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2013-2014学年度高二第二学期数学期末统考模拟试题(四)(理科)(教师版)

时间:2015-08-28


2013-2014 学年度高二第二学期数学期末统考模拟试题(四) (理科) 1. 18 ? 17 ? 16 ? ? ? 9 ? 8 等于( D )
8 A. A18 9 B. A18 10 C. A18 11 D. A18

2. ( x ? A.15

1 x

) 6 展开式中的常数项是(
B.-

15

D

) C.20 D.-20 B )

3.某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 A.

16 625

B.

96 625

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( 5 192 256 C. D. 625 625
D ) D. (2,??) C )

4.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是( A. (??,2) B.(0,3)

C.(1,4)

5.若对于任意实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? a3 ( x ? 2)3 ,则 a2 的值为( A.12 B.9 C.6 D.3 C D.-2 D ) )

6.已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则 α 的值为( A.1 7.若复数 A. ? 2 B.-1 C.2

2 ? ai (a ? R ) 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则 a 的值为( 1? i B. ?1 C. 1 D. 2
2

8.随机变量 ? 服从正态分布 N (40, ? ) ,若 P(? ? 30) ? 0.2 ,则 P(30 ? ? ? 50) ? (

C



A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 9.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻,不同的排法共有( A ) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 【答案】A【解析】试题分析:根据题意,由于要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排, ,2
2 6 位老人相邻,在可知先捆绑其两个老人,有 A2 =2,然后作为整体与其余的对象来排列可知得到为 A6 =720,那么

根据分步乘法计数原理可知答案为 1440,故答案为 A。 10.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两 队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( D ) A.

1 2

B.

3 5

C.

2 3

D.

3 4

【答案】D【解析】试题分析:根据题意,由于甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.根据 两队每局中胜出的概率为 0.5,则可知那么甲对获得冠军的概率的为 11.曲线 y ? e 在点 (0,1) 处的切线斜率为(
x x

) A. 1
x

1 1 1 3 ? + = ,故可知答案为 D. 2 2 2 4 1 B. 2 C. e D. e
x

【答案】A【解析】试题分析:由 y ? e ,得到 y? ? e

,把 x=0 代入得: y? |x ?0 ? 1 ,则曲线 y ? e 在点 A(0, D )

1)处的切线斜率为 1.故选 A. 12.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为 (
1

A.a,b,c 都是奇数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 13.在复平面内,复数 z ?

B.a,b,c 都是偶数 D.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数

3?i (i 为虚数单位)等于( A ) 1? i A. 1 ? 2i B. 1 ? 2 i C. 1 ? 3i D. ?1 ? 3i ? 1 6 14.设 = (sin x ? cos x)dx ,则二项式 ( a x ? ) 展开式中不含 0 x

?

项的系数和是( B )

A.-192 B.-6 C. 193 D.7 6 15.若 i 为虚数单位,则 (1 ? i) 展开式中的第 4 项是( 16.曲线 y ? xe ? 1 在点(0,1)处的切线方程是( A
x

C )

)

A. ? 15

B.15

C. ? 20 I D.20i

(A) x ? y ? 1 ? 0

(B) 2 x ? y ? 1 ? 0

(C) x ? y ? 1 ? 0

(D) x ? 2 y ? 2 ? 0 D )

17.若随机变量 X 服从两点分布,且成功的概率 p ? 0.5 ,则 EX 和 DX 分别为( (A)1 和 0.75 (B)0.5 和 0.75 (C)1 和 0.25

(D)0.5 和 0.25 C )

18.已知三次函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图象如图, f ?( x) 是它的导函数,那么不等式 x ? f ?( x) ? 0 的解集是( (A) (?4,0) ? (1,3) (B) (?2,0) ? (3,?? ) (C) (??,?2) ? (0,2) (D) (??,?2) ? (1,3) 19.若 a0 ? a1 (1 ? x) ? ? ? ? ? a9 (1 ? x) (A)9 (B)10
9

? a10 (1 ? x)10 ? x ? x10 ,则 a
(D)

9

?( D

)

(C) ? 9 (C) a ? 0

20.函数 y ? ax ? ln x 在区间 (0,1) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( (A) ? 1 ? a ? 0 (B) a ? ?1 (D) a ? ?1

B

)

