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不等式的证明


毕业论文 4.15 更新版 框架:
摘要· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 Abstract· · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 前言· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 1. 不等式的意义和性质 1.1 不等式的定义 1.2 不等式的意义 1.3 不等式的性质 2. 基本不等式 2.1 基本不等式的应用 3 . 算数—几何平均不等式 3.2 二维情况下的算数—几何平均数定理 3.3 二维情况下的算数—几何平均数定理的几何解释 3.2 一般情况下的算数—几何平均不等式 3.1 算数—几何平均不等式的知识联系 3.3 算数—几何平均不等式巧妙应用 4. 柯西不等式 4.1 二维情况下的柯西不等式 4.2 一般情况下的柯西不等式 4.3 柯西不等式的知识联系 4.4 柯西不等式的巧妙应用 6. 结论 参考文献 致谢

两类著名不等式在高中数学的巧妙应用
摘要:不等式早就在各个数学领域里发挥着重要的作用,无论在初等数学还是 高等数学,不等式这方面的知识,渗透在数学各个分支中,有着十分广泛的应用。本文 通过对两种常见不等式的二维和一般情况的阐述、总结其知识联系、对比其应用特点, 总结出均值不等式和柯西不等式在高中数学中的便捷应用技巧。

关键词:不等式;算数几何平均不等式;柯西不等式;应用。

前言
在数学的学习过程中,不等式证明是一个非常重要的内容,这些内容在 初等数学和高等数学中都有体现,在数量关系上,虽然不等关系要比相等关 系更加广泛的存在于现实的世界里,但是人们对于不等式的认识要比方程要 迟的多。直到 17 世纪以后,不等式的理论才逐渐发展起来,但是自其诞生 之日就受到人们的关注,关于它的研究经久不衰。历史上就有不少数学 家就不等式方面做出了重大贡献,如 1960 年,李岳生先生最早对 Bihar 积分不等式做出了推广; 柯西提出的 Cauchy-Schwarz 不等式; 丹尼尔· 伯 努利等也对不等式理论的发展做出卓越贡献。 不等式早就在各个数学领域 里发挥着重要的作用,这是人所共知的。 我们在学习不等式的时候往往都是从初等数学中低维情况学期,到高等 数学是对低维进行推广,从而实现知识的连贯。一些常见的低维的不等式更 是给在学习和生活中碰到的数学问题提供了很好的解决方法。算数-几何平 均不等式,柯西不等式这方面的知识,渗透在数学各个分支中,有着十分广 泛的应用。因此这两类不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性, 对高中数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用。本文就均值不等 式和柯西不等式在高中应用上的方法技巧作一些归纳、总结、探讨。

1.不等式的意义和性质
1.1 不等式的定义
在实数范围内,用不等号“ ? (或 ? ) ” , “ ? (或 ? ) ”连接的两个解析式 子,叫做不等式。用“ ? ”或“ ? ”号连结的,叫做严格不等式,用“ ? ” 或“ ? ”号连结的,叫做非严格不等式。

1.2 不等式的意义
对任意两个实数 a , b 。 若 a 与 b 的差是整数,则称 a 大于 b ; 若 a 与 b 的差是零,则称 a 等于 b ; 若 a 与 b 的差是负数,则称 a 小于 b , 反之亦然。将上述的说法抽象成数学符号来表示,那么就是:

?a ? b ? 0 ? a ? b ? ?a ? b ? 0 ? a ? b ?a ? b ? 0 ? a ? b ?

