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山东省济南市历城二中(51级)2015-2016学年高二数学上学期第一次调研考试试题


历城二中 51 级高二第一次调研考试 数学试题(2015.10)
第 ? 卷(选择题 共 50 分)

8.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 正整数 n 的个数是( ) A.5 B.3 C.4

An 7n ? 45 a ,则使得 n 为整数的 ? Bn n?3 bn

/>
D .6

一、选择题。(在每小题中,只有一项是符合题目要求的,每题 5 分,共 50 分) 1.各项都为正数的等比数列 {an } 中, a2 ? a8 ? 16 ,则 a 5 =( A.4 B.2 C.1 D.8 )
?



9.已知等比数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,则下列一定成立的是 ( A.若 a3 ? 0 ,则 a2015 ? 0 C.若 a3 ? 0 ,则 S2015 ? 0 B.若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 D.若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0



2.在 ??? C 中, ? ? 60? , a ? 4 3 , b ? 4 2 ,则( A. ? ? 45 或 135
? ?

B. ? ? 135

?

C. ? ? 45

D.以上答案都不对
* 10 . 已 知 数 列 ?an ? 满 足 an ? lo g n ?1 (n ? 2) (n ? N ) , 定 义 : 使 乘 积 a1 ? a2 ? a3 L ak 为 正 整 数 的

3.已知等比数列 ?an ? , a1 ? 1 , a3 ? A. ?

1 ,则 a5 ? ( 9

) C.

1 81

B. ?

1 81

1 81

D. ?

1 2

,则在区间 k (k ? N* ) 叫做“期盼数” A. 2036 B. 4072 C. 4076

内所有的“期盼数”的和为( D. 2026



4.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示 ?ABC 的面积,若 a cos B ? b cos A = c sin C , S ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ), 则?B 的度数为( 4
an ? 3 3an ? 1



第 ? ? 卷(非选择题 共 100 分)

A.90° B.60° C.45° D.30° 5.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ?
3 B. 2

( n ? N* ) ,则 a20 ? (

) .

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)
? 11.在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , C ? 60 ,则边 c ?

.

A.0

C. 3

D.- 3

6.在 ?ABC 中, sin C ? sin( A ? B ) ? 3 sin 2 B .若 C ? A.

?
3

,则

a ?( b



12. 已知 ? ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a ,b ,c ,?A ? 60? ,c ? 2 , 且 ? ABC 的面积为 则边 b 的长为 .

3 , 2

1 1 1 B. 或3 C. 3 D.3 或 2 2 4 7. 如图, 某船在海上航行中遇险发出呼救信号, 我海上救生艇在 A 处 获悉后,立即测出该船在方位角 45 ? 方向,相距 10 海里的 C 处,还 测得该船正沿方位角 105? 的方向以每小时 9 海里的速度行驶,救生 艇立即以每小时 21 海里的速度前往营救,则救生艇与呼救船在 B 处 相遇所需的最短时间为( )

13.在等差数列 {an } 中, a2 , a4 , a10 为一等比数列的相邻三项,则该等比数列的公比为



2 2 14.若方程 x ? 2 x ? m ? 0 与 ?2 x ? 4 x ? n ? 0 的 4 个不同的根可以组成一个等差数列,且首项为

1 A. 小时 5

1 B. 小时 3

2 C. 小时 5

2 D. 小时 3

1 .则 mn 的值为 4,



1

2 d 为常数, n ? N * ) 15.如果一个实数数列 ?an ? 满足条件: an ,则称这一数列 “伪等 ?1 ? an ? d (

该市的某大学 M 与市中心 O 的距离 OM ? 3 13km ,且 ?AOM ? ? .现要修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设 一站 A ,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,且经过大学 M .其中 tan ? ? 2 , cos ? ?
AO ? 15km .
B L

差数列”, d 称为“伪公差”。给出下列关于某个伪等差数列 ?an ? 的结论: ①对于任意的首项 a 1 ,若 d <0 则这一数列必为有穷数列; ②当 d >0, a 1 >0 时,这一数列必为单调递增数列;

3 13



L

③这一数列可以是一个周期数列; ④若这一数列的首项为 1,伪公差为 3, ? 5 可以是这一数列中的一项;

L M
?

