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《高数二》 第一部分函数和极限


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《高等数学》9 月 15 日-9 月 30 日学习计划
【注】 本次学习计划同学们除了要完成以下内容外,还需结合暑期发的《高等数学练 习题集》,做完第一章相应的 B、C 类题目,A 类题目可以在跟踪服务阶段第二 轮复习的时候再做,当然,有时间的话,也可以往后做其它

章节的题目。

第一部分 第一节
内容考点

函数

极限 函 数

连续

函数是微积分的研究对象,极限是微积分的理论基础,而连续性是可导性与可积性的重要条 件。它们是每年必考的内容之一。

一、函数的奇偶性 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 ( ? a , a ) ( a ? 0 ) ,若对于任 x ? ( ? a , a ) ,都有 f ( ? x ) ? f ( x ) , 称 f ( x ) 为偶函数;若对于任 x ? ( ? a , a ) 都有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,称 f ( x ) 为奇函数。偶函数 f ( x ) 的图形关于 y 轴对称,奇函数 f ( x ) 的图形关于坐标原点对称。 【考点一】判别给定函数 f ( x ) 的奇偶性的主要方法是:不管 f ( x ) 的具体形式是什么,均计算
f ( ? x ) 的值。如果 f ( ? x ) ? f ( x ) ,则由定义知 f ( x ) 为偶函数;如果 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,则由定

义知 f ( x ) 为奇函数。 二、函数的周期性 对函数 y ? f ( x ) ,若存在常数 T ? 0 ,使得对于定义域的每一个 x , x ? T 仍在定义域内, 且有 f ( x ? T ) ? f ( x ) ,则称函数 y ? f ( x ) 为周期函数,T 称为 f ( x ) 的周期。 【考点二】判断函数是否为周期函数,主要方法是根据周期函数的定义,要先找到一个非零常数 T ,计算是否有等式 f ( x ? T ) ? f ( x ) 成立。而对于抽象的周期函数,其周期 T 一定与已知条件 中所给的参数或常数有关,是其二倍、三倍 ? 。 三、函数的有界性 设函数 y ? f ( x ) 在数集 X 上有定义,若存在正数 M,使得对于每一个 x ? X ,都有
f (x) ? M

成立,称 f ( x ) 在 X 上有界,否则,即这样的 M 不存在,称 f ( x ) 在 X 上无界。

【考点三】(1)(有界性定理)

闭区间[a,b]上的连续函数 f ( x ) 必在[a,b]上有界。
x? a
?

(2)若函数 f (x)在开区间(a , b)内连续,且极限 lim

f ( x ) 与 lim

x? b

?

f ( x ) 存在,则函数 f (x)在开

区间(a , b)内有界. 【评注】(1)函数 f ( x ) 是否有界是相对于某个区间而言的,与区间有关;(2)证明或 判别函数有界性的主要方法包括五种,但考试重点集中在【考点三】的考查上: ① 利用函数有界性的定义; ② 利用【考点三】的结论,特别是【考点三】中的第二个结论; ③ 收敛数列必为有界数列; ④ 函数极限的局部有界性定理; ⑤ 拉格朗日中值定理. 【考点四】(1)无界变量与无穷大量的区别:无穷大量一定是无界变量,但无界变量不一定是 无穷大量。 (2)有界变量与无穷大量的乘积是无界变量,但不是无穷大量.
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【评注】(1) 无界变量与有界变量是函数有界性的正反两个方面。 (2)用无穷大量的定义和无界变量的定义来区别这两个概念。 lim f ? x ? ? ? f ( x ) 都可以任意大,而“无 是指,在 x=x0 处的充分小邻域内,对于所有的 x , x? x
0

界”不要求“所有的 x ”。 四、函数的单调性 设函数 y ? f ( x ) 在区间 I 上有定义,若对于 I 上任意两点 x 1 与 x 2 且 x 1 ? x 2 时,均有

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ?或 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ,则称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调增加(或单调减少)。如果