21.独立性检验中,假设 H0:变量 X 与变量 Y 没有关系,则在 H0 成立的情况下,P(K2≥6.635)≈0.010 表示的意义 是( D ) A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“变量 X 与变量 Y 有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“变量 X 与变量 Y 无关” C.有 99%以上的把握认为“变量 X 与变量 Y 无关” D.有 99%以上的把握认为“变量 X 与变量 Y 有关” 22.记 I 为虚数集,设 a , b ? R , x, y ? I 。则下列类比所得的结论正确的是( A.由 a ? b ? R ,类比得 x ? y ? I B.由 (a ? b) ? a ? 2ab ? b ,类比得 ( x ? y) ? x ? 2 xy ? y
2 2 2 2 2 2

B

)

C.由 a 2 ? 0 ,类比得 x 2 ? 0 D.由 a ? b ? 0 ? a ? ?b ,类比得 x ? y ? 0 ? x ? ? y 23.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验.

? ? 0.74 x ? 50 根据收集到的数据(如下表) ,由最小二乘法求得回归方程 y
2

零件数 x(个) 则 m+n 的值为( A.137 B.129

10

20 m ) C.121

30 n D.118

40 81

50 89

加工时间 y(min) 62

? ? 0.74 ,又∵ a ? ? 50 ? 0.74 ? 30 ? 72.2 , ?x ,∴ y ? a ? ? y ?b ? ? 50, b ? ? bx 【答案】B【解析】试题分析:由题意得 a
∴62+m+n+81+89=5× 72.2=361,∴m+n=129. 24. 两个变量 x, y 与其线性相关系数 r 有下列说法: ①若 r ? 0 ,则 x 增大时, y 也相应增大 ;②若 r ? 0 ,则 x 增大时, y 也相应增大; ③若 r ? 1 ,则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系),其中正确的有( C )

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 25.下表提供了某厂节能降耗技术改造后,在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨)的几 组对应数据:

x

3 2.5

4 t

5 4

6 4.5 A )

y

y =0.7 x+0.35 ,那么表中 t 的值( 根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 ?
A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5
2 26.已知随机变量 ? 服从正态分布 N 0, ? ,且 P ?? ? 2? ? 0.8 ,则 P?0 ? ? ? 2? ? (

?

?

C )

A. 0 .6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0 .2 27.通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

得到的正确结论是( ) A. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 28. 设

f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0 ( x) , f2 ( x) ? f1' ( x),?, fn?1 ( x) ? fn' ( x) ,
D ) A. sin x B.- sin x C. cos x D.- cos x

'

n∈N,则 f2015 ( x)= (

29.图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律继续 叠放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数应是( C ) A.25 B.66 C.91 D.120

30.下面几种推理中是演绎推理 的是( C ....


3

A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电; B.猜想数列
1 1 1 1 (n ? N ? ) ; , , ,? 的通项公式为 an ? n ( n ? 1) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

C.半径为 r 圆的面积 S ? ? r 2 ,则单位圆的面积 S ? ? ; D . 由 平 面 直 角 坐 标 系 中 圆 的 方 程 为 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r , 推 测 空 间 直 角 坐 标 系 中 球 的 方 程 为
2 2 2

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? ( z ? c ) 2 ? r 2 .
31. 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表: 晚上 男婴 女婴 合计 20 10 30 白天 10 20 30 合计 30 30 60 B )

你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为( A. 80% B. 99% C. 95% D. 90%

32.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? i, z2 ? 2 ? i, 且 z1 ? z2 ,则实数 a 的值为( A.2 B. ? 2 C.2 或 ?2 D. ? 2 或 0

)

【答案】C【解析】试题分析: z1 =a ? i , z2 =2 ? i ,且| z1 |=| z 2 |,所以| z1 |2=| z 2 |2, 根据复数模的计算公式得出 a 2 +1= 2 + (-1)2 =5,整理 a 2 =4,所以 a=2 或-2,故选 C. 33.已知 x,y 的取值如下表所示,若 y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95 x ? a, 则a ? ( x 0 2.2 1 4.3 B.2.6 3 4 .8 4 6.7 C.2.8 D.2.9
?
2

)

y

A.2.2 【答案】B 34.已知复数 z ? A.第一象限 35.设曲线 y ? A.2

2?i ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

D

) D.第四象限 B )

x ?1 在点(3,2)处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值是( x ?1 1 1 B. ? 2 C. ? D. 2 2
3

36. 函数 f ( x) ? 3x ? 4 x A.

