nbhkdz.com冰点文库

2016高二理科数学-同步训练题(10)-选修2-2 §1.5-1.7 定积分及其应用练习(详细解析)

时间:2016-05-10


山西省 2016 高中数学课外巩固训练

同步训练题(10)-选修 2-2 第一章 §1.5-1.7 定积分及其应用练习 1 x 1.(2014·高考陕西卷)定积分 ? (2x+e )dx 的值为(C) 0
A.e+2 解析: 2. B.e+1 C.e
2

D.e-1
2 1 2 0

?

0

1

(2x+e )dx=(x +e )f0=(1 +e )-(0 +e )=e,故选 C.
2

x

x

?0

2

4-x dx=________.

解析:积分

?0

2

1 1 2 2 4-x dx 表示如下图所示的圆的面积的 .所以 S= π (2) =π . 答案:π 4 4

1 3.曲线 y= 与直线 y=x,x=2 所围成的图形面积用定积分可表示为_____________________.

x

解析:如图所示,阴影部分的面积可表示为

x- ?dx ?1 xdx- ?1 xdx= ?1 ? ? x?

2

21

2?

1?

答案:

x- ?dx ?1 ? ? x?

2?

1?

? 2 ?-2x+4,x>1, 4.设 f(x)=? 则 f(x)dx=__________. ?x+1,0≤x≤1, ? 0

?

?-2x+4,x>1, 2 1 2 ? 解析:∵f(x)=? ∴ f(x)dx= (x+1)dx+ (-2x+4)dx. ?x+1,0≤x≤1, ? 0 0 1

?

?

?

又由定积分的几何意义得 ∴

? 0 (x+1)dx=2(1+2)×1=2, ?1 (-2x+4)dx=2×1×2=1,
答案: 5 2
2

1

1

3

2

1

? 0 f(x)dx=2+1=2.
?0[
1

2

3

5

5.计算定积分: 解析: 令 S1=

1-(x-1) -x]dx.
2

?0[

1

1-(x-1) -x]dx= 1-(x-1) dx,S2=
2

?0

1

1-(x-1) dx-

2

? 0 xdx,

1

?0

1

? 0 xdx.S 、S 的几何意义如图(1)、(2)所示.
1 2

1

对 S1=

?0

1

1-(x-1) dx,令 y= 1-(x-1) ≥0,则(x-1) +y =1(0≤x≤1,y≥0)

2

2

2

2

1-4

山西省 2016 高中数学课外巩固训练

由定积分几何意义知 S1= 对于 S2=

?0

1

1 π 2 2 1-(x-1) dx= π ×1 = . 4 4 1 1

? 0 xdx,由其几何意义知 S =2×1×1=2,故 ? 0
2 2

1

1

π 1 π -2 2 [ 1-(x-1) -x]dx=S1-S2= - = . 4 2 4 ) D.?0 2 dx+?1x dx
x
2

? ?x 6.设 f(x)=? x ?2 ?

?x≥0?, ?x<0?, B.?1 2 dx
x

则?1 f(x)dx 的值是(

?-1

A. ?1 x dx

2

?-1

?-1

C.?0

?-1

x2dx+?12xdx

?0

? -1

?0

[答案] D [解析] 由定积分性质(3)求 f(x)在区间[-1,1]上的定积分, 可以通过求 f(x)在区间[-1,0] 与[0,1]上的定积分来实现,显然 D 正确,故应选 D. 7.若?bf(x)dx=1,?bg(x)dx=-3,则?b[2f(x)+g(x)]dx=( )

?a

?a

?a

A.2 B.-3 C.-1 D.4 b [答案] C [解析] ? [2f(x)+g(x)]dx=2?bf(x)dx+?bg(x)dx=2×1-3=-1.

?a

?a

?a

8.由函数 y=-x 的图象,直线 x=1、x=0、y=0 所围成的图形的面积可表示为( A.?1(-x)dx B.?1|-x|dx C. ?0 xdx D.-?1xdx

)

?0

?0

?-1

?0

[答案] B [解析] 围成图形如图,由定积分的几何意义可知,所求图形面积 S=-?1(-x)dx=?1|-

?0

?0

x|dx,故选 B.