其中的“≤”或“≥”改为“<”(或“>”),称函数 f ( x ) 在 I 上严格单调增加(或严格单调 减少)。 设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,若对任一 x ? ( a , b ) ,有 f ? ( x ) ? 0 ( ? 0 ), 则 f ( x ) 在[a,b] 上单调增加(减少)。 注意: 若将上面的不等式 f ? ( x ) ? 0 ( ? 0 ), 改为 f ? ( x ) ? 0( ? 0), 且使 f ? ( x ) ? 0 的点(驻点)只有有 限个,则结论仍成立。 【考点五】(1)判断抽象的函数的单调性,在考试时采用举反例排除法,而尽量不用单调性的 定义进行证明; (2)导数大于零的函数一定单调递增,但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零,其导 数也可能等于零。 五、分段函数与复合函数 在用公式法表示的函数中,若自变量 x 与因变量 y 之间的函数关系要用两个或多于两个的数 学式子来表达,即在函数定义域的不同部分用不同数学式子表示的函数,称为分段函数。 分段函数的定义域是各个部分自变量 x 取值范围的总和或并集。 设函数 y ? f (u ) 的定义域为 D
f

,函数 u ? ? ( x ) 的值域为 Z ? ,若集合 D

f

与 Z ? 的交集非

空,称函数 y ? f [? ( x )] 为函数 y ? f (u ) 与 u ? ? ( x ) 复合而成的复合函数, u 为中间变量。对复 合函数,重要的是会把它分解,即知道它是由哪些“简单”函数复合的。 将两个或两个以上的函数特别是分段函数进行复合是考研中的基本题型。 【考点六】求分段函数的复合函数的主要方法是:分段代入法。其核心是先代入,后解不等式。 【解题程序】(1)代入:如果复合函数 f [ g ( x )] 的外层函数 f ( u ) 是 n 段分段函数,而内层函 数 u ? g ( x ) 是 m 段分段函数,则将内层函数 u ? g ( x ) 分段代入外层函数
f ( u ) 后,得到的复合函数 f [ g ( x )] 为 n ? m 段的分段函数。 (2)解不等式:分别解出 n ? m 个不等式构成的不等式组,把无解的不等式组去掉,即得所求

的复合函数 f [ g ( x )] 。 六、反函数 设函数 y ? f ( x ) 的值域为 Z
f

,定义域为 D

f

,则对于每一个 y ? Z

f

,必存在 x ? D

f

使

y ? f ( x ) 。若把 y 作为自变量, x 作为因变量,便得一个函数 x ? ? ( y ) ,且 f [? ( y )] ? y ,称 x ? ? ( y ) 为 y ? f ( x ) 的反函数。但习惯上把 y ? f ( x ) 反函数记作 y ? ? ( x ) 。

在同一直角坐标系下,函数 y ? f ( x ) 与其反函数 x ? ? ( y ) 的图形是同一条曲线;而函数
y ? f ( x ) 与其反函数 y ? ? ( x ) 的图形关于直线 y ? x 对称。

【考点七】求反函数的程序:(1)由 y ? f ( x ) 解出 x ,得到关系式 x ? ? ( y ) ; (2)将 x 与 y 互换,即得所求函数的反函数 y ? ? ( x ) 。 七、初等函数 常量函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数这六类函数统称为基本初 等函数。
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由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的可以用一个式子表示的 函数,称为初等函数。初等函数是微积分研究的主要对象。 分段函数不一定是初等函数。绝对值函数 y ? x 很特殊,它既是初等函数,又可以写成分 段函数的形式,常常可以构造一些选择题。

典型例题
例1 求I ?

?

1 ?1
x

x[ x ? ( e ? e
5 x
?x

?x

) ln ( x ?

x ? 1 )] d x .
2
2 x ? 1 ) 是奇函

解: f 1 ( x ) ? e ? e 数, ∵

是奇函数,∵ f 1 ( ? x ) ? e ? x ? e x ? ? f 1 ( x ), f 2 ( x ) ? ln ( x ?
( x ? 1) ? x
2 2

f 2 ( ? x ) ? ln ( ? x ?

x ? 1 ) ? ln
2
2

x?

x ?1
2

? ln 1 ? ln ( x ?

x ? 1) ? ? f2 ( x)

因此 x ( e x ? e ? x ) ln ( x ? 于是 I ? 例2

2 x ? 1 ) 是奇函数。
1 6

?

