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常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用


常考问题 8 平面向量的线性运算及综合应用 [真题感悟] 1.(2013· 辽宁卷)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 A B 同方向的单位向量为( 3 4? 3? ?4 A.? ?5,-5? B.?5,-5? 3 4? ? 4 3? C.? ?-5,5? D.?-5,5? 解析 A B =(4,-1)-(1,3)=(3,-4), ∴与 A B 同方向的单位向量为 答

案 A → → 2.(2013· 福建卷)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 B.2 5 C.5 D.10 → → → → 解析 因为AC· BD=0,所以AC⊥BD. 1→ → 1 故四边形 ABCD 的面积 S= |AC||BD|= × 5×2 5=5. 2 2 答案 C → → 3.(2013· 湖北卷)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的 投影为( 3 2 A. 2 ) 3 15 B. 2 3 15 D.- 2 )



).





AB

→ →

|A B |

3 4? =? ?5,-5?.

3 2 C. - 2

→ → → → 解析 AB=(2,1),CD=(5,5),所以AB在CD方向上的投 → → AB· CD 2×5+1×5 15 3 2 影为 = = = . 2 → 5 2 52+52 |CD| 答案 A 4.(2013· 新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b.若 b· c=0, 则 t=________. 1 解析 因为向量 a,b 为单位向量,又向量 a,b 的夹角为 60° ,所以 a· b= ,由 b· c=0,得 2 1 1 1 ∴b· c=ta· b+(1-t)· b2= t+(1-t)×12= t+1-t =1- t=0.∴t=2. 2 2 2 答案 2

→ → → → → → → 5.(2013· 山东卷)已知向量AB与AC的夹角为 120° ,且|AB|=3,|AC|=2.若 A P =λAB+AC, → → 且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________. → → → → → → → → → → → → → → 解析 由AP⊥BC知AP· BC=0,即AP· BC=(λAB+AC)· (AC-AB)=(λ-1)AB· AC-λA B 2+AC 1? 7 2=(λ-1)×3×2×? ?-2?-λ×9+4=0,解得 λ=12. 答案 7 12

[考题分析] 题型 选择题、填空题 难度 低档 考查平面向量的有关概念(如单位向量)、数量积的运算(求模与夹角等). 中档 在平面几何中,求边长、夹角及数量积等. 高档 在平面几何中,利用数量积的计算求参数值等.

1.向量的概念 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0. a (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为± . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的一个方向向量. (5)|b|cos〈a,b〉叫做 b 在向量 a 方向上的投影. 2.两非零向量平行、垂直的充要条件 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)若 a∥b?a=λb(λ≠0);a∥b?x1y2-x2y1=0. (2)若 a⊥b?a· b=0;a⊥b?x1x2+y1y2=0. 3.平面向量的性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a· a= x2+y2. (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |A B |= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. x1x2+y1y2 a· b (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角,则 cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2 4.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表 → → → 示, 就要根据向量加减法的法则进行, 特别是减法法则很容易使用错误, 向量MN=ON-OM (其中 O 为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减去起点向量.



5.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角 线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量 a,b 互相垂直,反之 也成立. 6.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可 能是 0 或 π 的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求 不能反向共线.

热点一 平面向量的线性运算 1 2 【例 1】 (2013· 江苏卷)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC. 2 3 → → → 若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________.

1→ 2 → 1 → → → 1→ 2 → 1→ 2 → → 解析 如图,DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)=- AB+ AC,则 λ1=- ,λ2 2 3 2 3 6 3 6 2 1 = ,λ1+λ2= . 3 2 答案 1 2

