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2014年全国高中数学青年教师展评课:函数的概念教学设计(上海第三女子中学施雯)


《函数的概念》的教学设计
上海市第三女子中学 施雯

一、教学内容解析 本节课是上海市教育出版社《数学》高一第一学期数学第三章《函数的基本 性质》的第一节课,本章内容总共 16 课时, 《函数的概念》安排为 1 课时。 《上海市中小学数学课程标准》对本节课的要求及建议是: “加深理解函数的 概念,熟悉函数表达的解析法、列表法和图象法,懂得函数的抽象记

号以及函数 定义域和值域的集合表示,掌握求函数定义域的基本方法。对函数的值域只要求 在简单情形下能通过观察和分析进行确定。 ”其中,对学生学习水平的要求是: “对 所学函数概念有理性的认识,能用自己的语言进行叙述和解释,并能据此进行判 断;知道函数的概念的由来及其与其他知识之间的联系;知道其用途,并能进行 独立的尝试性应用。 ” 学生在初中已经初识了函数的概念,但当时的学习是在具体函数的基础上, 将重点放在了两个变量的“依赖关系”上;高中阶段再一次介绍函数的概念,则 把重点从“依赖关系”向“对应关系、性质、结构”转变,用集合与对应的语言 刻画函数。高一数学的起始两个章节“集合和命题”与“不等式”已为函数概念 的进一步学习做好了准备。 函数是高中数学的核心内容之一,函数的思想和方法贯穿于整个高中数学的 教与学之中。这节课,我尝试运用丰富的材料使学生能抽象出建立在对应观点上 的函数概念、并能用准确的数学语言进行刻画;从多角度来认识函数,并发现其 本质都是对应关系;进一步用集合语言表示定义域、值域,进一步理解符号 f 的 意义。这一节概念课将为接下来从具体到抽象研究函数的性质做准备,也为学生 函数的思想和方法的建立打下基础。 二、 教学目标设置

1.在初中函数概念的基础上,通过观察、辨析几个实际的例子,逐步抽象出“函 数的概念” ,并用准确的数学语言进行刻画。 2.理解并掌握函数的三种表示方法:解析法、图像法与列表法,并揭示出三种方 法背后的本质即“对应关系” 。 3.通过多个具体函数的例子,理解函数的三要素,掌握确定一个函数的方法。 教学重点: 1.准确理解函数概念中的“对应关系” ,通过比较体会用“集合-对应”来定义函 数概念的优点。 2.理解并掌握函数的三种表示方法。
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教学难点: 准确理解函数概念中的“对应关系” ,通过比较体会用“集合-对应”来定义函 数概念的优点。 三、学生学情分析 我这节课是借班上课,学生是上海市浦东新区洋泾中学高一(7)班的学生。 洋泾中学是一所市实验性示范性学校。在上这节课之前,我与学生们有过一次 20 分钟的接触,彼此有了初步的认识。 通过上教版八年级数学教材的学习,学生们已经掌握了基于“变量说”的函 数概念。与高中用“集合-对应”来定义函数不同,初中的概念侧重于两个变量的 依赖关系,还未引进集合的概念,也不提对应关系。 “变量-依赖关系”形象生动, 以此定义函数符合学生在八年级时的认知能力与需要,但其中描述性的语言损失 了数学的严谨性,也限制了函数的应用,所以有了进一步研究函数概念的必要。 学生对函数概念的理解有四个特点: 1.已熟悉具体的一次函数、反比例函数、二次函数、常值函数,生活中大量 的函数现象也使学生对函数的概念不缺乏感性认识;但对抽象的函数概念较生疏, 难以用自己的语言进行叙述、解释。 2.已熟悉求函数定义域的原则,对于“自变量” “因变量” “定义域” “值域” 等数学术语和符号“ f ( x) ”也不陌生;但没有用“集合-对应”的语言来表达,这 些零碎的函数知识也未能抽象成整体的知识框架。 3.虽然八年级数学教材《函数的概念》第一节课就用到“图像法”和“列表 法”来表示函数,但由于种种原因,学生对函数的理解不全面,往往错误地将“函 数”等价于“函数解析式” ,而学生学习的难点也正是要摆脱“解析法”的表象, 发现函数关系的本质即“对应关系” 。 4.由于“确定的依赖关系”没有明确指出因变量被自变量“唯一确定” ,学 生易将“函数”与“二元方程”混淆。 四、教学策略分析 依据这节课的教学内容与要求,并针对学生的认知能力和特点,我对本节课 的教学做了如下设计: 1.在教学内容的结构上,注重初高中函数概念的“辩证与统一” ,概念理解 兼顾“具体与抽象” ,教学安排选择“主要与次要” 。 “辩证与统一” : 本节课伊始即通过回顾初中函数的概念,指出概念有进一 步精细化的必要,让学生能带着目标进入这节“似曾相识”的概念课;当函数概 念被建立起来后,再次通过对照两个概念来揭示函数的本质即“对应关系” ,使初 高中知识得以衔接,并形成知识框架,能以更高的观点来引领后续的学习。

