
∴V ?

三视图和直观图

1. A【解析】∵该几何体的为一个直三棱柱,

1 1 ? a ? a ? a ? a 3 . 2.A【解析】由题意判断出,底面是一个直角三角形, 2 2 1 1 两个直角边分别为 1 和 2,整个棱锥的高为 3,∴三棱锥的体积为 ? ? 1? 2 ? 3 ? 1 . 3 2 1 3.D【解析】这是一个横放的圆柱体,其底面半径 r ? ,高 h ? 1 , 2 3? 2 ∴ S表 ? 2S底 ? S侧 ? 2? r ? 2? rh ? . 2 4.D【解析】设正三棱柱的底面边长为 a ,高为 h , 3 2 由三视图可知: a sin 60 ? 2 3 ,∴ a ? 4 ,∴ V ? ? 4 ? h ? 12 3 ,解得 h ? 3 .∴ 4 S侧 =2 3 ? 3 ? 6 3 .
5.B【解析】由三视图知,其对应几何体为三棱锥, 其底面为一边长为 6,这边上高为 3,棱锥的高为 3,故其体积为 ? ? 6 ? 3 ? 3 =9. 6.A【解析】∵三棱柱的底面边长 a ? 2 ,∴ V ?

1 1 3 2

3 2 ? 2 ?1 ? 3 . 4

7.D【解析】由三视图知几何体的直观图是半个圆柱,

1 1 ? 2? ?1? 2 ? 2 ? ? ? ?12 ? 4 ? 3? . 2 2 8.A【解析】侧视图为长方形,其中一边为 2cm ,设另一边为 acm ,
表面积为 2 ? 2 ? ∵ a ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos120 ? 2 3 ,∴侧视图的面积是 2 ? 2 3 ? 4 3 ( cm ) .
2

第 11 天
1.D

空间几何体的表面积与体积
3.D【解析】设正方体的边长为 a ,则球的半径为 R ?

2.A

3 a, 2

第 26 页 共 28 页

4? 3 4? 2 3 2 R ? ,∴ R ? 1 ,∴ a ? . 4.B【解析】球半径 r ? 1 ? ( 2 ) ? 3 ,∴ 3 3 3 4 3 球的体积为 ? ? ( 3 ) ? 4 3? . 5. 6? 【解析】底面圆的周长 2?r ? 2? , 3 2 ∴圆柱的底面半径 r ? 1 ,∴圆柱的侧面积为 4? ,两个底面积为 2?r ? 2? .∴圆柱的表面积 为 6? . 6. 18? 【解析】该几何体的是由一个圆柱再减去一个圆锥,几何体的体积为 1 V ? ? ? 32 ? 3 ? ? ? 32 ? 3 ? 18? . 3
∵ 7. 【解析】∵长方体底面 ABCD 是正方形,∴ ?ABD 中 BD=3 2cm , BD 边上的高是 (它也是 A ? BB1D1D 中 BB1D1D 上的高) . ∴VA? BB1D1D

D1 A1

3 2cm 2
C1 B1

1 3 ? ?3 2 ? 2? 2=6 . 3 2

D 8.【解析】延长 A1 A, B1F , C1E 交于点 P , C 设原三棱柱底面积为 S ,高为 h , A B 1 2 1 1 1 1 ∴ VP ? A1B1C1 ? S ? 2h ? Sh , VP ? AEF ? S AEF ? h ? ( S A1B1C1 ) ? h ? Sh , 3 3 3 3 4 12 2 1 7 ∴ V1 ? VP ? A1B1C1 ? VP ? AEF ? ( ? ) Sh ? Sh 3 12 12 D1 C1 7 5 l1 ∴ V2 ? Sh ? V1 ? Sh ? Sh ? Sh ,∴ V1 : V2 ? 7 : 5 . A1 12 12 B1 第 12 天 空间点、线、面的位置关系 l2
1.D 2.C 3.A 4.D 5.D【解析】只有③正确. 6.D【解析】如图: l1 、 l 2 在正方体中即为 AB1 、 B1D1 ,