1.3 不等式的性质
(1) a ? b ? b ? a ; (2) a ? b, b ? c ? a ? c ; (3) a ? b ? a ? c ? b ? c ; (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; (5) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; (6) a ? b ? 0, n 是大于 1 的整数 ? a n ? bn ; (7) a ? b ? 0, n 是大于 1 的整数 ? n a ? n b 。

2.基本不等式 2.1 基本不等式定义
定义一: a 2 ? 0 定义二:对于任意实数 a 和 b ,有 a 2 ? b2 ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时等号 成立。 定义三:对于任意正数 a 和 b ,有 立。
a?b ? ab ,当且仅当 a ? b 时等号成 2

2.1 基本不等式的应用
例 1.已知 x, y 为正实数,且 x 2 ?
y2 ? 1,求 x 1 ? y 2 的最大值? 2

证明:因为 x 1 ? y 2 ? x 2

1? y2 1 y2 ? 2 x? ? 2 2 2

1 y2 下面将 x, 分别看成两个因式 ? 2 2

1 y2 1 y2 x ? ? x2 ? ? 2 1 y 2 2 ? 2 2 ?3 x? ? ? 2 2 2 2 4
2

2

即 x 1? y2 ?

2 x?

1 y2 3 ? ? 2 2 2 4

例 2.在面积保持不变的条件下,何时矩形的周长最小? 解:设矩形的长、宽分别为 a, b(a, b ? R? ) 且 ab ? m (定值)则同样面积的正 方形的边长为 ab 。矩形周长 c ? 2(a ? b) ,正方形周长 c' ? 4 ab ,由基本不等 式定义三,得
a?b ? ab 2

即 2(a ? b) ? 4 ab ,即 c ? c ' 。 由题意, ab ? m ,所以 c ? 4 m ,等号成立.当且仅当 a ? b ,即矩形为正 方形时,矩形的周长最小。

3.算数—几何平均不等式
3.1 算数—几何平均不等式定理 3.1.1 二维情况下的算数—几何平均不等式定理
定理:对任何两个非负实数 a 和 b,恒有
a?b ? ab , 2

(1.1)

其中等号当且仅当 a ? b 时成立。 证明:因为 a , b 非负,可设 a ? c2 , b ? d 2 。由 (c ? d )2 ? 0 , 即 a 2 ? 2cd ? d 2 ? 0 , 得 c 2 ? d 2 ? 2cd ,得 当 c ? d 时成立, 所以(1.1)式中的等号当且仅当 a ? b 时成立。
a?b ? ab 。上述不等式当且仅 2

3.1.2 一般情况的算数—几何平均不等式
定理:对于任何 n 个非负实数 a1 , a2 ,?, an 恒有
a1 ? a2 ? ? ? an n ? a1 , a2 ,? , an n

(1.2)

其中等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时成立 证明:记 c ? n a1 , a2 ,?, an ,令 bi ? 原不等式 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n 。 其中 b1 ? b2 ? ?? bn ?
1 (a1 , a2 ,?, an ) ? 1 cn x x x1 x , b2 ? 2 ,?, bn?1 ? n?1 ,则 bn ? n 。 x2 x3 xn x1 x x1 x2 ? ??? n ? n x2 x3 x1
ai ,则 c

取 x1 , x2 ,? xn 使 b1 ?

由排序不等式,易证 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 证毕

3.1.3 算数—几何平均不等式定理解析
均值不等式定理中有明确的限制诸如“任何 n 个非负实数 a1 , a2 ,?, an ” 。
在均值不等式的应用上需满足这些前提条件: 条件一:在所有代数不等式中必须满足各项都是正数。 条件二:各变数的和或积为常数,以确保不等式的一边为定值(常数) 。 条件三:各变项能使不等式等号成立。 简称: “一正” 、 “二定” 、 “三相等”

3.2 算数—几何平均数的知识联系
均值不等式是高中数学的一个重要知识点,它的重要性体现在很多方面 如:成为高考的一个热点,在竞赛数学中也有涉猎。在高等数学中学习的均 值不等式是对高中二维情况的继承和推广,在详细了解了高等数学中均值不 等式的表述及证明之后,对高中阶段的二维形式有了更清晰的认识,均值不 等式可以推广成三维,四维形式对高中能力型题目提供更便捷的方法。笔者 在这里梳理了其中的知识联系(图一)以便为后文的巧妙应用提供依据。

a 2 ? b2 ? 2ab a3 ? b3 ? c3 ? 3abc

a?b ? ab 2 a?b?c 3 ? abc 3

a1n ? a2n ??? ann ? na1a2 ?an

a1 ? a2 ? ? ? an n ? a1 , a2 ,? , an n

n ? n a1a2 ? an 1 1 1 ? ?? ? a1 a2 an

a1n ? a2 n ? ? ? an n ? a1a2 ? an n

(

a1 ? a2 ? ? ? an n ) ? a1a2 ? an n

图一 注:图中 a1, a2 ,?, an ? R? ,当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时等号成立。