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“具体与抽象” :函数在生活中应用众多、学生对函数关系的感性体验也很丰 富,这些教学资源被充分地应用在本节课的前二十分钟里,透过不同的实例,逐 步将学生的注意力引导到函数共同的特征上,用恰当的方式抽象出函数的概念, 并对概念的关键字词进行深入辨析。最后再回到具体的例题中,应用概念来做判 断与辨析,使理解更深刻、准确。 “主要与次要” : 《上海市中小学数学课程标准》中明确要求“准确理解函 数的概念, 掌握求函数定义域的方法” , 因此将教学的重点放在函数概念的理解上, 突出主线,给予学生足够的时间来真正形成“集合-对应”的函数概念;而将定义 域的求法融入到整节课的例题里面,包括实际问题中的限制条件(三个实例)和 满足表达式有意义的条件(例题部分) ,并且将“分段函数”的概念也设计在例题 中,拓宽学生对函数解析法的应用,使例题有效且高效。这样的设计着重在概念 的形成,又涵盖了其它的知识点,达到本节课的教学目标。 2.在引导学生逐步由“具体到抽象”的概念形成过程中,采用了“启发式” 的教学方法,让学生“多角度”地体验,将重点与难点“有步骤”地突破,使概 念“图式化”地呈现,最后达到让学生抽象概括函数概念的目的。 “启发式”教学是以学生为教学的本体,充分调动学生的知、情、意、行等 方面的积极性,让学生有机会经历各个抽象阶段,从表现形式不同的数学材料中 分析它们的共同点,形成新的数学概念。为此我舍弃了教材中一些学生较难以入 手的函数例子(如喷泉水滴的高度与时刻的函数模型,出租车计价模型) ,选择了 一些与学生学习、生活密切相关的实例来激发他们的学习兴趣,用一个个问题把 他们带进数学课堂的探索之中。比如,第一个例子是学生们在初中就已经掌握的 物理问题:自由落体运动;第二个例子是手机移动数据流量余额问题;第三个例 子是麦当劳点餐问题,后两个例子源于我们的日常生活,同学们都有感性的体验, 就不难参与到之后理性的分析之中。以“如何用恰当的方式表示两个变量的关 系?”引出“函数”的课题,再用一个个具体的问题将概念抽丝剥茧,引导学生 去发现并探究出精细的函数概念。 “多角度”地观察、比较概念帮助学生拓宽对“函数”的理解,修正狭隘的 “函数即函数解析式”的偏见;也帮助了学生挖掘出函数概念的本质。函数的表 示方法是这节课的教学目标之一,我从他们最熟悉的“解析法”引入,并用了另 外两个难以写出解析式的实例来说明函数还有其它表示方法:如“图像法”和“列 表法” 。通过比较,使学生体会各个方法的特点: “解析法”运算方便, “图像法” 趋势明显, “列表法”对应清晰,从而丰富了他们对函数表示方法的认识;通过归 纳,使学生概括三种表示方法的共同点: “解析法”通过运算得到函数值, “图像 法”通过横坐标找到对应点的纵坐标, “列表法”的每一列就是一个对应关系,从

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而提炼出函数的本质就是“唯一确定的对应关系” ,即使用其它的表示方法(如: 文字叙述)只要能得到“唯一确定的对应关系”就是函数了。 “有步骤”地实现教学目标与重点,突破教学难点也是本节概念课所采取的 教学策略。高中函数的概念与初中概念是统一的,但用了更数学化、更抽象的“集 合-对应”语言来定义,所以我分以下三个步骤: (1)规定用集合来表示定义域、 值域; (2)抽象出对应关系的意义; (3)强调“唯一确定”的对应关系,运用几 个实例来逐步实现它们。特别是“唯一确定”这一概念中的关键词,我通过三个 正例来强化,一个反例来辨析,让学生能正确理解、判断。在课堂中“集合-对应” 的函数概念被逐步完整、逐步抽象,最终水到渠成。 “图式化”是本节课板书设计的特点。虽然几个实例的背景不同,但通过图 式的方法进行整理,将定义域,对应法则及值域抽象出来,简洁有效地展现出几 个函数的共性,使学生能透过函数的不同表示方法(解析法、图像法或列表法) 、 不同的变量名称(x 和 y,或 t 和 s) 、不同的对应符号( f 、 g 或 h )看到函数的 本质就是对应关系,达到最终能用较准确的数学语言叙述、解释的目的。 五、 教学过程

