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南昌二中2011—2012学年度上学期第三次月考 高三数学(文)试题


南昌二中 2011—2012 学年度上学期第三次月考 高三数学(文)试题
命题人:敖荣萍 审题人:李天寿 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知平面向量 a , b 的夹角为 60°, a ? ( 3,1) , | b |? 1 ,则 | a ? 2b |? ( A. 2 7 B. 2 3 C. ) )

7<

br />
D.2

2. 已知 m ? R ,直线 l1 :(2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 3 ? 0 ,l2 :mx ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 ( A.当 m ? 2 时, l1 / / l2 C.当 m ? 2 时, l1 ? l2 B.当 m ? 2 时, l1 与 l2 相交 D.对任意 m ? R , l1 不垂直于 l2 ( ) B. ?x ? M , f (? x) ? f ( x)

3. 命题“函数 y ? f ? x ? ( x ? M ) 是偶函数”的否定是 A. ?x ? M , f (? x) ? f ( x)

C. ?x ? M , f (? x) ? f ( x) D. ?x ? M , f (? x) ? f ( x) 4.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3 y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准 方程是 ( ) A. (x-2)2+(y-1)2=1 B. (x-2) 2+(y+1) 2=1 2 2 C. (x+2) +(y-1) =1 D. (x-3) 2+(y-1) 2=1 2 A {bn } 均为正项等比数列, 5.设 {an } , 将它们的前 n 项之积分别记为 An ,Bn , 若 n ? 2n ? n , Bn

a5 的值为( ) b5 A.32 B.64 C.256 D.512 6.已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 2 xy ? 8, 则 x ? 2 y 的最小值是 ( )
则 A.3 B.4 C.

9 2

D.

11 2

7. 若一个底面是正三角 形的三棱柱的主视图如右图所示,其顶点都 在一个球面上,则该球的表面积( )

19 19 4 ? C. ? D. ? 12 3 3 ? 8.已知函数 f ( x) ? 2a ? x ? x (a ? N ) , 设 f ( x ) 的最大值、最小值分别为 m, n , 若 m ? n ? 1 , 则正整数 a 的取值个数是( )
A. 4? B. A.1 9 定义 B.2 C.3 D.4

sinx cosx 的图象向左平移 1 m3   m4 3 ?(?>0) 个单位长度后,得到函数 g(x),若 g(x)为奇函数,则 ? 的值可以是( ) 5? 2? ? ? A. B. C. D. 6 3 3 6

m1

m2

? m1 m 4-m 2 m 3 , 将 函 数 f(x) ?

1 1 10.已知 α、β 是三次函数 f(x)= x3+ ax2+2bx 的两个极值点,且 α∈(0,1),β∈(1,2), 3 2
1



b-2 的取值范围是 a-1



) C. ? ?

A. ?

?1 ? ,1? ?4 ?

B. ?

?1 ? ,1? ?2 ?
x 2 ? x ?6

? 1 1? , ? ? 2 4?

D. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知集合 A ? {x | ( 1 )

不充分条件,则实数 a 的取值范围是_________. 12. 已 知 点 P 是 以 F1 , F2 为 焦 点 的 椭 圆

2

? 1}, B ? {x | log4 ( x ? a) ? 1}, 若 x ? A 是 x ? B 必要
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 一 点 , 且 a 2 b2

1 PF1 ? PF2 ? 0, tan ?PF1 F2 ? , 则该椭圆的离心率等于________. 2 2 2 13.已知 f ? x ? ? x ? x , 若 f ? ? m ? 1? ? f ? 2 ? ,则实数 m 的取值范围是_________.
14. 如图为一个无盖长方体盒子的展开图(重叠部分不计), 尺寸如图所 示(单位:cm),则这个长方体的对角线长为 cm. 15. 给出以下四个命题: ①函数 f ( x) ? sin x ? 2 xf ( ), f ( x)为f ( x) 的导函数,令 a ? log3 2 , b ?
' '

?

f (a) ? f (b)
②若 f ( x ? 2) ?