1 ?1

x dx ? 0 ? 2 ? x dx ?
6 0

2 7



设 F ? ( x ) ? f ( x ) ,则下列结论正确的是 (A)若 f ( x ) 为奇函数,则 F ( x ) 为偶函数。 (B)若 f ( x ) 为偶函数,则 F ( x ) 为奇函数。 (C)若 f ( x ) 为周期函数,则 F ( x ) 为周期函数。 (D)若 f ( x ) 为单调函数,则 F ( x ) 为单调函数。
3



?1 3 (C)不成立,反例 f ( x ) ? co s x ? 1, F ( x ) ? sin x ? x

(B)不成立,反例 f ( x ) ? x 2 , F ( x ) ?

x

(D)不成立,反例 f ( x ) ? 2 x , F ( x ) ? x 2 在 ( ? ? , ? ? )内 (A)成立。 证明
F ( x )? F ( 0?) ?
x 0
x 0

f (t )d t 为奇函数, , f
f (?u )d (?u )

F ( ? x ) ? F (0 ) ? ? F (0 ) ?

? ?

?x 0 x 0

f ( t ) d t ? F (0 ) ? ? f (u ) d u ? F ( x )

所以, F ( x ) 为偶函数。 例3 设 f ( x ) , g ( x ) 是恒大于零的可导函数,且 f ? ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? 0 ,则当 (B) f ( x ) g ( a ) ? f ( a ) g ( x ) (D) f ( x ) g ( x ) ? f ( a ) g ( a )
a ? x ? b 时,下列结论成立的是 (A) f ( x ) g ( b ) ? f ( b ) g ( x )

(C) f ( x ) g ( x ) ? f ( b ) g ( b ) 解 ∵

? f (x) ? f (x) ? 1 单调减少 [ f ? ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ? ( x )] ? 0 ,∴ ? ? ? 2 g (x) g (x) ? g (x) ?
f (x) g (x) ? f (b ) g (b )
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于是 x<b,则有

,故(A)成立。

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例 4、已知 f ( x ) ? ? 求 f [ g ( x )]
? ? ? 解: f [ g ( x )] ? ? ? ? ?

? f1 ( x ) ? f2 ( x)

x ? a x ? a

和 g (x) ? ?

? g1 ( x ) ? g2 (x)

x ?b x ? b

f 1 [ g 1 ( x )] f 1 [ g 2 ( x )] f 2 [ g 1 ( x )] f 2 [ g 2 ( x )]

当 x ? b, g 1 ( x ) ? a 当 x ? b, g 2 ( x ) ? a 当 x ? b, g 1 ( x ) ? a 当 x ? b, g 2 ( x ) ? a

x ?x 例 5、已知 f ? ( e ) ? xe ,且 f (1) ? 0 ,求 f ( x )

解:令 e x ? t ,则 x ? ln t ,因此
x f ?( e ) ? f ?( t ) ?

ln t t ln t t
x

于是, f ( x ) ? f (1) ?
? ?

?
1 2 1 2

x

dt

1

ln t
1 2

2

ln x

第二节
内容考点
一、数列的极限 1.数列的极限

函数的极限

无穷多个数按一定顺序排成一列: u 1 , u 2 , ? u n , ? , 称为数列,记为数列 { u n }, 其中 u n 称为 数列的一般项或通项。 设有数列 { u n } 和常数 A。若对任意给定的 ? ? 0 ,总存在自然数 N ? N ( ? ) ,当 n>N 时, 恒有 | u n ? A |? ? ,则称常数 A 为数列 { u n } 的极限,或称数列 { u n } 收敛于 A,记为
n? ?

lim u n ? A 或 u n ? A ( n ? ? ) 。没有极限的数列称为发散数列。(了解该定义)

收敛数列必为有界数列,其极限存在且唯一。 2.极限存在准则 (1)定理 1.1.4(夹逼定理)设在 x 0 的某空心邻域内恒有 g ( x ) ? f ( x ) ? h ( x ) ,且有
x ? x0

lim g ( x ) ? lim h ( x ) ? A , 则极限 x? x
0

x ? x0

lim f ( x ) 存在,且等于 A .