(一)概念的温故 在我们身边充满了变化的量,我们该怎样来描述它们呢?数学中我们用“变 量”来描述可以取不同数值的量。那么又该如何来描述两个变量之间的关系呢? 让我们来看一个具体的例子: 实例 1:自由落体实验 从 10 米的高处让一个小球自由落下,已知重力加速度为 9.8 m

s2

,若空气阻

力忽略不计,试用恰当的方式表示小球在下落过程中经过的距离 y (米)与时间 x (秒)的关系。

y ? 4.9 x 2
初中学习的函数概念: 在某个变化过程中有两个变量 x 和 y ,如果在变量 x 的允许取值范围内,变量
y 随着 x 的变化而变化,它们之间存在确定的依赖关系,那么变量 y 叫做变量 x 的

函数, x 叫做自变量, y 叫做因变量。

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初中的函数概念虽然形象生动,却有一些模糊的表述,如: “ y 随着 x 的变化 而变化” , “确定的依赖关系”等。今天,我们将再一次研究“函数”这一核心数 学概念,用更高的观点来理解它,用更数学化的语言来刻画它。 (二)概念的深化 实例 1:自由落体实验 解析式 y ? 4.9 x 2 很好地表达了 y 与 x 的依赖关系:将自变量先平方,再乘以 4.9 得到函数值。如此,是否由“2”对应得到“19.6”呢?此题中, x 允许取值 的范围是什么呢?

x 允许取值的范围就是函数的定义域,我们用集合来表示,并简记为 D 。当取
遍定义域内的每一个值,通过“先平方,再乘以 4.9”的法则得到的函数值所组成 的集合就是函数的值域。定义域和值域是同学们曾接触过的概念,但今后我们必 须用集合(区间)来表示它们; “先平方,后乘以 4.9”的法则称为函数的对应法 则,记为 f 。 学生在理解函数概念时,往往只注意函数的表达式而忽略函数的定义域,割 裂了函数的三要素。在这个同学们熟悉的“自由落体实验”中,通过一个反例: “2 对应得到 19.6”首先让学生注意到定义域是函数不可缺少的要素。接下来规定用 集合表示函数的定义域和值域,重温了符号“ f ” ,并第一次提出“对应法则”的 概念。最后利用图式,淡化了函数解析式,抽象概括出函数的三要素。但未纠正 “对应法则”即“解析式”的误区。正真理解“对应法则”还需再看实例 2。 实例 2:10 月手机流量走势图
y
50
(MB)

10月手机移动数据流量余额走势图

小明每个月手机移动 数据总流量为 50MB,10 月 份他的剩余流量 y (MB)与 时间 x (天)之间的关系可 以用以下图像来描述. 这 个图中的两个变量: 时间 x 与手机流量余额 y 是“函

40

30

20

10

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

x (天)

数关系”吗?为什么?

当 x 取一个确定的值时,通过横坐标可以找到图像上相应点的纵坐标。如此, 函数的对应关系就被确定了。这里我们虽然难以写出函数解析式,但图像上已经

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凸显了流量余额与时间的对应关系,不妨用字母“ g ”来代表此图中的对应法则, 那么当我们取定义域内的一个确定的值 a 时,就得到唯一确定的函数值 g (a) 。

在设计实例 2 时,有两方面的考虑:一是要贴近学生的生活,使同学们发现 数学的概念就在身边;二是想找到一个难以用解析式来拟合的函数图像,排除“函 数解析式”这个看似不可或缺,实则与“函数概念”无关的表示方法,强化“函 数概念”中“对应关系”的实质。 “手机流量走势图”正满足了上述的设计意图。 再者,这里将对应法则记为“ g ” ,温习了 g (a) 的意义,也提示同学们记为“ f ” 或“ g ”是无关的,重要的是符号背后的“对应法则” 。最后,对比了“解析法” 与“图像法”各自的特点,并提出是否还有其它表示方法的问题。 实例 3:麦当劳点餐 一位外国人走进麦当劳餐厅, 他想买一个汉堡 包,可他看不懂中文菜单,想一想他该怎样来点餐 呢?如果他指出所选择汉堡包的编号, 那么营业员 就能奉上他想要的汉堡包, 他所需支付的价格也被 唯一确定了。这里有两个变量:编号和价格,它们 也是函数关系吗?思考一个合理的表示方法使编 号与价格的关系一目了然。 列表法: 编号 价格 1 15.5 2 17 3 17 4 19 5 15.5 6 16 7 9 8 9 9 7