3.3 算数—几何平均不等式的巧妙应用 技巧一:化整为零
在使用均值不等式时要注意观察均值不等式的得代数结构,它是由一个 和式和一个积式在不等号得连接下构成的。有时题设问题不具备这些条件, 这时我们可以考虑把其中的一项分拆成几项,重新组合,为均值不等式创造 条件,从而达到快速解题的目的。 例 1.已知 x, y, z ? R? ,求证

x2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x2 ? xyz x? y?z

(3.1)

思路分析:因为 x, y, z ? R? ,所以要证的不等式可以变形为:

x2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x2 ? x2 yz ? xy 2 z ? xyz 2 ,从整体上证明有困难时,可以进
行局部的考察,不等式左边前两项之和,由平均值不等式得

x2 y 2 ? y 2 z 2 ? 2xy 2 z ,后者正是不等式右边第二项的 2 倍。同理我们可以得到
不等式左边第 2 项、第三项之和及第 3 项、第 1 项之和,即得证明得方法。

证: 不等式 (3.1) 等价于 x2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x2 ? x2 yz ? xy 2 z ? xyz 2
x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? 2 xy 2 z

(3.2)

由平均值不等式得

y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? 2 xyz 2 z 2 x 2 ? x 2 y 2 ? 2 x 2 yz

以上三式相加得: 2( x2 y2 ? y2 z 2 ? z 2 x2 ) ? 2( x2 yz ? xy 2 z ? xyz 2 ) 由此得证 (3.1)从而得证(3.2) 四维误区:误把“同向不等式想除”当作不等式的性质,导致如下看起 来更简便的但实际错误的证法。 因为 x2 y2 ? y2 z 2 ? z 2 x2 ? 3xyz 3 xyz , x ? y ? z ? 3 3 xyz 。

x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 3xyz 3 xyz 所以 ? ? xyz x? y?z 3 3 xyz
例 2.设 a, b, c ? 0 且 (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8 ,求证 abc ? 1 证明:由 (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8 ,得
(a ? b ? c) ? (ab ? bc ? ca) ? abc ? 7

(3.3)

由均值不等式得 a ? b ? c ? 3 3 abc , ab ? bc ? ca ? 3 3 (abc) 2 ,代入(3.3)得

7 ? 3 3 abc ? 3 3 (abc)2 ? abc ? 3 abc ? 3 abc ? 3 abc ? 3 (abc)2 ? 3 (abc)2 ? 3 (abc)2 ? abc
再由平均值不等式得 7 ? 7(abc) 于是得 abc ? 1 例 3.设 x ? 0 ,求 y ? x ?
4 的最小值。 x2
4 7

4 4 思路分析:由于 x? 2 ? 不是一个确定的常数,所以不等直接利用平 x x
均值不等式求函数的最大值。但将表达式稍变形为 y ?
3

x x 4 ? ? ,由于 2 2 x2

x x 4 ? ? ? 1为常数,可以利用均值不等式求函数的最小值。 2 2 x2
解:因为 y ?
x x 4 x x 4 ? ? 2 ( x ? 0) 由均值不等式得 y ? 3 3 ? ? 2 ? 3 ,从 2 2 x 2 2 x

x 4 ? 解得 x ? 2 。所以当 x ? 2 时, y 有最小值 3 2 x2

技巧二:巧妙配凑
在一些不等式的题设中,在直观上难以观察到均值不等式的应用,不具 备均值不等式的应用条件我们可以添加一些关系式,创造出均值不等式的应 用环境, 就能绕过难点从而顺利解决题目。 此类题目在竞赛数学中应用颇多, 由于思维指向不明确,故是应用上的难点。 例 1.设 n ? N ,求证:
1 1 n ?1 (1 ? ) n ? (1 ? ) ?3 n n ?1