注 对其他极限过程及数列极限,有类似结论. (2)定理:单调有界数列必有极限. 3.重要结论:(1)若 lim u n ? a ,则 lim u n ? a ,其中 a 为任意常数。 n? ? n? ? (2) lim u n ? 0 ? lim u n ? 0 。 n? ? n? ?
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(3) lim u n ? a ? lim u 2 n ? a 且 lim u 2 n ? 1 ? a 。 n? ? n? ? n? ? 【考点八】(1) 单调有界数列必有极限. (2)单调递增且有上界的数列必有极限,单调递增且无上界的数列的极限为 ? ? . (3)单调递减且有下界的数列必有极限,单调递减且无下界的数列的极限 为 ? ? . 【评注】(1)在应用【考点八】进行证明时,有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次 序之分,需要及时进行调整证明次序。 (2)判定数列 { u n } 的单调性主要有三种方法: I II 计算 u n ? 1 ? u n . 若 u n ? 1 ? u n ? 0 ,则 { u n } 单调递增;若 u n ? 1 ? u n ? 0 ,则 { u n } 单调递减。 当 u n ? 0 ( n ? 1, 2, ? ) 时,计算
{ u n } 单调递减。
u n ?1 un

. 若

u n ?1 un

? 1 ,则 { u n } 单调递增;若

u n ?1 un

? 1 ,则

III

令 f ( n ) ? u n ,将 n 改为 x,得到函数 f ( x ) 。若 f ( x )( x ? 1) 可导,则当 f '( x ) ? 0 时,
{ u n } 单调递增;当 f '( x ) ? 0 时, { u n } 单调递减。

【考点九】(夹逼准则)设有正整数 N ,当 n ? N 时, y n ? x n ? z n ,且
lim y n ? lim z n ? a ,则 lim x n ? a . n? ? n? ? n? ?

【评注】在使用夹逼准则时,需要对通项进行“缩小”和“放大”,要注意:“缩小”应该是尽 可能地大,而“放大”应该是尽可能地小,在这种情况下,如果仍然“夹”不住,那么就说明夹 逼准则不适用于这个题目,要改用其他方法。 【考点十】设 x n ? f ( n ) ,则 lim x n ? lim f ( n ) ? xlim? f ( x ) 。也就是说,将数列中的正整数 n? ? n? ? ??
n 改为连续变量 x ,令 x ? ? ? ,则数列的极限等于相应的函数的极限。

二、函数的极限 【考点十一】 xlimx f ( x ) ? A ? xlim f ( x ) ? A ? xlim f ( x ) ? A . 也就是说,函数极限 ? ?x ?x
0 ? 0 ? 0

x ? x0

lim f ( x ) 存在且等于 A 的充分必要条件是,左极限 lim ? f ( x ) 与右极限 lim ? f ( x ) 都存在,并
x ? x0 x ? x0
1

且都等于 A。 【评注】在求极限 lim f ( x ) 时,如果函数 f ( x ) 中包含 x? 0
ex

或 x 项,则立即讨论左右极限

f (0 ? 0 ) ? lim f ( x ) ? A 和 f (0 ? 0 ) ? lim f ( x ) ? A ,再根据【考点十一】判断双侧极限 x ? ?0 x ? ?0
lim f ( x ) 是否存在。
x? 0

【考点十二】使用洛必达( L ' H o sp ita l )法则求

0 0

型未定式的极限之前,一定要将所求极限尽

可能地化简。化简的主要方法: (1)首先用等价无穷小进行代换。注意:等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用,而不 能在极限的加减运算中使用,但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去; (2)将极限值不为零的因子先求极限; (3)利用变量代换(通常是作倒代换,令 x ?
1 t



(4)恒等变形:通过因式分解或根式有理化消去零因子,将分式函数拆项、合并或通分达到化 简的目的。 【记忆要点】常见的等价无穷小代换:

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(一)基本情形:当 x ? 0 时,我们有: (1) sin x ~ x (2) arcsin x ~ x (5) e x ? 1 ~ x (8) 1 ? cos x ~
x
2