9.?2π cosxdx=( ) ?0 A.0 B.π C.-π D.2π [答案] A [解析] 作出[0,2π ]上 y=cosx 的图象如图, 由 y=cosx 图象的对称性和定积分 的几何意义知,阴影部分在 x 轴上方和下方部分的面积相等,积分值符号相反,故?2π ?0 cosxdx=0. 10.已知 t>0,若?t(2x-2)dx=8,则 t=( )

?0

A.1 B.-2 C.-2 或 4 D.4 [答案] D [解析] 作出函数 f(x)=2x-2 的图象与 x 轴交于点 A(1,0),与 y 轴交于点 B(0,-2),易求得 S△OAB=1,

∵?t(2x-2)dx=8,且?1(2x-2)dx=-1,∴t>1,

?0

?0

1 1 2 ∴S△AEF= |AE||EF|= ×(t-1)(2t-2)=(t-1) =9,∴t=4,故选 D. 2 2 14.下列等式不成立的是( ) b b A.? [mf(x)+ng(x)]dx=m? f(x)dx+n?bg(x)dx B.?b[f(x)+1]dx=?bf(x)dx+b-a

?a ?a

?a

?a

?a

?a

C.? f(x)g(x)dx=? f(x)dx·? g(x)dx

b

b

b

?a

?a

D.?
2-4



?-2π

sinxdx=?0-2π sinxdx+∫0 sinxdx

?



山西省 2016 高中数学课外巩固训练

[答案] C [解析] 利用定积分的性质进行判断,选项 C 不成立. 1 1 1 2 3 3 2 例如?1xdx= ,?1x dx= ,?1x dx= . 但?1x dx≠?1xdx·?1x dx.故选 C. 2 3 4 ? ? ? ? ? ?
0 0 0 0 0 0

11.已知 f(x)是一次函数,其图象过点(3,4)且? f(x)dx=1,则 f(x)的解析式为______.

1

?0

6 2 [答案] f(x)= x+ [解析] 设 f(x)=ax+b(a≠0),∵f(x)图象过(3,4)点,∴3a+b=4. 5 5 3a+b=4, ? ? 1 1 1 1 1 又? f(x)dx=? (ax+b)dx=a? xdx+? bdx= a+b=1.解方程组?1 2 a+b=1, ?0 ?0 ?0 ?0 ? ?2 6 2 ∴f(x)= x+ . 5 5 12.利用定积分的几何意义,计算:?2 4-x dx=________________.
2

6 a= , ? ? 5 得? 2 b= . ? ? 5

?1

[答案]

2π 3 - [解析] 由定积分的几何意义知,所求积分是图中阴影部分的面积. 3 2

π 1 1 2π 3 易知 AB= 3,∠AOB= ,∴S= ×4π - ×1× 3= - . 3 6 2 3 2

x x∈[-2,2?, ? ? 13.已知函数 f(x)=?2x x∈[2,π ?, ? ?cosx x∈[π ,2π ].
积分.

3

求 f(x)在区间[-2,2π ]上的

?π -2??2π +4? 3 2 [解析] 由定积分的几何意义知?2 x dx=0,?π 2xdx= =π -4, 2 ? ?
-2 2

? 2 cosxdx=0,由定积分的性质得?2π f(x)dx=?2 x3dx+?π 2xdx+? 2 cosxdx=π 2-4. ? ? ?-2 ?-2 ?2 ?π ?π
14.若曲线 y= x与直线 x=a、y=0 所围成封闭图形的面积为 a ,则正实数 a 为( ) 4 5 4 5 A. B. C. D. 9 9 3 3 3 3 3 2 1 2 2 2 a [答案] A [解析] 由题意知,?a xdx=a ,∵( x2 )′=x ,∴?a xdx= x2 |0= a2 , 3 2 3 3 ? ?
0 0 2