思路分析:直观上难以观察不等式,我们巧妙的使用均值不等式,可以
1 1 1 则亦可视为 n ? 1 的乘积。我 将 (1 ? ) n 视为 n 项的乘积,若将其表为 (1 ? ) n ? n n

们灵活应用均值不等式可以简化解答过程。 证明:有平均值不等式,并注意到 1 ?
1 ? 1 ,得 n

1 n(1 ? ) ? 1 1 1 1 n n ?1 (1 ? ) 2 ? n ?1 (1 ? ) 2 ? 1? ? 1? n n n ?1 n ?1 1 1 n ?1 ) 于是有 (1 ? ) n ? (1 ? (3.4) n n ?1 5 1 再由均值不等式,注意到 ? 1 ? ,得 6 6n 5 1 5 1 n? ? ? n(1 ? ) 6 6?6 6n ? n?1 5 (1 ? 1 )n 1? n ?1 n ?1 6 6n 5 1 n 1 n 5 1 5 7776 ?3 由此得, (1 ? ) ? 1即 (1 ? ) ? 于是, (1 ? )6 n ? ( )6 ? 6 6n 6n 6 6n 6 3125 1 由(3.4)知, (1 ? ) n 随 n 而增大,因为 n ? 1 ? 6n n 1 n ?1 1 ) ? (1 ? ) 6 n ? 3 成立 所以 (1 ? n ?1 6n
思维误区:对于几何—平均值不等式,Gn ? An 是主要结论,但“等式当 且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时成立”得结论绝对不等忽视,否则导致结果可能会
1 1 n ?1 ) 欠缺完美。比如本题中就只会得到 (1 ? ) n ? (1 ? n n ?1

例 2.设 ai , bi ? R? (i ? 1,2,?, n) , 且满足 ? ai ?? bi 求证 ?
i ?1 i ?1

n

n

n

i ?1

ai2 1 n ? ? ai ai ? bi 2 i ?1

(1991 年亚太地区奥赛) 思路分析:易知当 ai ? bi (i ? 1, 2,?, n) 时不等式等号成立,同样可视 ai , bi 得权值都为 1,此时
1 1 ai2 的权值为 ,故凑配其辅助式为 (ai ? bi ) 2 4 ai ? bi

证明:因为
n n

n n ai2 a2 1 1 n ? (ai ? bi ) ? ai ,所以 ? i ? ? (ai ? bi ) ? ? ai 由 ai ? bi 4 4 i ?1 i ?1 ai ? bi i ?1 n

? ai ? ? bi ,移项化简即得 ?
i ?1 i ?1

i ?1

ai2 1 n ? ? ai ai ? bi 2 i ?1
n n n

若令 bi ? ai ?1 (i ? 1, 2,?, n), bi ? ai 且 ? ai ? 1 则 ? bi ? ? ai ?1 ? 1
i ?1 i ?1 i ?1

以上不等式可化为

2 2 2 an an a12 a2 1 ?1 ? ??? ? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 2

技巧三:巧去分母
例 1.设 a, b, c 为正实数,且满足 abc ? 1 ,试证:
1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2
3

证明:因为 a, b, c ? R ? ,且 abc ? 1

1 2 1 abc 所以 3 ? 3 ? a a (b ? c) a (b ? c) ( 1 ? 1 ) b c 1 1 2 2 1 1 同理 3 ? b , 3 ?? c 1 1 b (c ? a ) ( 1 ? 1 ) c ( a ? b ) ( ? ) a c a b 1 a2 ? 1 ( 1 ? 1 ) ? 1 又 1 1 ( ? ) 4 b c a b c