3

1 ,则 2

1 ? 0 ,则函数 y=f(x)是以 4 为周期的周期函数; f ( x)

1 ③在数列{an}中,a1=1,Sn 是其前 n 项和,且满足 Sn+1= Sn+2,则数列{an}是等 2 比数列; ④函数 y=3x+3-x (x<0)的最小值为 2. 则正确命题的序号是 ________. 三、解答题:(本大题 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的倾斜角为

? ,求实数 a 的值; 4 (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 在区间 (0,2] 上单调递增,求实数实数 a 的范围.

1 3 x ? ax 2 ? 4 x 3

2

17. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 三角形 ABC 中,已知内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知

m ? ? cos B , cosC? ,n ? ? 2 a ? c ,b ? 且m ? n (Ⅰ)求角 B 的大小及 y ? sin 2 A ? sin 2 C 的取值范围;
(Ⅱ)若 b = 13, a ? c ? 4, 求 ?ABC 的面积.

18. (本小题 12 分)

已知数列 ?an ? 的前 n 项和 s n ,满足: s 2 =3,2 s n = n + nan , n ? N ? ,数列 ?bn ? 是递

(Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求和 Tn ? a1b1 ? a2b2 ?

增的等比数列,且 b1 ? b4 ? 9, b2 ? b3 ? 8

? anbn .

19.(本题满分12分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面 互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (Ⅰ)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (Ⅱ)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的 两个锥体的体积分别为 VF ? ABCD , VF ?CBE ,求

C

D

B M
E

VF ? ABCD : VF ?CBE .
A

O
F

3

20.(本题满分 13 分)

x2 y 2 6 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左、右焦点分别是 F1、F2, a b 3 1 10 点 P 是坐标平面内的一点,且|OP|= , PF (点 O 为坐标原点) . 1 PF 2= 2 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l : y ? kx ? 1 交椭圆于不同的两点 A , B .若 ?AOB 面积为 线 l 的方程.

3 2 ,求直 7

21. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值点; (Ⅱ)当 p>0 时,若对任意的 x>0,恒有 f ( x) ? 0 ,求 p 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 ? n ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N , n ? 2). 2(n ? 1) 22 32 n2

4

参考答案
一、选择题

BDAAC

BCBDA
12.

二、填空题 11. ? ??, ?3? ??6, ??? 15.①② 三、解答题 16. 解: (Ⅰ)

5 3

13.

? ?1,1?

14.

14

? f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 4 x, ? f ' ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 3 则可得: a ? 2 (Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 在区间 [0,2] 上单调递增
即a ?

则f (1) ? tan

'

?
4

?1

则 f ' ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 对一切的 x ? (0,2] 恒成立

x2 ? 4 x2 ? 4 1 4 ? (x ? ) ? 2 恒成立,令 g ( x) ? 2x 2x 2 x 4 当 x ? , 即x ? 2 时取=,所以 g ( x) min ? 2,? a ? 2 x a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 17. 解 (1) 由余弦定理得 COS B= ,cos C= , 将上式代入 2ac 2ab 2 2 2 (2 a +c)cos B+bcos C=0,整理得 a + c - b =- ac ,

a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 = =- , 2ac 2 2ac 2 ∵角 B 为三角形的内角,∴B= ? , 3 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 c 1 ? 由题知, y =sin2A+sin2 C= =1- (cos2A+cos2C). 2 2 2 ? ? 由 A+C= ? ? B ? ,得 C= -A, 3 3 2? 1 ? 3 ∵cos2A+cos2C=cos2A+cos( -2A)= cos2A+ sin2A=sin(2A+ ), 3 2 6 2 ? ? ? 5? 1 ? 1 1 ? 1 由于 0<A< ,故 <2A+ < , <sin(2A+ )≤1,≤- sin(2A+ )<- , 2 2 4 3 6 6 6 2 6 6 1 1 ? 3 1 3 所以 ≤1- sin(2A+ )< ,故 y 的取值范围是[ , ]. 2 2 2 4 6 4 2 (2) 将 b = 13 , a + c =4,B= ? 代 入 b2 = a 2 + c2 -2 ac cosB 即 b2 = ( a + c ) 3 2 -2 a c -2 a c cosB,
∴cos B=
5

1 ) ,∴ a c =3, 2 1 3 ∴△ABC 的面积为 S△ABC= a c sin B= 2 4
∴13=16-2 a c (118.

