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高二第一次调研(教师)


高二第一学期第一次调研 数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

n ?1 6 ,则 a5 的值为 ▲ 2n ? 3 13 5 7 9 11 ,? , ,? 2.数列 ,?的通项是_______▲_____ 2 ?3 3? 4 4 ?5 5? 6 2n ? 3 n+1 an=(-1) (n ? 1)(n ? 2

)
1. 在数列 {an } 中,若 an ? 3.在等比数列 {an } 中,若 a2 ? 2 , a6 ? 32 ,则 a4 ? 【答案】8 4. 已知数列 {an } 中, a1 【答案】670 5. 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前三项的和为 21 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? ___▲ __42___ 6. 已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a 3 ? a 7 ? 2a 5 ,设等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,若 ▲

? 6, a n?1 ? a n ? 3, 若 a n ? 2013 ,则 n =



b5 ? a 5 ,则 S 9 =______▲___________ 【答案】18
7. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 【答案】

S12 S9 ? ? 2 ,则数列 ?an ? 的公差 d 为 4 3

4 . 9

8. 设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列, 则q ? ▲ -2

9. 数列 ?an ? 是公比为 ? 的等比数列, ?bn ? 是首项为 12 的等差数列.现已知 a9 ? b9 且 的是 a10 ? b10 ,则以下结论中一定成立 .... . (请填写所有正确选项的序号)

2 3

① a9 ? a10 ? 0 ; ② b10 ? 0 ; ③ b9 ? b10 ; ④ a9 ? a10 . 【答案】①③. 【解析】 试题分析:∵数列{an}是公比为-

2 2 2 的等比数列,所以 a9?a10=a9 ?(- )<0,①一定成立; 3 3

而④a9>a10,只有当 a9 为正数才成立,不一定成立;又{bn}是首项为 12 的等差数列,a9>b9 且 a10>b10,可得等差数列{bn}一定是递减数列,③一定成立;②当公差很小时不成立;故

答案为:①③. 考点:等比数列. 10. 在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a4 ? 11a2 ? a4 ,且前 2n 项的和等于它的 前 2 n 项中偶数项之和的 11 倍,则数列 ?an ? 的通项 an ? ▲

1 10n ? 2

11. 在 数 列 {an } 中 , a1 ? 2 , an ? 4an?1 ? 3 ( n ? 2 ) , 则 数 列 {an } 的 前 n 项 和

Sn ?
n

.
*

【答案】 4 ? n ? 1 ( n ? N ) 12. 设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若

S 2n (n ? N ? ) 是非零常数,则称该数列为“和等比数 Sn

列”.若数列 ?C n ? 是首项为 C1 ,公差为 d ( d ? 0 )的等差数列,且数列 ?C n ? 是“和等比 数列” ,则 d 与 C1 的关系式为 【答案】 d ? 2C1 13. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ?13 ,若满足 ak ? ak ?1 ? ... ? ak ?19 ? 102, k ? N * , 则 k 的值为 2或5 ▲ ▲ .

14. 若单调递增数列 {an } 满足 an ? an?1 ? an?2 ? 3n ? 6 ,且 a2 ? ▲ .

1 a1 ,则 a1 的取值范围是 2

【答案】( ?

12 3 ,- ) 2 5

二、解答题: 15. (本题满分 14 分)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求 ?an ? 的公比 q ; (2)求 a1 - a3 ? 3 ,求 Sn 答案: q ? ?

1 (7 分,得出 q 的方程 3 分) 2
n

8? ? 1? Sn ? ?1 ? ? ? ? 3? ? ? 2?

? (7 分,求出 a1 得 2 分) ? ? ?

16. (本题满分 14 分)在递增等差数列 ?an ? ( n ? N * )中,已知 a3 ? 1 , a4 是 a3 和 a7 的 等比中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,求使 S n ? 0 时 n 的最小值. 【答案】 (1)解:在递增等差数列 ?an ? 中,设公差为 d ? 0 ,

?a 4 2 ? a 3 ? a 7 ?(a1 ? 3d ) 2 ? 1 ? (a1 ? 6d ) ?? ? ? ? a3 ? 1 ? a1 ? 2d ? 1
解得

(3 分)

?a1 ? ?3 ? ? d ?2

(5 分)

? an ? ?3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 5
Sn ? n(?3 ? 2n ? 5) ? n 2 ? 4n 2
得n

(7 分)

(9 分)

S n ? n 2 ? 4n ? 0
故 n 的最小值为 5

?4

(12 分)

(14 分)

17. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 是等差数列,且满足: a1 ? a2 ? a3 ? 6 , a5 ? 5 ; 数列 {bn } 满足: bn - bn-1 = an-1 ( n ? 2 ) , b1 ? 1 . (Ⅰ)求 an 和 bn ; (Ⅱ)记数列 cn =

1 ,若 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . bn+2n

【答案】 (Ⅰ) an ? n , bn ?

n2 ? n ? 2 n (Ⅱ) Tn ? n?2 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)∵ a1 ? a2 ? a3 ? 6 , a5 ? 5 , ∴?