1 1 1 1 ? ( ? )? 1 1 ( ? ) 4 a c b a c 1 c2

1 b2



1 1 ( ? ) a b

1 1 1 1 ? ( ? )? 4 a b c



①+②+③得
1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 3 ? 3 ? 3 ? ( ? ? ) ? (bc ? ac ? ab) ? abc ? a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2 a b c 2 2 2
3

从而原不等式成立(当且仅当 a ? b ? c ? 1 )时不等式取等号 例 1.已知 x1, x2 ,?, xn ? R? 且 x1 ? x2 ? ?? xn ? 1(n ? N ? , 2 ? n) 求证:

x2 x2 x12 x2 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 1 ? xn n ? 1
思路分析:由于已知 x1, x2 ,?, xn ? R? 且 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 所以 (1? x1 ), (1? x2 ), (1 ? x3 ), ? (1 ? xn 均为正数,可以考虑利用均值不等 ) 式,去分母进行证明 证 明 : 因 为

x1, x2 ,?, xn ? R?
2 , , )



x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 所 以

xi ? ( 0 , ?i 1 ? ) (
所以

n1 ,

x12 1 ? x1 2x ? ? 1 2 1 ? x1 (n ? 1) n ?1



2 x2 1 ? x2 2x ? ? 2 2 1 ? x2 (n ? 1) n ?1



??
2 xn 1 ? xn 2x ? ? n 2 1 ? xn (n ? 1) n ?1



①+②+③得

2 x2 x2 2( x1 ? x2 ? ?? ? xn ) n ? ( x1 ? x2 ? ?? ? xn ) x2 1 ? 3 ??? n ? ? ? 2 1 ? x2 1 ? x3 1 ? xn n ?1 (n ? 1) n ?1

技巧四:巧设参数
一些题目较复杂或者利用上述三种技巧无法解决可以考虑设参、换元。 设参、换元不仅简化了解题步骤,使题目焕然一新,不易出错也在函数类问 题应用广泛。
1 5 例 1.已知 x, y ? R ? ,且 ? ? 1 ,求 p ? x ? y 的最小值。 x y 1 1 解:设 t ? 0 ,由已知有 ? ? 1 ? 0 x y 1 1 t 5t ? p ? x ? y ? x ? y ? t ( ? ? 1) ? ( x ? ) ? ( y ? ) ? t ? 2 t ? 2 5t ? t x y x y t 5t 1 5 当且仅当 x ? , y ? ,即 x ? t , y ? 5t 时等号成立。代入 ? ? 1 中 x y x y

得 t ? 6 ? 2 5 ,此时 x ? 1 ? 5, y ? 5(1 ? 5), p ? 6 ? 2 5
? p ? x ? y 的最小值为 6 ? 2 5

例 2.设 a, b, c 为三角形的三边,求证 b2c(b ? c) ? c2a(c ? a) ? a2b(a ? b) ? 0 证明:令 x ?
b?c?a a ?c ?b a?b?c ,y? ,z ? 则 2 2 2

a ? y ? z, b ? z ? x, c ? x ? y

将它们代入要证的不等式,并化简可得

x3 z ? xy 2 ? yz 2 ? yzx2 ? zxy2 ? xyz 2 ? 0 两边同除以 xyz 即
x2 y 2 z 2 ? ? ? ( x ? y ? z) ? 0 y z x
因为

x2 y 2 z 2 x2 y2 z2 ? ? ? ( x ? y ? z ) ? ( ? y ) ? ( ? z ) ? ( ? x) ? 2 x ? 2 y ? 2 z y z x y z x



x2 y 2 z 2 ? ? ? x? y? z y z x

故 b2c(b ? c) ? c2a(c ? a) ? a2b(a ? b) ? 0

4.柯西不等式
4.1 柯西不等式定理 4.1.1 二维情况下的柯西不等式定理
定理:对于任何四个实数 a, b, c, d ,恒有

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bc)2

(4.1)

且等号当且仅当 ba ? ad ? 0 时成立 { 这时称数对 ( a, b) 和 (c, d ) 为成比例 的,如果 c ? 0, d ? 0, bc ? ad ? 0 可写成
a b ? }。 c d