[规律方法] 在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作字母,其运算类似于代数中 → 合并同类项的运算,在计算时可以进行类比.本例中的第(1)题就是把向量DE用 → → AB,AC表示出来,再与题中已知向量关系式进行对比,得出相等关系式,可求相应的系数. 【训练 1】 (2013· 天津卷)在平行四边形 ABCD 中, AD=1, ∠BAD=60° , E 为 CD 的中点. 若 → → AC· BE=1,则 AB 的长为________. → → → → → 1→ → 解析 在平行四边形 ABCD 中,取 AB 的中点 F,则BE=FD,∴BE=FD=AD- AB,又AC 2 → → =AD+AB, 1 → → → → 1→ 1→ → → → → → → 1→ → → ∴AC· BE=(AD+AB)· (AD- AB)=AD2- AD· AB+AD· AB- AB2=|AD|2+ |AD||AB|· cos 60° 2 2 2 2 1→ 1 1→ 1→ - |AB|2=1+ × |AB|- |AB|2=1. 2 2 2 2 1 →?→ → → 1 ∴? ?2-|AB|?|AB|=0,又|AB|≠0,∴|AB|=2. 答案 1 2

热点二 平面向量的数量积 【例 2】 若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|, 则向量 b 与 a+b 的夹角为( π 5π π 2π A. B. C. D. 6 6 3 3 解析 法一 由已知|a+b|=|a-b|,两边平方,整理可得 a· b=0.①由已知|a+b|=2|a|,两边 平方,整理可得 a2+b2+2a· b=4a2.② 把①代入②,得 b2=3a2,即|b|= 3|a|.③ 而 b· (a+b) b· ?a+b? =b· a+b2=b2,故 cos〈b,a+b〉= = |b|· |a+b| ).

b2 3a2 3 = = . 3|a|· 2|a| 2 3a2 2 π 又〈b,a+b〉∈[0,π],所以〈b,a+b〉= . 6 法二 如图,作 O A =a,O B =b,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则 O C =a+b, B A =a-b. 由|a+b|=|a-b|,可知|O C |=|B A |,所以平行四边形 OACB 是矩形.又|a+b|=|a-b|=2|a|,













→ → → → → 2 → 2,) 可得|O C |=|B A |=2|O A |,故在 Rt△AOB 中,|OB|=|BA | -|OA|
|O A | 3 π π → = 3|O A |,故 tan∠OBA= = ,所以∠BOC=∠OBA= .而〈b,a+b〉=∠BOC= . 6 6 → 3 |O B | 答案 A [规律方法] 求解向量的夹角,关键是正确求出两向量的数量积与模.本例中有两种解法, 其一利用已知向量所满足的条件和向量的几何意义求解, 其二构造三角形, 将所求夹角转化 为三角形的内角求解,更为直观形象. 【训练 2】 (2013· 湖南卷)已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c| 的取值范围是( ).



A.[ 2-1, 2+1] B.[ 2-1, 2+2] C.[1, 2+1] D.[1, 2+2] 解析 由 a,b 为单位向量且 a· b=0, 可设 a=(1,0),b=(0,1),又设 c=(x,y), 代入|c-a-b|=1 得(x-1)2+(y-1)2=1,

又|c|= x2+y2, 故由几何性质得 12+12-1≤|c|≤ 12+12+1, 即 2-1≤|c|≤ 2+1. 答案 A 热点三 平面向量与三角函数的综合 【例 3】 已知向量 m=(sin x,-1),n=(cos x,3). sin x+cos x (1)当 m∥n 时,求 的值; 3sin x-2cos x (2)已知在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3c=2asin(A+B),函数 f(x) π? =(m+n)· m,求 f? ?B+8?的取值范围. 解 (1)由 m∥n,可得 3sin x=-cos x, sin x+cos x tan x+1 1 于是 tan x=- ,∴ = = 3 3sin x-2cos x 3tan x-2 1 - +1 3 2 =- . 1 9 ? 3×? ?-3?-2

(2)在△ABC 中 A+B=π-C,于是 sin(A+B)=sin C, 由正弦定理,得 3sin C=2sin Asin C, ∵sin C≠0,∴sin A= 3 π π π .又△ABC 为锐角三角形,∴A= ,于是 <B< .∵f(x)=(m+n)· m= 2 3 6 2

1-cos 2x 1 π? 2 (sin x+cos x,2)· (sin x,-1)=sin2 x+sin xcos x-2= + sin 2x-2= sin? ?2x-4?- 2 2 2 3 , 2 π? π? 3 π? 2 ? ? 2 3 π π π 3 ∴ f? ?B+8?= 2 sin?2?B+8?-4?-2= 2 sin2B-2.由6<B<2得3<2B<π,∴0<sin 2B≤1,-2 < 2 3 2 3 sin 2B- ≤ - , 2 2 2 2