?3a1 ? 3d ? 6 ?a1 ? 1 ?? , (3 分) ?d ? 1 ?a1 ? 4d ? 5

∴ an ? n ; (4 分) 又 bn ? bn?1 ? an?1 ? n ? 1 , ∴当 n ? 2 时,

bn =(bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? (bn?2 ? bn?3 ) ? ? ? (b3 ? b2 ) ? (b2 ? b1 )+b1 ? (n ?1) ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? ? ? 2 ? 1+1
∴ bn ?

n(n ? 1) n2 ? n ? 2 ? b1 ? , 2 2

又 b1 ? 1 适合上式,

n2 ? n ? 2 ∴ bn ? . (8 分) 2
(Ⅱ)∵ cn ?
1 2 2 1 1 , ? 2 ? ? 2?( ? ) (10 分) bn ? 2n n ? 3n ? 2 (n ? 1) ? (n ? 2) n ?1 n ? 2
3 4 3 4 n n ?1 n ?1 n ? 2

∴ Tn ? 2( 1 ? 1 ) ? 2( 1 ? 1 ) ? 2( 1 ? 1 ) ? ? ? 2( 1 ? 1 ) ? 2( 1 ? 1 )
2 3

1 1 2 n ? 2( ? ) ? 1? = . 2 n?2 n?2 n?2

(14 分)

18. (本题满分 16 分)某市为控制大气 PM2.5 的浓度,环境部门规定:该市每年的大气主 要污染物排放总量不能超过 55 万吨,否则将采取紧急限排措施.已知该市 2013 年的大气主 要污染物排放总量为 40 万吨,通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施,此后每年的原大 气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少 10%.同时,因为经济发展和人口增加等因素, 每年又新增加大气主要污染物排放量 m ? m ? 0? 万吨. (1)从 2014 年起,该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列 ?an ? ,求相 邻两年主要污染物排放总量的关系式; (2)证明:数列 ?an ? 10m? 是等比数列; (3)若该市始终不需要采取紧急限排措施,求 m 的取值范围. 【答案】 解: (1)由已知, a1 ? 40 ? 0.9 ? m ,(2 分)

an?1 ? 0.9an ? m ( n ? 1 ). (5 分)
(2)由(1)得: an?1 ?10m ? 0.9an ? 9m ? 0.9 ? an ?10m? (8 分) ,所以数列 ?an ? 10m? 是以 a1 ?10m ? 36 ? 9m 为首项、 0.9 为公比的等比数列. (10 分) (3)由(2)得: an ?10m ? ?36 ? 9m? ? 0.9 即 an ? ? 36 ? 9m? ? 0.9 由 ?36 ? 9m? ? 0.9
n?1 n?1 n?1



?10m .

(12 分)

?10m ? 55 ,得 m ?

5 5? 3 6 0 ? . 9 1 0? 9 ? 0 . 9

n 5 . 5 4 0 ? . 9 ? 1 . 5 ? ? n ?1 1 0 . 9? n 1 0 . 9 ?

n ?1

n

?4恒

成立( n ? N * ) 15 分 解得: m ? 5.5 ; 又 m ? 0 ,综上,可得 m ? ? 0,5.5? . (16 分)

19 . ( 本 题 满 分 16 分 ) 数 列 ?an ? 首 项 a1 ? 1 , 前

n 项 和 Sn 与 an 之 间 满 足

an ?

2Sn 2 (n ? 2) . 2Sn ? 1
?1? ? 是等差数列; ? Sn ?

⑴求证:数列 ?

⑵求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶设存在正数 k , 使 ?1 ? S1 ??1 ? S2 ???1 ? Sn ? ? k 2n ? 1 对 n ? N 都成立, 求 k 的最大值.
?

(n ? 1) ?1 2 3 ? 【答案】? an ? ? 2 3 ?? (2n ? 1)(2n ? 3) (n ? 2) ? ,
【解析】 ⑴ 为 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1

? Sn ? Sn?1 ?