, x ??0,1? 的最大值是( B. -1 C.0

D

) D.1 .

1 2

37.已知函数 y ? a ln x ? x ? 1 的图像在 x=1 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a 的值为 3 38.设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ?
2

1

.

4

39.复数 z ?

4i ( i 为虚数单位)的共轭复数 z ? 1 ? 3i

3 ?i

; . 【答案】

40.随机变量 ξ 的分布列如图,其中 a,b, ξ P -1 a 0 b
7

1 成等差数列,则 E (? ) ? 2

1 3

1

1 2
.(用数字作答)
7

1 ? ? 41. ? 2 x3 ? ? 的展开式中常数项的值是 x? ?

21? 7r 1 ? ? r 7?r C7 2 x 2 ? 21 ? ? 0, r ? 6 可 【答案】14 【解析】试题分析:根据题意,由于 ? 2 x3 ? ? 2 x ? 展开式可知, ?

7r

知常数项为 14,故可知答案为 14. 42.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选出 3 种,分别种在不同土质的 3 块土地上,其中黄瓜必须种植,则 种植方法共有____18____种.(用数字作答)

1 _____. 7 44.曲线 y ? 2 x ? x 3 在点(1,1)处的切线方程为___ x ? y ? 2 ? 0 _____.
43.已知 ξ~B(n,p),且 Eξ=7,Dξ=6,则 p 等于___

1 1 1 45.事件 A,B,C 相互独立,若 P( A · B) ? ,P( B · C ) ? ,P( A ·B · C ) ? ,则 P( B) ? 6 8 8

1 . 2


3 2 46.若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的最大值为

? x ) ? 12 x ? 2ax ? 2b ∵在 x=1 处有极值∴a+b=6,∵a>0, 【答案】9【解析】试题分析:由题意,求导函数 f(
b>0∴ ab ? (

2

a?b 2 ) =9,当且仅当 a=b=3 时取等号所以 ab 的最大值等于 9,故答案为:9. 2

47.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx(a, b ? R) 的图象如图所示,它与直线 y ? 0 在原点处相切,此切线与函数图象所 围区域(图中阴影部分)的面积为

4 ,则 a 的值为 3

?2

.

48. 已知复数 z ? 1 ? ai (a ? R ) ( i 是虚数单位) 在复平面上表示的点在第四象限, 且z?z ?5, 则a ?

.

【答案】-2【解析】试题分析:∵ z ? 1 ? ai ,∴ z ? 1 ? ai ,∴ zz ? (1 ? ai)(1 ? ai) ? 1 ? a2 ? 5, a2 ? 4 ,又∵z 在复平面上表示的点在第四象限,∴ a ? 0 ,∴ a ? ?2 . 考点:复数的计算. 49. 李老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布列如下表:

x
P(? ? x)

1 !

2 ?
5

3 !

请小王同学计算 ? 的数学期望.尽管“?”处完全无法看清,且两个“!”处字迹模糊,但能断定这两个“!”处的 数值相同.据此,小王给出了正确答案 E? = 2 ;

1 50.已知正三角形内切圆的半径 r 与它的高 h 的关系是: r ? h ,把这个结论推广到空间正四面体,则正四面体 3 1 内切球的半径 r 与正四面体高 h 的关系是 . 【答案】 r ? h 4 51.已知 3 名志愿者在 10 月 1 号至 10 月 5 号期间参加社区服务工作. (I)若每名志愿者在 5 天中任选一天参加社区服务工作,且各志愿者的选择互不影响,求 3 名志原者恰好 连续 3 天参加社区服务工作的概率; (II)若每名志愿者在这 5 天中任选两天参加社区服务工作,且各志愿者的选择互不影响,记 ? 表示这 3 名 志愿者在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数,求随机变量 ? 的数学期望.