?
O

⑤若这一数列的首项为 0,第三项为-1,则这一数列的伪公差可以是 其中正确的结论是________________. 三、解答题(解答写在答题卡上的指定区域内,共 6 题,共 75 分) 16. (12 分)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, cos B ? (Ⅰ)求 ac 的值及 ? ABC 的面积; (Ⅱ)若 a ? 7 ,求角 C 的大小.

5 ?3 。 2

A

(1)求大学 M 与站 A 的距离 AM ; (2)求铁路 AB 段的长 AB . 20. (13 分)已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列.

??? ? ??? ? 3 ,且 BA ? BC ? 21 . 5

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? (?1)n?1

4n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn an an?1

17. (12 分)已知等差数列{ a n }中 a2 ? 9, a5 ? 21. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)若 bn ? 2
an ?1

21. (14 分)已知数列 {an }满足 : a1 ? 2, an?1 ? 3an ? 3n?1 ? 2n (n ? N * ). (I)设 bn ?

an ? 2n , 证明:数列 {bn } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; 3n

,求数列 {log 2 bn } 的前 n 项和 S n .

(II)求数列 {an } 的前n项和Sn ; (III)设 Cn ?

18. (12 分)在等差数列 {an } 中, a16 ? a17 ? a18 ? a9 ? ?36, 其前 n 项和为 S n . (1)求 S n 的最小值,并求出取 S n 的最小值时 n 的值; (2)求 Tn ? a1 ? a2 ? ? ? an .

an?1 (n ? N * ), 是否存在k ? N * , 使得Cn ? Ck 对一切正整数 n 均成立,并说明理 an

由。 (注意:第三问 理做文不做 ) ...... .....

19. (12 分)如图,某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东偏北 ? 角方向的 OB .位于
2

1-5ACCCD 11. 3 12.1

历城二中高二数学 10 月学情调研卷答案 6-10BDACD 13. 1或3 14. ?

n ∴ log2

?

b

?是以 4 为首项,4 为公差的等差数列

105 128

∴ Sn ?

15.③④

n ( 4 ? 4n ) ? 2n 2 ? 2n 2

15 题解析:对?设 a1 ? 0.5 , d ? ?0.25 ,则 a2 ? 0.5 , a3 ? a4 ? ? ? an ? 0.5 ,所以为无穷数列,则 ?不对;对?因为 an ?1 ? ? an ? d ,符号不同,不一定为单调递增数列;对?例如?周期任意;对④ 由已知得: a2 ? a1 ? d ? 4 ,则 a2 ? 2 或 a2 ? ?2 ;当 a2 ? 2 时, a3 ? a2 ? d ? 5 ,则 a3 ? 5 或
2

18 解析: (1)当 n ? 20 或 21 时, S n 的最小值为-630.

2

3 2 123 ? ? ? 2 n ? 2 n, n ? 21 (2) Tn ? ? 3 123 ? n2 ? n ? 1260 , n ? 21 2 ?2
19 解析: (1)在 ?AOM 中, AO ? 15 , ?AOM ? ? 且
cos ? ? 3 13 , OM ? 3 13 ,

, a2 ? ? d ;当 a2 ? d 时, a ? d ? d ? 1 ,解 a3 ? ? 5 ,所以④正确;对⑤ a2 ? d ( d ? 0 )
2

2 3

得: d ?

5 ?3 5 ?1 1? 5 2 ;当 a2 ? ? d 时, a3 ? d ? d ? 1,解得: d ? ,都不可能是 , 2 2 2

2 2 2 由余弦定理得, AM ? OA ? OM ? 2OA ? OM ? cos ?AOM

所以不正确;

? (3 13) 2 ? 152 ? 2 ? 3 13 ? 15 ?