证明:对任何四个实数 a, b, c, d ,有下面恒等式

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ? (bc ? ad )2
因为 (bc ? ad )2 ? 0 ,所以(4.1)式成立,且当且仅当 ba ? ad ? 0 时成立。 定理证毕。

4.1.2 一般情况下的柯西不等式定理
定理:设 ai , bi ? R(i ? 1, 2,?, n) ,则

? ai2 ?? bi2 ? (? ai ?bi )2
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

当且仅当

b b1 b2 ? ? ? n 时,不等式等号成立。 a1 a2 an

证明:作关于 x 的二次函数
f ( x) ? (? ai2 ) ? 2(? ai bi ) x ? ? bi2
i ?1 i ?1 i ?1 n n n

若 ? ai2 ? 0 ,即 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 时,显然不等式成立。
i ?1

n

若 ? ai2 ? 0 时,则有
i ?1

n

f ( x) ? (a1x ? b1 )2 ? (a2 x ? b2 )2 ? ?? (an x ? bn )2 ? 0
2 2 2 2 ? (a12 ? a2 ? ?? an ) x2 ? 2(a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ) x ? (b12 ? b2 ? ?? bn )
n

且 ? ai2 ? 0 ,所以
i ?1

n n ? n ? ? ? ? 2(? ai ? bi ) ? ? 4(? ai2 )?(? bi2 ) ? 0 i ?1 i ?1 ? i ?1 ?

2

故 ? ai2 ?? bi2 ? (? ai ? bi )2
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

从上面证明过程看出,当且仅当

b b1 b2 ? ? ? n 时,不等式取等号。 a1 a2 an

4.2 柯西不等式的知识联系

2 2 (a1b1 ? a2b2 ) ? (a12 ? a2 )(b12 ? b2 )

2 2 (a1 ? b1 )2 ? (a2 ? b2 )2 ? a12 ? a2 ? y12 ? y2

2 2 2 2 (a1b1 ? a2b2 ??? anbn )2 ? (a12 ? a2 ??? an )(b12 ? b2 ? ?? bn )

? a ?? b
i ?1 2 i i ?1

n

n

2 i

? (? ai ? bi )2
i ?1

n

n? ai 2 ? (? ai )2
i ?1 i ?1

n

n

1 1 1 1 n2 ? ? ??? ? a1 a2 a3 an a1 ? a3 ? a3 ? ?an

注:当且仅当

b b1 b2 ? ? ? n 时,不等式等号成立。 a1 a2 an

4.3 柯西不等式的巧妙应用
很多不等式可以用柯西不等式证明,证明过程特别方便、简洁。由于柯 西不等式结构特殊,常构造柯西不等式两边结构,再利用柯西不等式解决, 技巧方法有很多。 下面笔者总结了柯西不等式在不等式的证明, 方程与等式, 函数最值等方面的解题技巧。

4.3.1 柯西不等式在不等式证明方面的应用 技巧一:巧添因式
1 1 1 100 (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? (c ? ) 2 ? 例 1.设 a, b, c 为正数, 且 a ? b ? c ? 1, 求证: a b c 3
思路分析:注意到 a ? b ? c ? 1 ,可考虑利用“1”代换,添因式使用柯西不等式。 证明:左边 ?

1 2 2 2 ? 1 1 1 ? (1 ? 1 ? 1 ) ?(a ? )2 ? (b ? )2 ? (c ? )2 ? 3 a b c ? ?
2

1? 1 1 1 ? ? ?1? (a ? ) ? 1? (b ? ) ? 1? (c ? ) ? 3? a b c ?
2

1? 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? ? ?1 ? ( ? ? ) ? ? ?1 ? (a ? b ? c)( ? ? ) ? 3? a b c ? 3? a b c ?