3.

19. 解

1 1 CD ,又 AO // CD ,则 MN // AO ,MNAO 2 2 为平行四边形,? OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ? OM // 平面 DAF 。 (Ⅱ)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , 1 2 ? FG ? 平面 ABCD ,?VF ? ABCD ? S ABCD ? FG ? FG ,? CB ? 平面 ABEF , 3 3 1 1 1 1 ?VF ?CBE ? VC ? BFE ? S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG , 3 3 2 6 ?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1 .
(Ⅰ) 设 DF 的中点为 N , 则 MN //
6

20. 解:(Ⅰ)设 , 由 即 所以 ,又因为 ,所以 得







椭圆 C 的方程为: ; (Ⅱ)将 y ? kx ? 1 代入椭圆方程,整理得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kx ? 0 ? ? 0 (?) ?6k ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 1 ? 3k 2 6k 1 O到直线的距离为d ? ∴ AB ? 1 ? k 2 x2 ? x1 ? 1 ? k 2 2 3k ? 1 1? k2

S?AOB ?
∴k ? ?

3k 1 3 2 AB d ? 2 ? ,? 2 3k ? 1 7

2 或? 2 6

所求 的方程为 y ?

2 x ? 1或y ? - 2 x ? 1或y ?

2 2 x ? 1或y ? x ?1 6 6

21. 解: (1)? f ( x) ? ln x ? px ? 1,? f ( x)的定义域为 (0,??) ,

f ?( x) ?

1 1 ? px ?p? x x

当 p ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,??) 上无极值点

?x ? 当 p>0 时,令 f ?( x) ? 0,
x (0, + ↗

1 ) p

1 ? (0,??), f ?( x)、f ( x)随x 的变化情况如下表: p 1 1 ( , ??) p p
0 极大值 - ↘

f '( x) f ( x)

从上表可以看出:当 p>0 时, f ( x ) 有唯一的极大值点 x ?

1 p

7

1 1 1 处取得极大值 f ( ) = ln ,此极大值也是最大值, p p p 1 1 要使 f ( x) ? 0 恒成立,只需 f ( ) ? ln ? 0 , ∴ p ?1 p p ∴p 的取值范围为[1,+∞ ) , ? n ? N, n ? 2 (Ⅲ)令 p=1,由(Ⅱ)知, ln x ? x ? 1 ? 0,? ln x ? x ? 1 2 2 ∴ ln n ? n ? 1 , ln n 2 n 2 ? 1 1 ? 1? 2 ∴ 2 ? 2 n n n 2 2 ln 2 ln 3 ln n 2 1 1 1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ) ∴ 2 ? 2 ??? 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 3 n 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( ? ??? ) 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 4 n n ?1 1 1 2n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) ? ( ? )? 2 n ?1 2(n ? 1)
(Ⅱ)当 p>0 时在 x= ∴结论成立

8

班级 __ 考场号 __ 座位号 __ 姓名______________ 装 订 线 内 不 要 答 题 ????????????装???????????????????订?????????????????线◆◆◆◆◆◆◆

11.

15.

13.

三、解答题 1 2 3 . . . 4

二、填空题

一、选择题

16.

南昌二中 2011—2012 学年度上学期第三次月考 高三数学(文)试题 答题卷

9

5

12. 14. . 6 7 8 . 9 10

17.

18.

10

19.
C

D

B M
E

O
A F

20.

11

21.

12

13


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