3 13

??? ? ??? ? 16 解析: (Ⅰ)因为 BA ? BC ? 21 ,所以 ac cos B ? 21 ,所以 ac ? 35 .
3 4 ,所以 sin B ? . 5 5 1 1 4 所以 S? ABC ? ac sin B ? ? 35 ? ? 14 . 2 2 5 即 ? ABC 的面积为 14. (Ⅱ)因为 a ? 7 ,且 ac ? 35 ,所以 c ? 5 . 3 2 2 2 又 cos B ? ,由 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 32 ,解得 b ? 4 2 5
又 cos B ? 所以 cos C ?

? 13 ? 9 ? 15 ?15 ? 2 ? 3 ?15 ? 3 ? 72.
? AM ? 6 2 ,即大学 M 与站 A 的距离 AM 为 6 2km ;

3 2 ? cos ? ? ? sin ? ? ? 13 , 13 ,且 为锐角, (2)
AM OM ? sin ? sin ?MAO

在 ?AOM 中,由正弦定理得,

,

49 ? 32 ? 25 2 . ? 2 2? 7? 4 2

因为 0 ? C ? ? ,所以 C ?

?
4

6 2 3 13 ? 2 2 sin ?MAO ? ? sin ?MAO ? ??MAO ? 13 2 4, 即 , ,
??ABO ? ? ?



17 解析: (1)设等差数列的公差为 d ∵ a2 ? 9, a5 ? 21 , a5 ? a2 ? 3d ∴ an ? 4n ? 1 (2)由(1)得 bn ? 2
bn ∴log 2

?
4,
? tan ? ? 2 ,

? sin ? ?

2 5,

cos ? ?

1 5,

∴d=4
? sin ?ABO ? sin(? ?

?
4

)?

1 10 ,又 ?AOB ? ? ? ? ,

? sin ?AOB ? sin(? ? ? ) ?

2 5,

an ?1

? 24 n

AB

在 ?AOB 中, AO ? 15 , 由正弦定理得, sin ?AOB

?

AO sin ?ABO ,

2 = log2 =4n

4n

3

AB 15 ? 2 1 10 ,? AB ? 30 2 ,即铁路 AB 段的长 AB 为 30 2km . 即 5

9 ? 3n?1 (n ? 1) ? 3n?1 (2n ? 3) ? 3n?1 ? 9 ? Tn ? ? ? . 4 2 4 ? S n ? Tn ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?

20 解析: (I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

?

? ?2n ? 3?3 4 ? 2
n ?1

n ?3

?1



解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (II) bn ? (?1) n ?1

n ? 3n?1 ? 2 n?1 13 62 259 , C2 ? , C3 ? , ? 猜测 C1 最大, (Ⅲ)由已知得 Cn ? ,从而求得 C1 ? n n 2 13 62 ?n ? 1?3 ? 2
下证:

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

? Cn ? C1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1

an?1 a2 (n ? 3n?1 ? 2 n?1 ) ? 2 ? 13[(n ? 1) ? 3n ? 2 n ] (13 ? 7n) ? 3n ? 9.2 n ? ? ? ?0, an a1 an ? a1 a n ? a1

∴存在 k ? 1 ,使得 Cn ? Ck 对一切正整数 n 均成立.

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1
21 解析: (Ⅰ)? bn ?1 ? bn ?

a n?1 ? 2 n?1 a n ? 2 n 3a n ? 3 n ?1 ? 2 n ? 2 n ?1 a n ? 2 n ? ? ? ? 1, 3n?1 3n 3 n ?1 3n

? {bn } 为等差数列.又 b1 = 0 ,?bn ? n ?1 .
?an ? ?n ?1?? 3n ? 2n .
(Ⅱ)设 Tn ? 0 ? 31 ? 1? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ,则 3 Tn ? 0 ? 32 ? 1? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 .

? ? 2Tn ? 32 ? ? ? 3n ? (n ? 1) ? 3n?1 ?

9(1 ? 3n?1 ) ? (n ? 1) ? 3n?1 . 1? 3
4


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