2Sn 2 得 Sn?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn?1 2Sn ? 1
(4 分)

由题意 Sn ? 0 (n ? 2) ?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2? Sn Sn ?1

又 S1 ? a1 ? 1

?1? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列. S1 ? Sn ?

(5 分)

⑵ ⑴有

1 1 n ? N ? ? (6 分) ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? S n ? ? 2n ? 1 Sn

? n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 2 ? ?? 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

又 a1 ? S1 ? 1

(n ? 1) ?1 ? ? an ? ? 2 ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) (n ? 2) ?

(10 分,不分段扣 2 分)



设 F (n) ?

?1 ? S1 ??1 ? S2 ???1 ? Sn ?
2n ? 1



F (n ? 1) (1 ? Sn ?1 ) 2n ? 1 2n ? 2 4n 2 ? 8n ? 4 ? ? ? ?1 F ( n) 2n ? 3 2n ? 1 2 n ? 3 4n2 ? 8n ? 3
(13 分)

? F (n) 在 n ? N ? 上递增

故使 F (n) ? k 恒成立,只需 k ? F (n)min . 又 F (n)min ? F (1) ?

2 3 3

又k ? 0

? 0?k ?

2 3 2 3 ,所以, k 的最大值是 .(16 分) 3 3

20. (本题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N 都有 Sn ? ?
*

? an ? 1 ? ? 成立. ? 2 ?

2

(1)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (2)记数列 bn ? an ? ?, n ? N * , ? ? R ,其前 n 项和为 Tn . ①若数列 {Tn } 的最小值为 T6 ,求实数 ? 的取值范围; ②若数列 {bn } 中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数 列” .试问:是否存在这样的“封闭数列” {bn } ,使得对任意 n ? N ,都有 Tn ? 0 ,且
*

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? .若存在,求实数 ? 的所有取值;若不存在,请说明理由. 12 T1 T2 T3 Tn 18

? a ?1 ? 2 2 20.⑴法一:由 Sn ? ? n ? 得: 4Sn ? an ? 2an ?1 ①, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ? 1 ②, ? 2 ?
②-①得

2

4an?1 ? an?12 ? an2 ? 2an?1 ? 2an ? 2(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an )(an?1 ? an )
由题知 an?1 ? an ? 0 得 an?1 ? an ? 2 , 又 S1 ? a1 ? ( 得 a1 ? 1
2

a1 ? 1 2 ) ? 4a1 ? a12 ? 2a1 ? 1 2

an ? 2n ?1

(5 分) Sn ? n2 ;

a1 ? 1 2 ? a ?1 ? 法二:由 Sn ? ? n ? 得: S1 ? a1 ? ( 2 ) 得 a1 ? 1 ? S1 ? 2 ?
2 n ? 2 时 2 Sn ? an ? 1 ? Sn ? Sn?1 ? 1 得 ( Sn -1) ? Sn?1 即 Sn ? Sn?1 ? 1

所以

Sn ? n

? Sn ? n 2 ;

(5 分) (7 分)

⑵①由 bn ? 2n ?1 ? ? 最小值为 T6 即

?Tn ? n2 ? ?n

Tn ? T6 ? n2 ? ?n ? T6 ? 36 ? 6? 则

11 ? 13 ? ? ? ? ? ? [?13, ?11] ; (10 分) 2 2 2

②因为 {bn } 是“封闭数列” ,设 bp ? bq ? bm ( p, q, m ? Z * ,且任意两个不相等 )得

2 p ? 1 ?? ? 2 q ?1 ? ?
*

?2 m

? 1 ??

? ?

? 2 m(

? 为奇数?9 分 p? q ? ) 1 ? ,则

由任意 n ? N ,都有 Tn ? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? 12 T1 T2 T3 Tn 18
(13 分)



1 1 11 7 ? ? ? ? ? ? 11 ,即 ? 的可能值为 1,3,5,7,9, 12 T1 18 11
1 1 1 1 ?( ? ) n( n ? ? ) n n?? ?

又 Tn ? n2 ? ?n >0, 因为

检验得满足条件的 ? =3,5,7,9, 即存在这样的“封闭数列” {bn } ,使得对任意 n ? N ,都有 Tn ? 0 ,
*



1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? , 12 T1 T2 T3 Tn 18

所以实数 ? 的所有取值集合为 {3,5,7,9} . (16 分)


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