(3) tan x ~ x (7) ln( x ?
2

(4) arctan x ~ x
1? x ) ~ x
1 2 x

(6) ln( 1 ? x ) ~ x

(9) 1 ? x ? 1 ~

2

(10) (1 ? x ) ? ? 1 ~ ? x ( ? ? 0 ) (12) a x ? 1 ? e x ln a ? 1 ? x ln a (二)差函数中常用的等价无穷小代换:当 x ? 0 时,我们有: (1) ta n x ? s in x ? (3) ta n x ? x ?
x
3

x

3

(2) x ? s in x ?

x

3

2

6

(4) a rc s in x ? x ?
x
3

x

3

3

6

(5) x ? a rc ta n x ? 【考点十三】求
? ?

(6) x ? ln (1 ? x ) ?

x

2

3

2

型未定式极限的方法:

(1)分子、分母同时除以最大的无穷大 (2)使用洛必达( L ' H o sp ita l )法则 【考点十四】化 ? ? ? 和 0 ? ? 型未定式为 (1)通分法 (2)提因子法
0 0

型和

? ?

型的方法是:

(3)变量代换法

v x 【考点十五】(1)求幂指函数型不定式 ? 0 , 0 0 ,1 ? 的极限 lim u ? x ? ? ? ,常用“换底法”或

“用 e 抬起法”,化为
lim u ? x ?
v? x?

0 0



? ?
v? x ?

型后再使用洛必达法则,即
? lim e
v ? x ? ln u ? x ?

? lim e

ln u ? x ?

? e x p lim

ln u ? x ? 1 v?x?

.

(2)计算 1 ? 型极限的最简单方法是使用如下的 1 ? 型极限计算公式:
lim u ? x ?
v? x?

? e

lim [ u ? x ? ? 1] v ? x ?

, 式 中 lim u ? x ? ? 1, lim v ? x ? ? ? 。推导如下(为简便,略去
1 ?? u ? 1 ? v l i mu ? ? u ?1 ] 1 ? e

自变量 x ):
l i mu
v

?

l i m?[?1 ? u

?

v ?1

.

【考点十六】(1)已知 lim

f (x) g (x)

= A,则有:

① 若 g(x) ? 0,则 f (x) ? 0; ② 若 f (x) ? 0,且 A ? 0,则 g(x) ? 0. (2)已知 lim f ( x ) g ( x ) ? A ,若 lim f ( x ) ? ? ,则 lim g ( x ) ? 0 . 【评注】在已知函数的极限求未知的参数问题时,【考点十六】是主要的分析问题与解决问题的 方法。

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【考点十七】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话,则“不管三七二十一”, 先用 无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。 【评注】无穷小量阶的比较,是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限,再由 定义比较阶的高低。 设 ? 与 ? 是同一过程下的两个无穷小,即 lim ? ? 0 , lim ? ? 0 。 若 lim 若 lim 若 lim 若 lim
? ?
? ?
? 0 , 则称 ? 比 ? 高阶的无穷小 ;

? ? , 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小;
? C , ( C 为常数 , 且 C ? 0 ), 则称 ? 与 ? 同阶无穷小

? ?
? ?

;

? 1, 则称 ? 与 ? 是等价无穷小。

典型例题
例1 解 例2 求 lim
x ? s in x s in x
3

x? 0

原式 ? lim

x ? s in x x
3

x? 0

? lim

1 ? cos x 3x
2
2

x? 0

?

1 6
n
2

设当 x→0 时(1-cosx)ln(1+x )是比 xsinx 高阶的无穷小,而 xsinxn 是比 ( e x ? 1) 高阶的无穷

小,则正整数 n 等于 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解: (1 ? c o s x ) ln (1 ? x ) ?
2

1 2

x

4

x s in x ? x
n

n ?1

e

x

2

?1 ? x

2

由题意可知,4>n+1>2, ∴n+1=3, n=2 选(B) 例3 设? ( x ) ?

?

5x 0

s in t t

dt, ? ( x) ?

?

sin x 0

1

(1 ? t ) t d t ,则当 x→0 时, ? ( x ) 是 ? ( x ) 的

(

)

(A) 高阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 解
? (x ) ? (x )
? ? 0? ? x ( )

(B) 低阶无穷小 (D) 等价无穷小
sin x 5 ?5 ? ) ? cx o s e 5x
1 s i x n

lim
x? 0

x ?

lim

?? x ) (

? x

lim
0

5

( 1? s i x n

选(C) 例4 解 求 lim ( ? ? ?
n? ?