解法 2:每名志愿者在 10 月 1 日参加社区服务的概率均为 P ? 则三名志愿者在 10 月 1 日参加社区服务的人数 ? ~ B(3, )

1 C4 2 ? 2 C5 5

2 5

2 3 2 6 P(? ? k ) ? C3k ( )k ( )3?k , k ? 0,1,2,3 , E? ? 3 ? ? 5 5 5 5
52.若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x)的极值点.已知 A,b 是实数,1 和- 1 是函数 f(x)=x3+Ax2+b x 的两个极值点. (1)求 A 和 b 的值;(2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点. 【解析】(1)因为 f ? x ? ? x ? ax ? bx ,
2 2

所以 f′(x)=3x2+2Ax+b,且 f′(-1)=3-2A+b=0,f′(1)=3+2A+b=0, 解得 A=0,b=-3. 4 分 经检验,当 A=0,b=-3 时,1 和-1 是函数 f(x)=x3+Ax2+bx 的两个极值点. 综上,所求的 A 和 b 的值分别为 0,-3. 5 分 (2)由(1),知 f(x)=x3-3x,所以 g′(x)=x3-3x+2=(x-1)2(x+2), 令 g′(x)=0,得 x=1 或 x=-2, 7分 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下所示: x g′(x) g(x) (-∞,-2) - ↘? -2 0 极小值 (-2,1) + ↗? 1 0 不是极值 (1,+∞) + ↗

所以 x=-2 是函数 g(x)的极小值点,即函数 g(x)的极值点为-2. 53.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率为 和 p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

1 10

49 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 B 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分布列及数学期望 E? 和
方差 D? . 解: (1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1 ? P (C ) ?
0 3 (2)由题意,P( ? =0)= C( ) ? 3

49 1 49 ? 1? P ? , 50 10 50

,解得 P ?

1 5

1 1 12 1 1 2 P( ? =1)= C ( ) (1 ? ) ? 3 125 5 5 125 1 1 48 1 1 64 2 2 3 0 3 P( ? =2)= C( , P( ? =3)= C ) (1 ? ) ? ( ) ( 1? ) ? 3 3 5 5 125 5 5 125
6

1 5

所以,随机变量 ? 的概率分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 125
4 5

12 125

48 125

64 125
12 12 , D? ? . 5 25

可以看出随机变量 ? 符合二项分布即 ? ? B (3, ) 故随机变量 ? 的 E? ?

1 1 1 1 (1) a 2 ? b2 ? ( a ? b)2 ; 2 2 2 2 1 2 1 2 54.已知 a, b ? R ,可以证明: (2) a 2 ? b 2 ? ( a ? b) 2 ; 3 3 3 3 1 3 1 3 (3) a 2 ? b2 ? ( a ? b)2 ; 4 4 4 4
根据上述不等式,写出一个更一般的结论,并加以证明。 解:一般性结论为:已知 a, b ? R ,均为正数,若 m ? n ? 1 则 ma2 ? nb2 ? (ma ? nb)2 证明:要证 ma2 ? nb2 ? (ma ? nb)2 即证 ma ? nb ? m a ? n b ? 2mnab
2 2 2 2 2 2

即证 m(1 ? m)a2 ? n(1 ? n)b2 ? 2mnab ? 0 又 m ? n ? 1 ,故即证 mn(a2 ? b2 ? 2ab) ? 0 (6 分) 即证 mn(a ? b)2 ? 0 因为 m, n 为正数 (a ? b)2 ? 0 故 mn(a ? b)2 ? 0 显然成立,所以原命题成立。 55.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下列表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 10 50 不喜爱打篮球 5 合计

已知在全班 50 人中随机抽取 1 人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为 .

3

5

(1)请将上表补充完整(不用写计算过程); (2)能否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由.下面的临界值表 【解析】 (1) 列联表补充如下: 4分 喜爱打篮球 男生 女生 合计 (2)∵ K ?
2

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

20 10 30

50 ? (20 ? 15 ? 10 ? 5) 2 30 ? 20 ? 25 ? 25

? 8.333 ? 7.879 ∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

56.为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔 热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系:

C ? x? ?

k ( 0 ? x ? 10 , k 为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热层建造费 3x ? 5

用与 20 年的能源消耗费用之和.
7

(1)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 达到最小?并求最小值. 【解析】 (1)当 x ? 0 时, c ? 8 ,? k ? 40 ,? C ( x ) ?

40 3x ? 5

20 ? 40 800 ? 6x ? (0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5 800 ? 10 , (2) f ( x) ? 2(3 x ? 5) ? 3x ? 5 ? f ( x) ? 6 x ?
设 3x ? 5 ? t , t ? [5,35] ,? y ? 2t ? 当且仅当 2t ?