π 3 2 3 即 f(B+ )∈?- , - ?. 8 ? 2 2 2? [规律方法] 在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数 中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角 函数之间的关系等; 另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题. 在解决此类问题 的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量 或者三角函数的知识解决问题. 【训练 3】 (2013· 江苏卷)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

(1)证明 由|a-b|= 2,即(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2, 整理得 cos αcos β+sin αsin β=0,即 a· b=0,因此 a⊥b.
?cos α+cos β=0, ? (2)解 由已知条件得? ? ?sin α+sin β=1,

cos β=-cos α=cos(π-α),由 0<α<π,得 0<π-α<π,又 0<β<π,故 β=π-α.则 sin α+sin (π 1 π 5π π 5π -α)=1,即 sin α= ,故 α= 或 α= .当 α= 时,β= (舍去) 2 6 6 6 6 5π π 当 α= 时,β= . 6 6

审题示例(四) 突破有关平面向量问题的思维障碍

图1 解析 法一 设直角三角形 ABC 的两腰长都为 4,如图 1 所示,以 C 为原点,CA,CB 所 在的直线分别为 x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(4,0),B(0,4),因为 D 为 AB 的中点, 所以 D(2,2).因为 P 为 CD 的中点,所以 P(1,1).故|PC|2=12+12=2,|PA|2=(4-1)2+(0- |PA|2+|PB|2 20 1)2=10,|PB|2=(0-1)2+(4-1)2=10,所以 = =10. |PC|2 2

图2 法二 如图 2 所示,以 C 为坐标原点,CA,CB 所在的直线分别作为 x 轴,y 轴建立平面直 角坐标系.

a b? ?a b? 设|CA|=a,|CB|=b,则 A(a,0),B(0,b),则 D? ?2,2?,P?4,4?, a?2 ?b?2 a2 b2 ∴|PC|2=? ?4? +?4? =16+16, a?2 ?b ?2 a2 9b2 |PB|2=? ?4? +?4-b? =16+ 16 , a ?2 ?b?2 9a2 b2 |PA|2=? ?4-a? +?4? = 16 +16, a2 b2 ? 2 所以|PA|2+|PB|2=10? ?16+16?=10|PC| , |PA|2+|PB|2 ∴ =10. |PC|2 法三 如图 3 所示,取相互垂直的两个向量 C A =a,C B =b 作为平面向量的基向量,显然 a· b=0.





图3

→ → 1 则在△ABC 中,B A =a-b,因为 D 为 AB 的中点,所以 C D = (a+b). 2
1 → 1 1 1 → → 因为 P 为 CD 的中点,所以 P C =- C D =- × (a+b)=- (a+b).在△CBP 中,P B = 2 2 2 4 1 1 3 1 3 → → → → → P C +C B =- (a+b)+b=- a+ b,在△CAP 中,P A =P C +C A =- (a+b)+a= a- 4 4 4 4 4 1 1 3 ?2 1 2 1 1 → → ?2 1 2 2 b.所以|P C |2=? b)= (|a|2+|b|2),|P B |2=? ?-4?a+b?? =16(a +b +2a· ?-4a+4b? =16a + 4 16 3 1 ?2 9 2 1 2 3 9 2 3 1 9 9 2 1 2 → a- b = a + b - a· b - a· b = |a|2 + |b|2 , |P A |2 = ? b = |a| + |b| . 故 4 4 ? ? 16 16 8 16 16 16 8 16 16

? 9 |a|2+ 1 |b|2?+? 1 |a|2+ 9 |b|2? 16 ? ?16 16 ? |PA|2+|PB|2 ?16 = =10. 2 |PC| 1 2 2 ?|a| +|b| ? 16
答案 D 方法点评 以上根据向量数与形的基本特征, 结合题目中的选项以及直角三角形的条件, 从 三个方面提出了不同的解法,涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识,在寻找解题思路 时,应牢牢地把握向量的这两个基本特征. → → [针对训练] 在△ABC 中, 已知 BC=2, AB· AC=1, 则△ABC 的面积 S△ABC 最大值是________. 解析 以线段 BC 所在直线为 x 轴,

