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2013-2014学年高中数学 2.2.2第1课时 椭圆的简单几何性质知能演练 理(含解析)新人教A版选修2-1


2013-2014 学年高中数学 2.2.2 第 1 课时 椭圆的简单几何性质知能 演练 理(含解析)新人教 A 版选修 2-1

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( 1 3 A. B. 3 3 1 3 D. 2 2 2 2 2 解析:选 D.由题意知,2a=4b,又 b =a -c , 3 3 2 2 2 得到 4c =3a ,e

= ,e= . 4 2 C.

)

2.两个正数 1、9 的等差中项是 a,等比中项是 b 且 b>0,则曲线 + =1 的离心率 为( ) 10 A. 5 2 C. 5 2 10 5 3 D. 5 B.

x2 y2 a b

9+1 解析:选 A.∵a= =5,b= 1?9=3, 2 5 3. 若中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18, 且两个焦点恰好将长轴三等分, 则此椭圆的方程是( ) A. C. + =1 81 72 + =1 81 45 ∴e= 2 = 10 . 5

x2 x2

y2 y2

B. + =1 81 9 D. + =1 81 36

x2 x2

y2

y2

1 1 解析:选 A.由已知得 a=9,2c= ?2a,于是 c= a=3. 3 3 又∵焦点在 x 轴上,∴椭圆方程为 + =1. 81 72 4.椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心率 为( ) 2 3 A. B. 2 2 5 6 D. 3 3 2 2 2 2 解析:选 A.易知 b=c,又 a =b +c =2c , c2 1 2 ∴ 2= ,e= . a 2 2 C.
1

x2

y2

5.椭圆 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为( ) 25 9 9-k 25-k A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距 C.有相同的焦点 D.有相同的顶点 2 2 2 解析:选 B.a -b =(25-k)-(9-k)=25-9=16=c , ∴c1、c2 相等. 1 6.离心率 e= ,一个焦点是 F(0,-3)的椭圆标准方程为__________. 2 c 1 y2 解析:依题意 = ,c=3,所以 a=6,b= 27,焦点在 y 轴上,所以椭圆标准方程为 a 2 36 + =1. 27 答案: + =1 36 27

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

x y 10 7.已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为________. 5 m 5
解析:若 m<5,则 若 m>5,则 5-m 10 = ,∴m=3. 5 5

2

2

m-5 10 25 = ,∴m= . 5 3 m

25 答案:3 或 3 8.若椭圆的短轴长为 6,焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1,则椭圆的离心率为 ________. 解析:依题意,得 b=3,a-c=1. 2 2 2 又 a =b +c ,解得 a=5,c=4, c 4 ∴椭圆的离心率为 e= = . a 5 4 答案: 5 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程. 6 (1)椭圆过(3,0),离心率 e= ; 3 (2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 8. 解:(1)若焦点在 x 轴上,则 a=3, c 6 2 2 2 ∵e= = ,∴c= 6,∴b =a -c =9-6=3. a 3 ∴椭圆的方程为 + =1. 9 3 若焦点在 y 轴上,则 b=3, c b2 9 6 ∵e= = 1- 2= 1- 2= , a a a 3 2 解得 a =27. ∴椭圆的方程为 + =1. 27 9 综上,所求椭圆的方程为 + =1 或 + =1. 9 3 27 9

x2 y2

y2

x2

x2 y2

y2

x2

2

(2)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0).

x2 y2 a b

如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 的中线(高),且|OF|=c,|A1A2| =2b,∴c=b=4, 2 2 2 ∴a =b +c =32, 故所求椭圆的方程为 + =1. 32 16 1 2 2 10.设椭圆方程为 mx +4y =4m,其离心率为 ,试求椭圆的长轴的长和短轴的长,焦 2 点坐标及顶点坐标. 解:椭圆方程可化为 + =1. 4 m (1)当 0<m<4 时,a=2,b= m,c= 4-m. c 4-m 1 ∴e= = = , a 2 2 ∴m=3,∴b= 3,c=1. ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是 4,2 3,焦点坐标为 F1(-1,0),F2(1,0),顶点坐 标为 A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,- 3),B2(0, 3). (2)当 m>4 时,a= m,b=2, ∴c= m-4, c m-4 1 16 ∴e= = = ,解得 m= , a 2 3 m 4 3 2 3 ∴a= ,c= , 3 3 8 3 2 3? ? ? 2 3? ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 ,4,焦点坐标为 F1?0,- ?,F2?0, ?, 3 3 ? 3 ? ? ? 4 3? ? ? 4 3? 顶点坐标为 A1?0,- ?,A2?0, ?,B1(-2,0),B2(2,0). 3 ? 3 ? ? ?

x2

y2

x2 y2

1.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若 ∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( 2 3 A. B. 2 3 1 1 C. D. 2 3 )

x2 y2 a b

b2 b2 解析:选 B.法一:将 x=-c 代入椭圆方程可解得点 P(-c,± ),故|PF1|= ,又在 a a Rt△F1PF2 中∠F1PF2=60°,

3

2b 3b 所以|PF2|= ,根据椭圆定义得 =2a,

2

2

a a c 3 从而可得 e= = . a 3 法二:设|F1F2|=2c,则在 Rt△F1PF2 中,
2 3 4 3 |PF1|= c,|PF2|= c. 3 3

所以|PF1|+|PF2|=2 3c=2a,离心率 e= =

c a

3 . 3

2.在平面直角坐标系中,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2c,以 O 为圆心,a 为半径

x2 y2 a b

? ? 作圆,过点? ,0?作圆的两切线互相垂直,则离心率 e=________. ?
解析:

a2 ?c

如图,切线 PA、PB 互相垂直,半径 OA 垂直于 PA, 所以△OAP 是等腰直角三角形, 故 = 2a, 解得 e= = 答案: 2 2

a2 c

c a

2 . 2

3.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= 原点的距离为 3 ,求椭圆的标准方程. 2

x2 y2 a b

6 ,过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与 3

解:e= = ∴

c a

a2-b2 6 = , a 3

a2-b2 2 2 2 = .∴a =3b ,即 a= 3b. a2 3 x y 过 A(0,-b),B(a,0)的直线为 - =1, a b 把 a= 3b 代入,即 x- 3y- 3b=0.
又由点到直线的距离公式得 |- 3b| 3 = ,解得:b=1,∴a= 3. 2 2 1+? - 3? ∴所求方程为 +y =1. 3 4.

x2

2

4

如图所示,F1,F2 分别为椭圆的左,右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标, 2 其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3 解:设椭圆的长半轴,短半轴,半焦距长分别为 a,b,c. 则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0), 2 M 点的坐标为(c, b), 3 则△MF1F2 为直角三角形. 在 Rt△MF1F2 中, 2 2 2 |F1F2| +|MF2| =|MF1| , 4 2 2 2 即 4c + b =|MF1| . 9 而|MF1|+|MF2| 4 2 2 2 = 4c + b + b=2a, 9 3 2 2 整理得 3c =3a -2ab. 2 2 2 又因为 c =a -b ,所以 3b=2a, 2 b 4 所以 2= , a 9 c2 a2-b2 b2 5 2 所以 e = 2= 2 =1- 2= , a a a 9 所以 e= 5 . 3

5


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