800 800 ? 10 ? 2 2t ? ? 10 ? 70. t t

800 , 即t ? 20时等号成立。这时 x ? 5 ,因此 f ( x) 的最小值为 70. t

即隔热层修建 5cm 厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,最小值为 70 万元. 57.已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3. (1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)由已知知函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ln x ? 1 , 当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增.

1 e

1 e

1 1 f ( x) min ? f ( ) ? ? . e e 3 , x 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x ) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h?( x) ? , x2 x
2 (2) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ?

① x ? (0,1), h?( x) ? 0, h( x) 单调递减;② x ? (1, ??), h?( x) ? 0, h( x) 单调递增;

? h( x)min ? h(1) ? 4 ,对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,? a ? h( x)min ? 4 .
58.已知复数 z ? ?1 ? i ? ? 1 ? 3i .(1)求 z 及 z ; (2)若 z 2 ? a z ? b ? 1 ? i ,求实数 a, b 的值 .
2

解: z ? ?2i ? 1 ? 3i ? 1 ? i , z ? 1 ? 1 ? 解得 a ? ?3; b ? 4

2 .则得 ?1 ? i ? ? a ?1 ? i ? ? b ? 1 ? i ,得 a ? b ? ? 2 ? a ? i ? 1 ? i .
2

59.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满 足关系式 y ? 千克.
8

a ? 10( x ? 6) 2 , 其中 3 ? x ? 6, a 为常数。己知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 x?3

(1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 解析:(1)由 x=5,y=11 得 a ? 2 (2)由(1)知 y ? 设所获利润为 f ( x) ,则 f ( x) ? ( x ? 3)[

2 ? 10( x ? 6) 2 x?3

2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 6) 2 ( x ? 3),3 ? x ? 6 x ?3

? f '( x) ? 30( x ? 4)( x ? 6) ,? 当 3<x<4 时, f '( x) ? 0, f ( x) 单增,当 4<x<6 时, f '( x) ? 0, f ( x)单减,

? x ? 4 是 f ( x) 的极大值点,也是最大值点。 ? 当 x ? 4 时, f ( x)max ? f (4) ? 42
60.已知函数 f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. 1 ? (1)如果函数 g(x)的单调减区间为? ?-3,1?,求函数 g(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 y=g(x)的图象在点 P(-1,1)处的切线方程; 1 ? 解析: (1)g′(x)=3x2+2ax-1.由题意 3x2+2ax-1<0 的解集是? ?-3,1?, 1 1 即 3x2+2ax-1=0 的两根分别是- ,1.将 x=1 或- 代入方程 3x2+2ax-1=0 3 3 得 a=-1.所以 g(x)=x3-x2-x+2. (2 )由(1)知 g′(x)=3x2-2x-1,所以 g′(-1)=4,所以点 P(-1,1)处的切线斜率 k=g′(-1)=4,所以函数 y=g(x) 的图象在点 P(-1,1)处的切线方程为 y-1=4(x+1),即 4x-y+5=0 61.设投掷 1 颗骰子的点数为 ξ,求随机变量 ? 的期望和方差。 解析:ξ 可以取 1,2,3,4,5,6. P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)=
1 1 1 1 1 1 ∴Eξ=1× +2× +3× +4× +5× +6× =3.5, 6 6 6 6 6 6 1 17.5 35 Dξ=[(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2]× = = . 6 6 12 62.有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行,其中男生必须排在一起;(2)全体排成一行,男、女各不相邻; (3)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边.
5 解:(1)捆绑法 将男生看成一个整体,进行全排列再与其他元素进行全排列共 A 3 3 A 5 =720 种. 4 (2)插空法先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位,共有 A 3 3 A 4 =144 种. 6 (3)位置分析法先排最右边,除去甲外,有 A 1 6 种,余下的 6 个位置全排有 A 6 种,但应剔除乙在最右边的排法数 5 1 6 1 5 A1 5 A 5 种则符合条件的排法共有 A 6 A 6 -A 5 A 5 =3720 种.

1 , 6

, 2, 3) 分,3 次均 63.某射击测试规则为:每人最多射击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中目标得 4-i (i ? 1
未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其各次射击结果互不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率;
9

(Ⅱ)该射手的得分记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望. 解析:(Ⅰ)设该射手第 i 次击中目标的事件为 Ai (i ? 1 , 2, 3) , P( Ai ) ? 0.8,P( Ai ) ? 0.2 , (Ⅱ) ? 可能取的值为 0,1,2,3.

