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新人教A版高中数学选修2-2第三章《章末》综合训练及答案


选修 2-2

3 章末综合训练

一、选择题 3 2 1.复数 i (1+i) =( ) A.2 B.-2 C.2i D.-2i [答案] A [解析] 考查复数代数形式的运算. 3 2 i (1+i) =-i·(2i)=2. 2.对于下列四个命题: ①任何复数的绝对值都是非负数. ②如果复数 z1= 5i,z2= 2- 3i,z3=-

5i,z4=2-i,那么这些复数的对应点共 圆. ③|cosθ +isinθ |的最大值是 2,最小值为 0. ④x 轴是复平面的实轴,y 轴是虚轴. 其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 [答案] D [ 解析 ] ①正确.因为若 z∈R ,则 |z|≥0,若 z = a + bi(b≠0, a , b∈R) ,则 |z| =

a2+b2>0.②正确.因为|z1|= 5,|z2|= ( 2)2+( 3)2= 5,|z3|= 5,|z4|= 5,这
些复数的对应点均在以原点为圆心, 5 为半径的圆上.③错误.因为 |cosθ + isinθ | = 2 2 cos θ +sin θ =1 为定值,最大、最小值相等都阿是 1.④正确.故应选 D. 3.(2010·陕西理,2)复数 z= 在复平面上对应的点位于( ) 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] A i 1 1 [解析] z= = + i,对应点在第一象限. 1+i 2 2 2 4.设复数 z=(a+i) 在复平面上的对应点在虚轴负半轴上,则实数 a 的值是( A.-1 B.1 C. 2 D.- 3 [答案] A 2 2 [解析] z=(a+i) =(a -1)+2ai,据条件有 2 ? ?a -1=0 ? ,∴a=-1. ?2a<0 ?
2 2

i

)

5.若(x -1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,则实数 x 的值为( ) A.1 B.±1 C.-1 D.-2 [答案] A 2 2 [解析] 解法 1:由 x -1=0 得,x=±1,当 x=-1 时,x +3x+2=0,不合题意,当 x=1 时,满足,故选 A. 解法 2:检验法:x=1 时,原复数为 6i 满足,排除 C、D; x=-1 时,原复数为 0 不满足,排除 B,故选 A. 二、填空题 6.若 z1=1-i,z2=3-5i,在复平面上与 z1,z2 对应的点分别为 Z1,Z2,则 Z1,Z2 的距 离为________.

[答案] 2 5 [解析] 由 z1=1-i,z2=3-5i 知 Z1(1,-1),Z2(3,-5),由两点间的距离公式得:d= (3-1)2+(-5+1)2=2 5. 7.已知复数 z 满足 z+(1+2i)=10-3i,则 z=______________. [答案] 9-5i [解析] ∵z+(1+2i)=10-3i ∴z=10-3i-(1+2i)=(10-1)+(-3-2)i =9-5i. 8.已知复数 z1=cosθ -i,z2=sinθ +i,则 z1·z2 的实部最大值为________,虚部最 大值为________. 3 [答案] 2 2 [解析] z1·z2=(cosθ -i)·(sinθ +i) =(cosθ sinθ +1)+i(cosθ -sinθ ) 1 3 3 实部 cosθ sinθ +1=1+ sin2θ ≤ ,最大值为 , 2 2 2 π? ? 虚部 cosθ -sinθ = 2cos?θ + ?≤ 2,最大值为 2. 4? ? 三、解答题 9.设存在复数 z 同时满足下列条件: (1)复数 z 在复平面内对应点位于第二象限; (2)z· z +2iz=8+ai (a∈R),试求 a 的取值范围. [解析] 设 z=x+yi (x、y∈R), 由(1)得 x<0,y>0. 2 2 由(2)得 x +y +2i(x+yi)=8+ai. 2 2 即 x +y -2y+2xi=8+ai. 2 2 ?x +y -2y=8, ? 由复数相等得,? ? ?2x=a. 解得-6≤a<0. 1 10.设 z 是虚数,ω =z+ 是实数,且-1<ω <2.

z

(1)求 z 的实部的取值范围; 1- z (2)设 u= ,求证:u 是纯虚数. 1+ z 2 (3)求 ω -u 的最小值. [分析] 本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用,考查学生解综合题的能力. [解析] (1)设 z=a+bi(a,b∈R,且 b≠0), 1 1 则 ω =z+ =a+bi+ z a+bi

a ? ? b ? i. 2?+?b- 2 a +b ? ? a +b2? ? b ∵ω ∈R,∴b- 2 =0. a +b2 2 2 ∵b≠0,∴a +b =1. 此时 ω =2a,又-1<ω <2,
=?a+
2

? ?

1 ∴-1<2a<2?- <a<1. 2

? 1 ? ∴z 的实部的取值范围是?- ,1?. ? 2 ?

1-z 1-a-bi 1-a -b -2bi (2)证明:u= = = 2 2 1+z 1+a+bi (1+a) +b =-

2

2

b

a+1

i.

? 1 ? ∵a∈?- ,1?,b≠0,a,b∈R, ? 2 ? ∴u 为纯虚数. 2 b2 1- a 2 (3)ω -u =2a+ 2=2a+ 2 (a+1) (a+1) a-1 2 =2a- =2a-1+ a+1 a+1 1 ? ? =2?(a+1)+ -3. a + 1? ? ? 1 ∵- <a<1,∴a+1>0. 2 1 ? ? ∴2?(a+1)+ ?-3 a + 1? ?
≥2·2 (a+1)· 1 1 -3=1. a+1 ,即 a=0 时取“=”号,

当且仅当 a+1=
2

a+1

故 ω -u 的最小值为 1. [点评] 本题表面上是考查复数的有关概念,但实质上是借复数的知识考查学生的化归 能力,考查均值不等式的应用,综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的方 向.


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