π

π

3 2 4 2 ∴ a2 =a ,∴a= . 3 9 2 2 3.由曲线 y=x 和直线 x=0,x=1,y=t ,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 [答案] A

)

y=x ? ? 2 [解析] 由?y=t ? ?x>0

2

得, x=t, 故 S=?t(t -x )dx+?1(x -t )dx

2

2

2

2

?0

?t



1 3 t 1 3 4 3 1 1 1 1 2 2 1 2 2 (t x- x )|0+( x -t x)|t= t -t + ,令 S′=4t -2t=0,∵0<t<1,∴t= ,易知当 t= 时,Smin= . 3 3 3 3 2 2 4
?x ? 15.设 f(x)=? ?2-x ?
2

?0≤x<1?, ?1≤x≤2?. 5 C. 6

则?2f(x)dx 等于(

?0

)

3 A. 4

4 B. 5

D.不存在
3-4

山西省 2016 高中数学课外巩固训练

[答案] C

1 3 1 2 2 [解析] ?2f(x)dx=?1x dx+?2(2-x)dx,取 F1(x)= x ,F2(x)=2x- x , 3 2

?0

?0

?1

则 F ′1(x)=x ,F ′2(x)=2-x,∴? f(x)dx=F1(1)-F1(0)+F2(2)-F2(1)

2

2

?0

1 1 1 2 ? 5 2? = -0+2×2- ×2 -?2×1- ×1 ?= .故应选 C. 2 3 2 ? ? 6 16.计算下列定积分: x2+2x-3 2 (1)?2(4-2x)(4-x )dx; (2)?2 dx.

?0

?1

x

[解析] (1)?2(4-2x)(4-x )dx=?2(16-8x-4x +2x )dx

2

2

3

?0

?0

4 3 1 4? 2 32 40 2 ? =?16x-4x - x + x ?|0 =32-16- +8= . 3 2 ? 3 3 ? 2 3? x +2x-3 ? ?1 2 ? 2 7 (2)?2 dx=?2?x+2- ?dx=? x +2x-3lnx?|1 = -3ln2. x 2 x 2 ? ? ? ? ? ?
1 1

17.若直线 l1:x+ay-1=0 与 l2:4x-2y+3=0 垂直,则积分?a (x +sin x-5)dx 的值为(

3

?-a

)

A.6+2sin 2 B.-6-2cos2 C.20 D.-20 3 [答案] D [解析] 由 l1⊥l2 得 4-2a=0 即 a=2, ∴原式=?2 (x +sin x-5)dx=?2

?-2

?-2

(x +sin x)dx

3

+?2

?-2

(-5)dx=0-20=-20.

[点评] 若 f(x)为奇函数,定义域(-a,a),a>0,则?a f(x)dx=0.

?-a

18.已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f ′(0)=0,?1f(x)dx=-2,求 a、b、c 的值.

2

?0

[解析] ∵f(-1)=2,∴a-b+c=2.①

又∵f ′(x)=2ax+b,∴f ′(0)=b=0② 1 1 2 2 3 2 而?1f(x)dx=?1(ax +bx+c)dx, 取 F(x)= ax + bx +cx,则 F′(x)=ax +bx+c, 3 2 ? ?
0 0

1 1 ∴?1f(x)dx=F(1)-F(0)= a+ b+c=-2③ 3 2 ?
0 2

解①②③得 a=6,b=0,c=-4.

19.如图,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围成图形为面积相等的两部分,求 k 的值.

[解析] 抛物线 y=x-x 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0,x2=1,所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积 x2 x3 1 1 1 1 2 1 S=? (x-x )dx=( - )|0= - = . 2 3 2 3 6 ?
0

2

S 1-k 2 2 抛物线 y=x-x 与直线 y=kx 两交点的横坐标为 x′1=0, x′2=1-k, 所以 =?1-k(x-x -kx)dx=( 2 ? 2
0

x - )|
3

2

x3

1-k 0

3 3 1 1 1 1 4 3 3 = (1-k) ,又知 S= ,所以(1-k) = . 于是 k=1- =1- . 6 6 2 2 2

4-4