? 的分布列为
1 0.032 2 0.16 3 0.8

?
P

0 0.008

64.已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函数,又 f ?( ) ? (1)求 f ( x ) 的解析式.(2)若在区间 [0, m ] (m>0)上恒有 f ( x ) ≤x 成立,求 m 的取值范围. 解析: (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,

1 2

3 . 2

?c ? 0, ?c ? 0, ? ? 1 ? 3a 3a 3 2 即? 解得 ? 3 ? f ?( x) ? 3ax ? 3ax ? f ? ? ? ? ? ? ?2? 4 2 2 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2
? a ? ?2 ,? f ( x) ? ?2 x3 ? 3x2 .
3 2 (2)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x ? 3x ? x ≤ 0 ,? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤

1 或 x ≥1. 2

又 f ( x) ≤ x 在区间 ?0,m? 上恒成立,? 0 ? m ≤ 65.设函数

1 2

f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
2 2

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围。 (1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0,
解析: (1) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b , 依题意,得 ?

? f ' (1) ? 0 ?a ? ?3 ?6 ? 6a ? 3b ? 0, ,即 ? ?? ?24 ? 12a ? 3b ? 0. ?b ? 4 ? f ' (2) ? 0

经检验, a ? ?3 , b ? 4 符合题意.
3 2 2 (2)由(1)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c , f ?( x) ? 6x ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .

x
f '( x)

0

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,3)

3

?
8c 递增

0
极大值 5+8c

?
递减

0
极小值

?
递增 9+8c

f ( x)

所以,当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c .因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立,所以

9 ? 8c ? c 2 ,因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) . 1 3 2 2 ? x ? mx ? 3m x ? 1 , m ? R . 66.已知函数 f ( x) 3 (1)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;
(2)若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数,求 m 的取值范围.
10

【解析】 (1)当 m ? 1 时, f ( x) ? 以所求切线方程为 y ?

1 3 5 x ? x 2 ? 3x ? 1 ,又 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,所以 f '(2) ? 5 .又 f (2) ? ,所 3 3

5 ? 5( x ? 2) ,即 15x ? 3 y ? 25 ? 0 .所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 3

15x ? 3 y ? 25 ? 0 . ( 2 )因为 f ' ( x) ? 0,得 x ? ?3m 或 x ? m . 当 m ? 0 时, ? x 2 ? 2mx ? 3m 2 ,令 f '(x)
f '( x ) ? x2 ? 0恒成立,不符合题意. 当 m ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (?3m, m) ,若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上
是减函数, 则?

??3m ? ?2, 解得 m ? 3 .当 m ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (m, ?3m) , 若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上 ?m ? 3. ?m ? ?2, ,解得 m ? ?2 . 综上所述,实数 m 的取值范围是 m ? 3 或 m ? ?2 . ??3m ? 3.

是减函数,则 ?

67.某广场上有 4 盏装饰灯,晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯,每盏灯出现红灯的概率都是

,出现绿灯的

概率都是 (1)求

.记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 ,当这排装饰灯闪烁一次时: 时的概率;(2)求 的数学期望.

解析:(1)



时的概率为

(2)法一:依题意,

法二: 的可能取值为 0,1,2,3,4

.

68.口袋中有大小、质地均相同的 7 个球,3 个红球,4 个黑球,现在从中任取 3 个球。 (1)求取出的球颜色相同的概率;(2)若取出的红球数设为 ,求随机变量 的分布列和数学期望

解:(1)设“取出的球颜色相同”为事件

所以取出的球颜色相同的概率为
11

(2) 的可能取值为 0,1,2,3

分布列为 P

0

1

2

3

1 35

69.工商部门对甲、乙两家食品加工企业的产品进行深入检查后,决定对甲企业的 5 种产品和乙企业的 3 种产品 做进一步的检验.检验员从以上 8 种产品中每次抽取一种逐一不重复地进行化验检验. (1)求前 3 次检验的产品中至少 1 种是乙企业的产品的概率; (2)记检验到第一种甲企业的产品时所检验的产品种数共为 X,求 X 的分布列和数学期望.

解析:(Ⅰ)



∴ 前 3 次检验的产品中至少 1 种是乙企业的产品的概率为 (Ⅱ) X 可取值 1,2,3,4

.