线段 BC 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系, 则 B(-1,0),C(1,0). → 设 A(x,y),则AB=(-1-x,-y), → AC=(1-x,-y), → → 于是AB· AC=(-1-x)(1-x)+(-y)(-y)=x2-1+y2. → → 由条件AB· AC=1 知 x2+y2=2, 这表明点 A 在以原点为圆心, 2为半径的圆上. 当 OA⊥BC 时,△ABC 面积最大,即 1 S△ABC= ×2× 2= 2. 2

(建议用时:60 分钟) 1.(2013· 陕西卷)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|, 则有 cos〈a,b〉=± 1. 即〈a,b〉=0 或 π,所以 a∥b.由 a∥b,得向量 a 与 b 同向或反向,所以〈a,b〉=0 或 π, 所以|a· b|=|a||b|. 答案 C 2.已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ,|a|=3,|a+b|= 13则|b| 等于( A.5 B.4 C.3 D.1 解析 向量 a 与 b 的夹角为 120° ,|a|=3,|a+b|= 13, 3 则 a· b=|a||b|· cos 120° =- |b|, 2 |a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2. 所以 13=9-3|b|+|b|2,则|b|=-1(舍去)或|b|=4. 答案 B 3.(2013· 辽宁一模)△ABC 中 D 为 BC 边的中点,已知 A B =a,A C =b 则在下列向量中与 ). ).





A D 同向的向量是( a b a b A. + B. - |a| |b| |a| |b| a+b C. D.|b|a+|a|b |a+b|



).

→ 1 → → 1 解析 ∵A D = (A B +A C )= (a+b), 2 2
a+b → ∴向量 与向量 A D 是同向向量. |a+b| 答案 C 4.已知非零向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,向量 a 与 b 的夹角为 60° ,且|a|=|b|=1,则向 量 a 与 c 的夹角为( ).

A.30° B.60° C.120° D.150° 解析 因为 a+b+c=0,所以 c=-(a+b).所以|c|2=(a+b)2=a2+b2+2a· b=2+2cos 60° =3.所以|c|= 3. 3 a· c 又 c· a=-(a+b)· a=-a2-a· b=-1-cos 60° = - , 设向量 c 与 a 的夹角为 θ, 则 cos θ= 2 |a||c| 3 - 2 3 = =- .又 0° ≤θ≤180° ,所以 θ=150° . 2 1× 3 答案 D → → → → 5. (2013· 安徽卷)在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, 两定点 A, B 满足|OA|=|OB|=OA· OB → → → =2,则点集{P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( A.2 2 B.2 3 C.4 2 D.4 3 ).

1 π → → → → 解析 由|OA|=|OB|=OA· OB=2,知 cos∠AOB= ,又 0≤∠AOB≤π,则∠AOB= ,又 A, 2 3

?x= 3λ, → → → B 是两定点,可设 A( 3,1),B(0,2),P(x,y),由 OP=λOA+μ OB,可得? ? ?y=λ+2μ

?λ= 33x, ? y 3 ?μ=2- 6 x.
x≥0, 3 y 3 因为|λ|+|μ|≤1,所以? x?+? - x?≤1,当 3y- 3x≥0,时, ? 3 ? ?2 6 ? 3y+ 3x≤6 1 由可行域可得 S0= ×2× 3= 3, 所以由对称性可知点 P 所表示的区域面积 S=4S0=4 3, 2

? ? ?

故选 D. 答案 D → → 6.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD= ________. 1→ → 1 → → → → → → → 1→ → → → 解析 由题意知:AE· BD=(AD+DE)· (AD-AB)=(AD+ AB)· (AD-AB)=AD2- AD· AB- 2 2 2 → AB2=4-0-2=2. 答案 2 π 7.(2013· 江西卷)设 e1,e2 为单位向量,且 e1,e2 的夹角为 ,若 a=e1+3e2,b=2e1,则向 3 量 a 在 b 方向上的射影为________. a· b 解析 a 在 b 方向上的射影为|a|cos〈a,b〉= . |b| ∵a· b=(e1+3e2)· 2e1=2e2 e2=5. 1+6e1· |b|=|2e1|=2. a· b 5 ∴ = . |b| 2 答案 5 2

8.在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点, 则|P A +3P B |的最小值为______.