1 3 5 2 4 6

2n ? 1 2n

)。

令 xn ?

1 3 5 2n ? 1 2 4 2n ? ? ? , yn ? ? ? , 2 4 6 2n 3 5 2n ? 1
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则 0<xn<yn,于是 0 ? x ? x n y n ?
2
n

1 2n ? 1

由夹逼定理可知 lim x n ? 0 ,于是原极限为 0。
2 x? ?

例5 解

求 lim (
x? 0

1 s in x
2 2

?

cos x x
2 2

2

)。
2

原式= lim

x ? s in x ?c o s x x s in x
2 2

x? 0

=

x ?
2

1

s in 2 x

2

lim

x? 0

4 4 x 2x ? 4 4 4x x? 1
3

=

s in 2 x c o s 2 x

lim

x? 0

=

lim

x? 0

s in 4 x 4 3 2x
2

= lim

1 ? cos 4 x 6x 12 x 4 s in 4 x

x? 0

= lim =
4 3

x? 0

例6

设函数 f ( x ) 连续,且 f (0 ) ? 0 ,求 lim
x 0 x

?

x 0

( x ? t ) f (t ) d t
x 0

x? 0

x?

f ( x ? t )dt



原式= lim

x?

f (t ) d t ? x?
x

?

tf ( t ) d t
0

x? 0

(分母令 x ? t ? u )

f (u ) d u
0

= lim

?

x 0

f (t ) d t ? x f ( x ) ? x f ( x )

x? 0

?

x 0

(用积分中值定理)
f (u ) d u ? x f ( x )

= xlim ?0 =

x f (? ) x f (? ) ? x f ( x )

(ξ 在 0 和 x 之间)

(? ? 0 )

f (0 ) f (0 ) ? f (0 )

?

1 2

.

口诀(7):变限积分是函数;遇到之后先求导。 公式:
? f ( t) ? ?a ?
x

? d ?t ? ? ?

f( x (当 f ( x ) 连续时) )

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? ? x s in x ? ?2?e ? 例 7 求 lim 。 4 x? 0 ? x ? ? 1? ex ? ? ?
1



? x sin x ?2?e lim ? 4 ? x? 0 ? ( ? x) ? 1? ex ?
1 4 3

? ? ? ? ? ?

2 ?

? 1

1

? ? ? ? x x s in x ? ? 2e ? e lim? ? ? 0 ?1?1 4 x? 0 ? x ? ? e? x ? 1 ? ? ?

? ? x sin ? x ?2?e ? ? 1 ∴ lim 4 x? 0 ? x ? ? 1? ex ? ? ? 口诀(9):分段函数分段点;左右运算要先行。
1

例8 解

设曲线 y ? f ( x ) 与 y ? sin x 在原点相切,求 lim n f ( )
n? ?

2

n

由题设可知 f (0 ) ? 0 , f ? (0 ) ? (sin x ) ?

x?0

?1

于是

2 f ( ) ? f (0 ) 2 lim n f ( ) ? lim 2 ? n ? 2 f ?( 0 ) ? 2 n? ? n? ? 2 n ?0 n

例9 解

设 lim

x ? ax ? b
2

x?1

s in ( x ? 1)
2

? 3 ,求 a 和 b.

由题设可知 lim ( x ? a x ? b ) ? 0 ,∴1+a+b=0 x?1
2

再对极限用洛必达法则
lim x ? ax ? b
2 x?1

s in ( x ? 1)
2

? lim

2x ? a 2 x c o s ( x ? 1)
2

x?1

?

2?a 2

? 3 a ? 4, b ? ?5

例 10

设 f ( x ) 在(0,+∞)内可导, f ( x ) >0, xlim? f ( x ) ? 1 ??
1 1

? ?h x ,求 f ( x ) 且满足 lim f ( x ? h x ) ? ? ? e h? 0 f (x) ? ?