D

C B

∵ ?AB1D1 为正三角形,∴ ?AB1D1 ? 60 ,∴ l1 与 l 2 相交且夹角为

?A . 3
D1

第 13 天

空间中的平行关系
C1 B1 D A O B E C

1.B 2.B 3.C 4.D 【解析】连结 AC, BD 交于点 O ,连结 OE , ∵ O, E 是中点,∴ OE // AC1 ,∵ OE ? 平面 BED , AC1 ? 平面 BED ,A1 ∴ AC1 ∥平面 BED ,∴直线 AC1 与平面 BED 的距离 等于点 C1 到平面 BED 的距离,等于点 C 到平面 BED 的距离, A 设点 C 到平面 BED 的距离为 h ,则

C

1 1 ∵ VE ? BCD ? VC ? EBD ,∴ S ?BCD ? CE ? S ?EBD ? h , B 3 3 1 1 ∴ BC ? DC ? CE ? BD ? OE ? h , 2 2 ∴ 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? h ,∴ h ? 1 . 5. 【解析】 (1)取 DG 的中点 M ,连接 AM , FM ,E
第 27 页 共 28 页

D F

M

G

∵ EF ?

1 DG ,∴ EF ? DM ,∵ EF ∥ DG ,∴ EF ∥ DM , 2 ∴四边形 DEFM 是平行四边形,∴ DE // MF ,

?

又∵ DE // AB ,∴ AB // MF . ∴四边形 ABFM 是平行四边形,

?

?

∴ BF ∥ AM , 又 BF ? 平面 ACGD , AM ? 平面 ACGD ,∴ BF //平面 ACGD . (2)∵平面 ABC //平面 DEFG ,即 F 到平面 ABC 的距离为 AD ,

1 1 1 2 S ?ABC ? AD ? ? ( ?1? 2) ? 2 ? . 3 3 2 3 6.【解析】 (1)∵ D 、 E 分别是 PC 、 PB 的中点,∴ DE / / BC . 又 BC ? 平面 ABC , DE ? 平面 ABC ,∴ DE //平面 ABC . (2)∵ PA ⊥平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,∴ PA ⊥ BC , 又∵ BC ? AC , PA AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC . ∵ AD ? 平面 PAC .∴ BC ? AD . ∵ PA ? AC ,D 是 PC 的中点, ∴ PC ? AD , ∵ PC AC ? C , ∴ AD ⊥平面 PBC . (3) 由(2)知: AD ⊥平面 PBC ,∴ AD 为四棱锥 A ? BCDE 的高. ∵在 Rt ?PAC 中, PA ? AC ? 2 ,∴ AD ? 2 . 1 1 由(2)知四边形 BCDE 为直角梯形,且 DE ? BC ? 1, DC ? PC ? 2 , 2 2 1 3 2 1 1 3 2 ∴ S BCDE ? (1 ? 2) ? 2 ? . ∴ VA? BCDE ? S BCDE ? AD ? ? ? 2 ?1. 2 2 3 3 2 第 14 天 空间中的垂直关系
∴ VA? BCF ? VF ? ABC ? 1.B 2.B 3.①④ 4.②④ 5. 【解析】 (1)∵ SD ? 平面 SAB , AB ? 平面 SAB , ∴ SD ? AB ,∵ AB / / DC ,∴ CD ? SD .
// 1 AB , (2)取 SA 中点 N ,如图:连结 ND , NM ,则 NM ?
S

N D

M C

2

B // 1 AB ,∴ NM // DC ,∴四边形 NMCD 是平行四边形, ∵ DC ? ? 2 ∴ ND / / MC .∵ ND ? 平面 SAD , MC ? 平面 SAD , ∴ CM ∥平面 SAD . 6. 【解析】(1)证明:∵四边形 ABCD 为矩形, ∴ AD ? AB ,且 AD / / BC ,∵ ?PBC ? 90 ,∴ BC ? PB ,∴ DA ? PB , ∵ AB PB ? B ,∴ DA ? 平面 PAB .又∵ DA ? 平面 PAD , ∴平面 PAD ? 平面 PAB . (2) ∵ VD?PAC ? VP?DAC ? VP? ABC ? VC ?PAB ,由(1)知 DA ? 平面 PAB ,且 AD / / BC ,

A

∴ BC ? 平面 PAB .∵ S?PAB ? ∴ VD ? PAC ? VC ? PAB

1 3 PA ? AB ? sin ?PAB ? , 2 2 1 1 3 3 3 ? S?PAB ? BC ? ? ?1 ? .∴三棱锥 D ? PAC 的体积为 . 3 3 2 6 6
第 28 页 共 28 页


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