解析 建立如图所示的直角坐标系,设 DC=m,P(0,t),t∈[0,m],由题意可知,A(2,0), B(1 , m) , P A = (2 ,- t) , P B = (1 , m - t) , P A + 3P B = (5,3m - 4t) , |P A + 3P B | = 3 → → 52+?3m-4t?2≥5,当且仅当 t= m 时取等号,即|P A +3P B |的最小值是 5. 4 答案 5













3π 9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴正半轴上,直线 AB 的倾斜角为 ,|OB| 4

π 3π? =2,设∠AOB=θ,θ∈? ?2, 4 ?. (1)用 θ 表示点 B 的坐标及|OA|; 4 → → (2)若 tan θ=- ,求 O A · O B 的值. 3 π 解 (1)由题意,可得点 B 的坐标为(2cos θ,2sin θ).在△ABO 中,|OB|=2,∠BAO= ,∠ 4 3π? 3π B=π-? ?π- 4 ?-θ= 4 -θ.由正弦定理,得 3π ? 即|OA|=2 2sin? ? 4 -θ?. (2)由(1),得 O A · O B =|O A ||O B |cos θ 3π ? =4 2sin? ? 4 -θ?cos θ. π 3π? 4 因为 tan θ=- ,θ∈? ?2, 4 ?, 3 4 3 所以 sin θ= ,cos θ=- . 5 5 3π ? 3 3π 3π 2 2 2 4 -θ =sin cos θ-cos sin θ= ×?- ?-?- ?× = , 又 sin? 4 5 ? ? 4 4 2 ? ? ? 2 ? 5 10 故 OA· O B =4 2× |OB| |OA| = , 3 sin B π- π? sin? ? 4 ?

→ →





→ →

2 ? 3? 12 × - =- . 10 ? 5? 25

10.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设向量 m=(a,b),n=(sin B, sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,C= ,求△ABC 的面积. 3 (1)证明 因为 m∥n,所以 asin A=bsin B, a b 即 a· =b· (其中 R 是△ABC 外接圆的半径),所以 a=b.所以△ABC 为等腰三角形. 2R 2R (2)解 由题意,可知 m· p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0,所以 a+b=ab,由余弦定理,知 4 π =c2=a2+b2-2abcos =(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,所以 ab=4 或 ab=-1(舍去). 3 1 1 π 所以 S△ABC= absin C= ×4×sin = 3. 2 2 3

11.如图所示,A,B 分别是单位圆与 x 轴、y 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上,∠AOP

=θ(0<θ<π),C 点坐标为(-2,0),平行四边形 OAQP 的面积为 S. (1)求 O A · O Q +S 的最大值; π 2θ- ?的值. (2)若 CB∥OP,求 sin? 6? ? 解 (1)由已知,得 A(1,0),B(0,1),P(cos θ,sin θ), 因为四边形 OAQP 是平行四边形, 所以 O Q =O A +O P =(1,0)+(cos θ,sin θ) =(1+cos θ,sin θ). 所以 O A · O Q =1+cos θ. 又平行四边形 OAQP 的面积为 S=|O A |· |O P |sin θ=sin θ, π? → → 所以 O A · O Q +S=1+cos θ+sin θ= 2sin? ?θ+4?+1. 又 0<θ<π, π → → 所以当 θ= 时,O A · O Q +S 的最大值为 2+1. 4 (2)由题意,知 C B =(2,1),O P =(cos θ,sin θ), 因为 CB∥OP,所以 cos θ=2sin θ. 又 0<θ<π,cos2θ+sin2θ=1, 解得 sin θ= 5 2 5 ,cos θ= , 5 5

→ →







→ →









4 3 所以 sin2 θ=2sin θcos θ= ,cos2θ=cos2θ-sin2θ= . 5 5 π? π π 4 3 3 1 4 3- 3 所以 sin? ?2θ-6?=sin 2θcos6-cos 2θsin6=5× 2 -5×2= 10 .


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