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江苏省兴化市2012届高三上学期寒假作业(三)(数学)


高三年级数学寒假作业(3)
平面向量、不等式、复数、统计、概率、算法

2012 年 1 月 25 日—2012 年 1 月 26 日完成 (作业用时 120 分钟 班级 姓名 编制人 姚勇 审核人 家长签字 张乃贵) 成绩

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1 . 若全集 U ? R ,集合

M ? {x | x 2 ? 4} , N ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} 则 M ? (CU N ) 等于 ________________. 2.若 a ? b ? 0, 则下列不等式不成立的是_______________.

1 1 ?1? ?1? ① ? ;② a ? b ;③ a ? b ? 2 ab ;④ ? ? ? ? ? a b ? 2? ? 2?
3.已知复数 z ?

a

b

2?i , z 是 z 的共轭复数,则 z =_______________. 1? i

4.设 x, y 是满足 2 x ? y ? 4 的正数,则 xy 的最大值是_______________. 5.已知向量 a =(sinx,cosx), 向量 b =(1, 3),则| a + b |的最大值为_______________. 6.在△ ABC中, AB ? AC ? 1 , AB ? BC ? ?3 则 AB 边的长度为_______________.

7.将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n ,则函数 y ? 2 mx 3 ? nx ? 1 在 [1, ??) 上为
3
增函数的概率是________________. 8.下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图, 已 知 图 甲 中 从 左 向 右 第 一 组 的 频 数 为 4000 . 在 样 本 中 记 月 收 入 在 ?1000,1500? ,

[1500, 2000), [2000, 2500),[2500,3000),[3000,3500) , [3500, 4000] 的人数依次 为 A1 、

A2 、……、 A6 .图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图,图乙输
出的 S ?
频率/组距
输入A1,A 2,. ……A6
0.0008

. (用数字作答)
开始

S=0,i =2 i =i+1
0.0004 0.0003 0.0001 0 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

i <7? 否



S=S+Ai

月收入(元)

输出S 结束

图甲

图乙

9.设函数 f ( x) ? ?

?21? x , x ? 1, 则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是_________. ?1 ? log2 x, x ? 1,

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 10.设 O 为坐标原点, A(1,1) ,若点 B( x, y) 满足 ?1 ? x ? 2, 则 OA ? OB 取 ?1 ? y ? 2. ?
得最小值时,点 B 的个数是________________. 11.已知向量 a ? ?x ? z,3? , b ? ?2, y ? z ? ,且 a ⊥ b .若 x, y 满足不等式 x ? y ? 1,则 z 的取值范围_______________. 12.若非零不共线向量 a 、 b 满足| a - b |=| b |,则下列结论正确的个数是_______________. ①向量 a 、 b 的夹角恒为锐角;②2| b |2> a · b ;③|2 b |>| a -2 b |;④|2 a |<|2 a - b |.

1 ?1? 13. 设函数 f ?x ? ? x? ? ? ,A0 为坐标原点,A n 为函数 y ? f ? x ? 图象上横坐标为 n (n∈ N*) x ?1 ?2?
的点,向量 an ?

x

?

n

Ak ?1 Ak ,向量 i ? (1,0) ,设 ? n 为向量 a n 与向量 i 的夹角,满足

?

k ?1

? tan?k <
k ?1

n

5 的最大整数 n 是______________. 3

14.已知 R 上的不间断函数 g ( x) 满足:①当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 恒成立;②对任意的 x ? R 都有 g ( x) ? g (? x) .又函数 f ( x) 满足:对任意的 x ? R ,都有 f ( 3 ? x) ? ? f ( x) 成立, 当 x ? [0, 3 ] 时 , f ( x) ? x 3 ? 3x . 若 关 于 x 的 不 等 式 g[ f ( x)] ? g (a 2 ? a ? 2) 对

x ? [?3,3] 恒成立,则 a 的取值范围_______________.
二、 解答题: (本大题共 6 小题, 共 90 分,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)15. 设 平面向量 a =(cosx,sinx), b =(cosx+2 3,sinx), c =(sinα,cosα),x∈R. (1)若 a ⊥ c ,求 cos(2x+2α)的值; π? (2)若 x∈? ?0,2?,证明 a 和 b 不可能平行; (3)若 α=0,求函数 f(x)= a · ( b -2 c )的最大值,并求出相应的 x 的值.

16.某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业竞争力,决定优 化产业结构,调整出 x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为 3x ? 10? ?a-500?万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最多调 整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利 润,则 a 的取值范围是多少?

0) 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1 交于 P , Q 两 17.已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M (?2,
点.

1 ,求直线 l 的 方程; 2 (2)若 ?OMP 与 ?OPQ 的面积相等,求直线 l 的斜率.
(1)若 OP ? OQ ? ?

18.已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x ? ax ? 3 .
2

(1)求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2)对一切 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

?1 , x ? 0 sgn ? x ? ? x 19.定义: sgn ? x ? ? ?0 , x ? 0 ,若已知函数 f ( x) ? a ? ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 | x| a ??1 , x ? 0 ?
f ?1? ? 3 . 2

(1)解不等式: f ? x ? ? 2 ; (2)若 f (2t ) ? mf (t ) ? 4 ? 0 对于任意正实数 t 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20.对定义在 [0, 1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x ) 称为 G 函数. ① 对任意的 x ? [0, 1] ,总有 f ( x) ? 0 ; ② 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.
2 x 已知函数 g ( x) ? x 与 h( x) ? a ? 2 ?1 是定义在 [0, 1] 上的函数.

(1)试问函数 g ( x) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h( x) 是 G 函数,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 m ,使方程 g (2 ?1) ? h( x) ? m 恰有两解?若存在,
x

求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.


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