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§1 空间向量及其其运算


江苏省涟水中学 2013-2014 高二数学教学案

§1 空间向量及其线性运算
教学目的: (1)掌握空间向量有关概念及加减数乘运算及共线定理 (2)提高学生归纳、类比推理能力 教学重点:空间向量有关运算 教学过程: 一、问题情境 1、背景:向量是近代数学中的一个重要概念,是沟通代数、几何、三角的一种工 具,空间向量为处理立体几何问题提供了视角,为

解决空间图形的位置关系及 度量问题提供了一个很好的工具。 2、平面向量的有关概念: (1)向量: (2)向量的表示: 注:①相等向量: (3)向量线性运算: 二、数学建构: 1、空间向量:

②向量的模:

③相反向量:

④共线向量:

2、表示:

??? ? AB ,

模:

??? ? | AB |

注: (1)相等向量: (2)空间中任意向量都可以用同一平面内的两个有向线段表示 3、向量的线性运算:注:加、减、数乘统称为线性运算 4、共线向量: 5、向量共线定理:
A1 B1

三、数学运用: 例 1、 如图 (见课本) 在三棱柱 ABC- A1 B1C1 中, M 是 BB1 的中点, 化简下列各式, 并在图中标出化简得到的 向量: (1) CB ? BA1 (2) AC ? CB ? (3) AA 1 ? AC ? CB
? ? ? ? ?
? ?

C1 M

A C

B

1 AA1 2

?

1

江苏省涟水中学 2013-2014 高二数学教学案

练习:

P72

1
' ' '

例 2、 (见课本例 2)在长方体 OADB- CA D B 中,OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1, 点 E,F 分别是 DB, D B 的中点。设 OI ? i , OJ ? j , OK ? k ,
' '

?

?

?

?

?

?

试用向量 i , j , k 表示 OE 和 OF。

? ? ?

?

?

例 3、平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AC ? BD ? M ,

????? ???? ? ? ????? ? ???? ? A1B1 ? a, A1D1 ? b, A1 A ? c ,则 B1M ?
??? ?

(用 a, b, c 表示)

? ? ?

练习:已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, AB ? a, AD ? b, AP ? c, E 为 PC 的中点,试用 a, b, c 表示向量 CE .

? ??? ?

? ??? ? ?

? ??

??? ?

练习: P74

3

例 4、 (1)四面体 A ? BCD 中, M , G 为 BC , CD 中点,则

???? 1 ??? ? ???? ( AB ? AC ) ? 2 ???? 1 ??? ? ???? ???? (2)四面体 ABCD 中, G 为 ?BCD 重心.求证: AG ? ( AB ? AC ? AD ) 3 ( 3 )、 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 A B C D 是 平 行 四 边 形 , ??? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? AB ? a, AD ? b, AP ? c , E 是 PC 的中点,用 a, b, c 表示向量 CE ?
; AG ?

??? ? 1 ??? ? ??? ? AB ? ( BD ? BC ) ? 2

四、课堂小结:

2

江苏省涟水中学 2013-2014 高二数学教学案

§1

空间向量及其线性运算
得分

班级 姓名 学号 1、给出下列命题: ①两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同 ②若空间向量 a, b 满足 | a |?| b | ,则 a ? b ③在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,必有 AC ? AC 1 1

? ?

?

?

?

?

??? ?

???? ?
? ?

④若空间向量 m, n, p ,满足 m ? n, n ? p ,则 m ? p ⑤空间中任意两个单位向量必相等,其中假命题是 2、正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? BC ? CC1 ? 3、 空间四边形 OABC 中, 点 M 在 OA 上, 且 OM=2MA, OA ? a, OB ? b, OC ? c , N 为 BC 中点,则 MN ?

?? ? ? ?

??

? ?

? ?

??

??? ? ??? ? ???? ?
? ??? ? ?

??? ?

? ??? ?

???? ?

.

4、长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,关于 AC1 的表达式中 ① AA 1?A 1B 1?A 1D 1 ③ AB ? DD1 ? DC 1 1 其中正确的说法是

???? ?

???? ???? ? ????? ??? ? ???? ? ?????

② AD ? CC1 ? DC 1 1 ④

??? ? ???? ? ?????
? ???? ? 1 ???? ???? ( AB1 ? CD1 ) ? A1C1 2


5、给出下面命题:①空间向量 a, b, c ,若 a ? b ,且 b ? c. 则必有 a ? c .② a, b 为 空间两个向量,若 a ? b , 则 a ? b .③若 a ∥ b ,则表示 a 与 b 的有向线段所在 直线平行.其中错误 命题的序号是 .. .

? ??
?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

6、在三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中, BC ' 与 B ' C 交于点 O ,试用 AB, AC, AA ' 表示

??? ? ??? ? ????

???? AO

A' C' O A C
3

B'

B

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7、如下图,在空间四边形 ABCD 中,E 是线段 AB 的中点,CF=2FD,连接 EF,CE,AF, BF.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:

D F
B1

A1 E C1 F A

D1

A E (第 2题) B

C
B

D (第 3题) C

(1) AC ? CB ? BD ; (2) AF ? BF ? AC ; (3)

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

? ??? ? 2 ??? ? 1 ??? AB ? BC ? CD . 2 3

8.如上图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 E,F 分别是上底面 A 1B 1C1 D 1 和侧 面 CDD1C1 的中心,求下列各题中 m,n 的值: (1) AE ? mAB ? nAD ? AA 1;

??? ?

??? ?

??? ? ????

(2) AF ? mAB ? AD ? nAA 1.

??? ?

??? ? ??? ?

????

9、已知 M,N 分别是空间四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的中点,求证:

???? ? 1 ??? ? ??? ? MN ? ( AB ? CD). 2

10、设四面体 A ? BCD 的三条棱 AB ? b, AC ? c, AD ? d , 求面 BCD 上的中线 DM 和向量 AG ,其中G是 ?BCD 重心。 B G C

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

? ?

A

???? ?

D

4


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