4分





, X 的分布列如下表: X P X 的数学期望为: 1 2 3



8分

4

. 70.甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮,甲投篮一次命中的概率为 投 4 个球,两人投篮命中的概率互不影响.
12

1 2 ,乙投篮一次命中的概率为 .每人各 2 3

(1)求甲至多命中 1 个球且乙至少命中 1 个球的概率; (2)若规定每投篮一次命中得 3 分,未命中得 ? 1 分,求乙所得分数? 的概率分布和数学期望. 【解析】 (1)设“甲至多命中 1 个球””为事件 A,“乙至少命中 1 个球”为事件 B,

1 4 5 2 1 80 ? ? P( B) ? 1 ? (1 ? ) 4 ? 1 ? ? 16 16 16 3 81 81 5 80 25 ? ? ∴甲至多命中 2 个球且乙至少命中 2 个球的概率为 P ( AB ) ? P ( A) P ( B ) ? 16 81 81
4 1 1 3 由题意得, P ( A) ? ( ) ? C4 ( ) ( ) ?

1 2

1 2

1 2

(2)乙所得分数? 的可能取值为 ?4, 0, 4,8,12 ,

1 1 8 24 1 2 1 3 2 2 2 1 2 , P (? ? 0) ? C4 ( )( ) ? , P (? ? 4) ? C4 ( ) ( ) ? , 3 81 3 3 81 3 3 81 32 2 16 3 2 3 1 P (? ? 8) ? C4 ( ) ( ) ? , P(? ? 12) ? ( ) 4 ? 3 3 81 3 81 ? 分布列如下: ? 0 4 8 12 ?4 24 1 8 32 16 P 81 81 81 81 81 1 8 24 32 16 20 E? ? ?4 ? ? 0 ? ? 4 ? ? 8? ? 12 ? ? 81 81 81 81 81 3
4 则 P(? ? ?4) ? ( ) ?

71.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次, 并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券 60 元;停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券. 例如:消费 218 元,可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. (Ⅰ)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; (Ⅱ)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为 X (元) .求随机变量 X 的分布列和数学期望.
C

A
60?

B

解析:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P ( A) ? 于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.

1 1 1 , P ( B ) ? , P (C ) ? . (Ⅰ)若返券金额不低 6 3 2 1 . 2

? P ? P( A) ? P( B) ?

1 1 1 ? ? 6 3 2

即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是

(Ⅱ)由题意得,该顾客可转动转盘 2 次,随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.

1 1 ? 2 2 1 1 P( X ? 9 0 ) ? ? 3 6 P ( X ? 0 )?

1 1 1 1 1 ? ;P (X ? 3 0 ) ? ? ? 2 ? P; X( ? 6 0 ? ) 4 2 3 3 2 1 1 1 1 ? 2? P ; X ( ? 1 2 0? ) ? ? . 9 6 6 36

1 ? 6

1 1 5 ? 2? ? ? 3 3 18

;

所以,随机变量 X 的分布列为:
13

P

0

30

60

90

120

1 1 5 1 1 4 3 18 9 36 1 1 5 1 1 ? 40 . 其数学期望 EX ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? 4 3 18 9 36
X
72.数列 {an } 满足 Sn ? 2n ? an (n ? N* ) .计算 a1 , a2 , a3 , a4 ,由此猜想通项公式 an ,并用数学归纳法证明 此猜想; 【解析】 (1)当 n=1 时,a1=S1=2-a1,∴a1=1.当 n=2 时,a1+a2=S2=2× 2-a2,∴a2= 当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2× 3-a3,∴a3=

3 . 2

7 15 .当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2× 4-a4,∴a4= . 4 8

由此猜想 an=

2n ? 1 (n∈N*). 现用数学归纳法证明如下: n ?1 2 21 ? 1 2k ? 1 * = 1 ,结论成立.②假设 n = k ( k≥1 且 k ∈ N )时,结论成立,即 a = ,那么 k 20 2k ?1

①当 n=1 时, a1=

当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,

2k ? 1 2 ? k ?1 2 ? ak 2k ?1 ? 1 2 ∴2ak+1=2+ak,∴ak+1= = = ,故当 n=k+1 时,结论成立, 2 2 2k
由①②知猜想 an=

2n ? 1 (n∈N*)成立. n ?1 2

14


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