解:

先用冪指函数处理方法
1 lim [ln ? f ( x ? hx) ? h h? 0 h lim ? ? ? e h? 0 f (x) ? ? 1 f ( x ? h x ) ? ln f ( x )]

再用导数定义

F ?( x ) ?

F ( x ? ? x)? lim ? x? 0 ?x

F( x)

取 F ( x ) ? ln f ( x ) , ? x ? h x

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于是 lim 这样 所以

x hx

h? 0

? ln

f ( x ? h x ) ? ln f ( x ) ? ? x [ln f ( x )]?
1

e

x [ l nf

(? ) ] x

? ex

1 x ? l n f ( x ?? ? ) x 1 x 1 x
1 x
1
2

? ln

f ( x ) ?? ?

ln f ( x ) ? ?

? C?

f (x) ? Ce

?

再由 xlim? f ( x ) ? 1 ,可知 C=1,则 f ( x ) ? e ? x ??

第三节
内容考点
一、函数的连续性与间断点 Ⅰ. 函数连续性概念

函数的连续性

定义 1

设函数 f ( x ) 在点 x 0 的某邻域内有定义,若 xlimx f ( x ) ? f ( x 0 ) , ?
0

则称函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续,并称 x 0 为连续点。 定义 2 若函数 f ( x ) 在点 x 0 的某个左(右)邻域内有定义,并且
lim
x ? x0
?

f ( x ) ? f ( x 0 ), ( lim

x ? x0

?

f ( x ) ? f ( x 0 ))



则称函数 f ( x ) 在点 x 0 处左(右)连续。 显然,函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续的充要条件是 f ( x ) 在 x 0 点既左连续又右连续。 定义 3 函数 f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内连续,是指在 ( a , b ) 内每点都连续;在闭区间 [ a , b ] 上连续,是指在开区间 ( a , b ) 内连续,并且在左端点 a 处右连续,在右端点 b 处 左连续。使函数 f ( x ) 连续的区间,称为 f ( x ) 的连续区间。 Ⅱ. 函数的间断点及其分类 定义 函数不连续的点称为函数的间断点,即在点 x 0 处有下列三种情况之一出现: (1)在点 x 0 附近函数 f ( x ) 有定义,但在点 x 0 无定义; (2) xlimx f ( x ) 不存在; ?
0

(3) f ( x 0 ) 与 xlimx f ( x ) 都存在,但 xlimx f ( x ) ? f ( x 0 ) ? ?
0 0

则称 f ( x ) 在点 x 0 处不连续,或称 x 0 为函数 f ( x ) 的间断点。

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间断点的分类 第一类间断点

设 x 0 为函数 f ( x ) 的间断点,间断点的分类是以 x 0 点的左、右极限 来划分的。 若 xlim f ( x ) 与 xlim f ( x ) 都存在,则称 x 0 为第一类间断点: ? x ? x
? ? 0 0 ? ? 0 0

(1)若 xlim f ( x ) ? xlim f ( x ) ,则称 x 0 为跳跃型间断点,并称 ?x ? x
f ( x 0 ? 0 ) ? f ( x 0 ? 0 ) 为 x 0 点的跳跃度;

(2)若 xlimx f ( x ) 存在(即 xlim f ( x ) = xlim f ( x ) ),则称 x 0 为可 ? ? x ? x
? ?

0

0

0

去间断点。此时,当 f ( x ) 在 x 0 无定义时,可以补充定义
f ( x 0 ) ? xlimx f ( x ) ,则 f ( x ) 在 x 0 连续;当 f ( x 0 ) 存在,但 ?
0

x ? x0

lim f ( x ) ? f ( x 0 ) 时,可以改变 f ( x ) 在 x 的定义,定义极限 0

值为该点函数值,则 f ( x ) 在 x 0 连续。 第二类间断点 若 xlim f ( x ) 与 xlim f ( x ) 中至少有一个不存在,则称 ? x ? x
? ? 0 0

x 0 为第二类间断点,其中若 xlim ? x

? 0

f ( x ) 与 lim x? x

?

