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8[1].2消元——二元一次方程组的解法1精品课件


想一想?
问题1:什么是二元一次方程?二元一次方程 组?二元一次方程组的解? 问题2:你能把3x+y=7改成用x的代数式

表示y的形式吗?

回顾与思考
篮球联赛中每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分, 负一场得1分.如果某队为了争取较好名次,想在全部22 场比赛中得40分,那么这个队胜、负场数应分别是多少? 解

:设胜x场,负y场;

x ? y ? 22 ① 2 x ? y ? 40 ②
由①我们可以得到: 再将②中的y换为

解:设胜x场,则有: 2 x ? (22 ? x) ? 40 ③
y ? 22 ? x
就得到了③ 比较一下上面 的方程组与方 程有什么关系?

22 ? x

③是一元一次方程,相信大家都会解。那么根据上 面的提示,你会解这个方程组吗?

二元一次方程组中有两个未知数,如果消去 其中一个未知数,将二元一次方程组转化为我们熟悉 的一元一次方程,我们就可以先解出一个未知数,然 后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化 少、逐一解决的思想,叫做消元思想.
归 纳: 上面的解法,是把二元一次方程组中一个方程的一个未 知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方 程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种 方法叫代入消元法,简称代入法

例题分析 试一试: 用代入法解方程组 y=x-3 ⑴ 3x-8y=14 ⑵

分析:方程⑴中的(x-3)替换方程(2)中的y,从而达到消 元的目的. 方程化为:3x-8(x-3)=14 (1)找到一个未知数的系数是1的方程,表示成x=?或 y=? . (2)方程组经过等量代换可以消去一个未知数,变成 一个一元 一次方程。

{2x+5y=1 x=y-3

① ②

解方程组

2 x ? y ?37 ① x ? y ?1 ②

解:把②代入①,得 2(y-1)+y=37 2y-1+y=37
即 2y-2+y=37

解:把②代入①得

2(y-3)+5y=1 2y-6+5y=1 2y+5y=1+6 7y=7 y=1

解得 y=13
把y=1代入②,得 x=13-1=12

把y=1代入②得:x=1-3=-2 x ?12 所以这个方程组的解为: { x=-2 所以原方程组的解是{y ?13 y=1

用代入法解二元一次方程 组的一般步骤
1、变形用含有一个未知数的一次式

解:由(1)得 x=y+3

表示另一个未知数
把(3)代入(1)可以吗?

(3)
2、代入化简得到一个一元一次方程,求 得一个未知数的值

把(3)代入(2)得 3(y+3)-8y=14 3y+9-8y=14 3y-8y=14-9 -5y=5 y=-1 把y=-1代入(3)得:x=2
这个方程组的解为: ?

把y=-1代入(1)或 3、代入一次式,求得另一个未知数 (2)可以吗?
的值

x=2 y=-1

4、得解写出方程组的解

解方程组

x ??2 y { 2 x ? y ?6 1、
2?? -2y ?? y ?6 解这个方程得:y=-2 把y=-2代入(1)得 x=4

(1) (2)

2 y ? x ?3 { 2、 x ? y ?1
2y -? y +1?=3

(1)
(2)

解:把(1)代入(2)得

解:把(2)代入(1)得

解这个方程得:y=4 把y=4代入(2)得:x=5 ? x=5 ? 所以这个方程组的解为: ? ? y=4 ?

? x=4 ? 所以这个方程组的解为: ? ? y=-2 ?

例3 学以致 根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500g) 用 和小瓶装(250g),两种产品的销售数量(按瓶计算) 的比为 2 : 5 , 某厂每天生产这种消毒液22.5吨, 这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶?
解:设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶。 ① ?5 x ? 2 y 根据题意可 ? ② 列方程组: ?500 x ? 250 y ? 22500000 5 由 ① 得: y ? x ③ 2 5 把 ③ 代入 ② 得: 500 x ? 250 ? x ? 22500000 2 ? x ? 20000 解得:x=20000

?? 把x=20000代入 ③ 得:y=50000 ? y ? 50000 答:这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶。

再议代入消元法
?5 x ? 2 y ? ?500x ? 250y ? 22500000
? 5x ? 2 y ? ? 代入 ? ? 500x ? 250y ? 22500000
变形

上面解方程组的过程可以用下面的框图表示: 二 元 一 次 方 程
5 y? x 2
消y

y=50000 x=20000
解得x 一元一次方程

5 用 2 x代替y,

500 x ? 250 ?

5 x ? 22500000 2

消去未知数y

再练习:

你解对了吗?

1、用代入消元法解下列方程组
y=2x

x=4 y=8


x+y=12

y-5 x=— 2

x=5 y=15


4x+3y=65 3x-2y=9

x+y=11


x-y=7

x=9

y=2


x+2y=3

x=3
y=0

1

1

2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元一次方程, 求m 、n 的值. 解: 根据已知条件可 列方程组: 2m + n = 1 ① 3m – 2n = 1 ② 由①得:n = 1 –2m ③ 把③代入②得: 3m – 2(1 – 2m)= 1 3m – 2 + 4m = 1 7m = 3

3 把m ? 代入③,得: 7

n?

3 n ? 1? 2? 7 1
7

3 m? 7

3 1 ? m的值为 ,n的值为 7 7

1、解二元一次方程组的基本思路是什么? 基本思路: 消元: 二元

一元

2、用代入法解方程的步骤是什么? 主要步骤: 变形 代入 求解 用一个未知数的代数式

表示另一个未知数
消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解

写解


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