2

1? 1 1 1 ? ? ?1 ? ( a ? ? b ? ? c ? )2 ? 3? a b c ?
1 100 ? (1 ? 32 ) 2 ? 3 3

2

技巧二:巧变结构
例 1.设 a, b, c 为正实数,且满足 abc ? 1 ,试证:
1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2
3

思路分析:因为 a, b, c ? R ? ,且 abc ? 1 得

1 b2c 2 , ? a3 (b ? c) ab ? ac

1 c2a2 1 a 2b 2 , ? ? b3 (c ? a) bc ? ba c3 (a ? b) ca ? cb
要证
1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? 观察不等式左边的形式,可利用柯西 a (b ? c) b (c ? a) c ( a ? b) 2
3

不等式变形来证明。 证明:由柯西不等式得

1 1 1 (bc ? ca ? ab)2 ? ? ? a3 (b ? c) b3 (c ? a) c3 (a ? b) (ab ? ac) ? (bc ? ba) ? (ca ? cb)
1 (bc ? ca ? ab) 2 1 2 3 ? ? 3 bc?ca?ab ? 2 2 ?

技巧三:巧设参数
1 例 9.求满足方程 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( x ? y ) 2 ? 的一切实数对。 3

解:引入参数 ? , ? , ?, 由柯西不等式有
2 2 2 (? 2 ? ? 2 ? ? 2 ) ? ? x ? (y? 1) ? ( x ? y) ? ? ? ? ? x ? ? ( y ? 1) ? ? ( x ? y ) ? 2

? ? ( ? ? ? ) x ? (? ? ? ) y ? ? ?

2

由 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0 ,取 ? ? ?1, ? ? ? ? 1 ,代入上述不等式得
1 1 ,而已知 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( x ? y ) 2 ? 。 3 3 x y ?1 x ? y ? 上式等号成立:其充要条件是 ? ?1 1 1 1 1 解得 x ? , y ? 3 3 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( x ? y ) 2 ?

4.3.1 柯西不等式在函数方面的应用
例 1.设 a , b 是非零实数, x ? R, 且
sin 2008 x cos 2008 x ? 的值 a 2006 b 2006 sin 4 x cos 4 x 1 ? ? 2 。求 2 2 a b a ? b2

解:构造两组实数

sin 2 x cos 2 x , , a, b 。由柯西不等式,得: a b

(

sin 4 x cos 4 x 2 ? )(a ? b2 ) ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 2 2 a b sin 4 x cos 4 x 1 ? ? 2 于是得 1 ? 1, 当然只有 1 ? 1 。从而由等号成 2 2 a b a ? b2 b sin 2 x a cos 2 x sin 2 x cos 2 x 1 ? ? 2 ,所以 2 ? , 2 a b a b a ? b2

又因为

立的充要条件得

sin 2008 x cos2008 x sin 2 x 1003 cos2 x 1003 1 2 2 ? ? sin x ( ) ? cos x ( ) ? 2 2 1003 2006 2006 2 2 a b a b (a ? b )

5.总结
参考文献 [1] 陈传理.张同君.竞赛数学教程第二版[M].北京.高等教育出版社.2005.4:121 [2] 王传荣.张晓云.不等式的证明及应用[M].天津.天津科学技术出版社.1983.4:1 [3] 李长明.周焕山.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社.1995,253-263. [4] 王冬梅.浅谈均值不等式的应用[A].科学探究.2014,64-65. [5] 扬素芸.高中生对均值不等式的理解[A].2010,21-24. [6] 张亚芳 . 刘加元 . 应用均值不等式注意把握“六巧” [A]. 理科考试研究 - 数学 版.2012.20-21. [7] 武增明.柯西不等式的应用技巧[A].中学生数学.2011,16-17. [8] 唐 燕 贞 . 浅 谈 柯 西 不 等 式 的 应 用 [A]. 宁 德 师 专 学 报 ( 自 然 科 学 版).2003,373-375. [9] 余池增.柯西不等式在高中数学中的应用[A].2012,23-30. [10] 陈江.应用均值不等式常规方法巧解竞赛题[A].考试周刊.2010,75-78.


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