如果反过来,编号是价格的函数吗? 价格 编号 15.5 1 17 2 17 3 19 4 15.5 5 16 6 9 7 9 8 7 9

实际情景中,如果顾客付 17 元,一定能拿到想要的汉堡吗?由于不确定,这 样点单会乱套的。同样,由于存在一个价格对应两个不同编号的情况,编号并不 是价格的函数。函数关系不仅强调了存在对应的函数值,更要求通过对应法则存 在“唯一确定”的函数值。 “列表法”表示函数对应清晰,通过实例 1 和实例 2,学生已能顺利地判断两 变量之间是否为函数关系,正确确定自变量与因变量,用集合表示出定义域,并
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通过表格找到对应法则。此例的设计意图不仅在于抛开解析式,突出函数的对应 法则,还在于通过反例使学生明确对应法则必须“唯一确定” : 可以是“多对一” 或者“一对一” ,但不能是“一对多” 。为接下来抽象出精确的函数概念做准备。 (三)概念的抽象 函数 y ? f ( x) 既表示定义域中元素 x 按照对应法则 f 与值域中元素 y 对应的 “过程” ,又表示由定义域 D ,对应法则 f 和值域 A 所构成的“对象” 。通过之前 的几个实际例子,相信学生已经充分体会到函数概念的本质,教师抓住时机引导 学生从“过程”的角度、用自己的语言归纳出函数即变量间唯一确定的对应关系; 而教师则从 “对象” 的角度抽象出函数即函数三要素所组成的整体; “过程” 与 “对 象”的统一从而得到函数概念的新认识: 函数的概念 在某个变化过程中有两个变量 x 和 y , 如果对于 x 在某个实数集合 D 内的每一 个确定的值,按照某个对应法则 f , y 都有唯一确定的实数值与它对应,那么 y 就 是 x 的函数, 记作 y ? f ( x) ,x ? D . x 叫做自变量,y 叫做因变量,x 的取值范围 D 叫做函数的定义域,和 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数 的值域. 得到概念后,教师归纳出什么是函数概念的关键(定义域,对应法则和值域) , 而什么与函数的本质无关(如表示方法) ,并指出概念中的限制条件,如: “每一 个??都有??” 、 “唯一确定”等,使学生能准确地理解概念。当然,函数概念 中还有其它的限制条件,如变量的个数是两个,定义域与值域是实数集合等,但 由于在高等数学中,学生将学到“多元函数” 、 “复函数”以及“定义在任意非空 集合上的函数” ,所以此处并不强调这些“人为”的限制条件,只讲概念的实质属 性。 当学生能准确把握“集合-对应”语言所定义的函数概念后,再对比初高中函 数的概念,发现新的概念在表达上更准确、便于应用,但它们实际上是统一的, 从而将初高中函数的知识整合起来。 (四)概念的应用 例题 1、请指出下列图中哪一个不是函数的图像.

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(A)

(B)

(C)

例题 2、若 y 2 ? x ,请判断 y 是否是 x 的函数?如果不是,请说明理由;如果是, 请指出这个函数的定义域和值域. 例题 3、下列各组所表示的函数是否相同?请同学们判断并说明理由. (1) f ( x) ? x , g ( x ) ?

? x? ;
2

(2) f ( x) ? x , g ( x) ? x 2 ; (3) f ( x) ? 2 x , x ? ?0,1,2,3?, g (t ) ?
t 3 5t ? ? 1, t ? ?0,1,2,3? . 6 6

通过这三个层层深入的例子来应用函数概念,使同学们的理解更精致化。例 题 1 与例题 2 从图像和算式两个角度来辨析函数的概念,由于学生较好地掌握了 “唯一确定”这一限制条件,能快速得出正确的判断与理由。例题 3 讨论了如何 来确定一个函数。两个反例的判断并不困难,但第三小问需要学生理解函数的本 质不是变量的名称,也不是函数解析式,而是定义域、对应法则和由此被确定的 值域,难度较大。回答的同学能做成正确判断,并在教师的引导下给出正确的解 释。 三个例子也都有变式教学,让学生不断回到概念中去,并且都涉及到求函数 定义域的问题;例题 1 还结合了分段函数的概念教学,总体来说,例题的设计还 是高效的。 (五)小结与作业: 本节课我们一起建立了对函数概念的新认识:对应法则 f 作用在非空实数集
D 上,从而确定了非空实数集 A 。 D (定义域) 、 f (对应法则)和 A (值域)是

组成函数的三个要素。对应法则 f 可以用解析法、图像法或列表法来表示,因为 这三种方法都能使定义域中的每一个确定的值通过对应法则 f 得到唯一确定的函 数值。这种对应关系可以是“多对一”或者“一对一” ,但不能是“一对多” 。最

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后,在函数关系中一旦定义域和对应法则确定了,值域就被确定了,函数也就被 唯一确定了。 函数在生活当中的应用是广泛的,函数也是高中数学的核心概念;今天我们 从“集合-对应”的角度来定义函数的概念,本质上与初中的函数概念是一致的, 但它更具有一般性、也将在后续的学习中有更多的应用。 课后作业:数学练习部分 习题 3.1 函数的概念

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