f ( x ) 中至

0

少有一个为无穷大,则称 x 0 为无穷型间断点;否则称 x 0 为 摆动型间断点。
【考点十八】在由抽象函数构造的连续性选择题中,选择的次序应从最简单的函数开始,最简单 的往往就是正确选项。 【考点十九】判断含有参变量的极限构成的函数的连续性,其关键是在求极限的过程中,正确区 分哪一个是变量,哪一个是不变的量即参变量。 【评注】在极限式中若含有参变量,因参变量取不同值时,其极限值不同,因此,要根据所给极 限式,首先确定参变量应如何划分区间。然后根据参变量的不同取值范围,再求极限。、 【考点二十】在连续性的各种题型中,无论是确定函数(特别是分段函数)的间断点及其类型, 还是利用连续性确定函数中的常数,解题方法的核心均为先求函数在一些特殊点(特别是无定义 的点和分段函数的分段点)处的左右极限 f ( x 0 ? 0 ) 和 f ( x 0 ? 0 ) ,然后再根据间断点的定义与 函数连续的充要条件求出相应结果。 二、闭区间上连续函数的性质定理

定理 1.(有界性定理) 闭区间[a,b]上的连续函数 f ( x ) 必在[a,b]上有界。 定理 2. (最大值最小值定理) 闭区间[a,b]上的函数 f ( x ) ,必在[a,b]上有最大值和最小 值,即在[a,b]上,至少存在两点 ? 1与 ? 2 ,使得对[a,b]上的一切 x,恒有 f (? 1 ) ? f ( x ) ? f (? 2 ) . 此处 f (? 1 ) 与 f (? 2 ) 就是 f ( x ) 在[a,b]上最小值与最大值。 定理 3.(介值定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间[a,b]连续,m 与 M 分别为 f ( x ) 在[a,b]上的最 小值与最大值,则对于任一实数 c(m<c<M),至少存在一点 ? ? ( a , b ) ,使 f (? ) ? c 。 定理 4.(零点定理或根的存在定理) 若 f ( x ) 在闭区间[a,b]上连续,且 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 ,则至少存在一点 ? ? ( a , b ) ,使 f (? ) ? 0 。
【考点二十一】一般应用介值定理,其思路是:所要证的结论可写成 f (? ) ? c 的形式,其中
? ? ( a , b ) ,常数 c 介于 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值 M 与最小值 m 之间. 由介值定理的内容

本身知,应用介值定理时,必用到最值定理。
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【评注】在考研试题中,介值定理主要与微分中值定理或积分中值定理相结合作为综合题出现, 单独以此命题的较少。 【考点二十二】证明方程有根,且已知函数在闭区间上的取值情况,一般用零点定理,其思路 是:将待证的等式或方程改写成 F ( x ) ? 0 的形式,若方程中含有中值 ? ,则一律改写为 x ,同 样会得到 F ( x ) ? 0 的形式。由此构造在闭区间上的连续函数 F ( x ) 作为辅助函数,然后利用零点 定理证得待证的结论。 【考点二十三】设函数 f ( x ) 在区间 I 上连续,且对任 x ? I ,均有 f ( x ) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 区间 I 上必恒正或恒负(即 f ( x ) 在区间 I 上必恒大于零或恒小于零). 【证明】反证之。假设 f ( x ) 在区间 I 上不恒正且不恒负,则必存在
x 1 ? I , x 2 ? I , 使 f ( x 1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? 0 .又因为函数 f ( x ) 在区间 I 上连续,所以 f ( x ) 在区间

[ x 1 , x 2 ] 或区间 [ x 2 , x 1 ] 上连续,且区间端点的函数值异号,即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,故由闭区间

上连续函数的零点定理知,至少存在一点 ? ? ( x 1 , x 2 ) 或 ? ? ( x 2 , x 1 ) ,使 f (? ) ? 0 ,这与已知 条件 f ( x ) ? 0 矛盾。因此,所作的假设是错误的,函数 f ( x ) 在区间 I 上必恒正或恒负(即
f ( x ) 在区间 I 上必恒大于零或恒小于零).

典型例题
例1 设 f ( x ) , g ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 内有定义, f ( x ) 为连续,且 f ( x ) ? 0 , g ( x ) 有间断 点,则下列函数中必有间断点为 (A) g [ f ( x )] (C) f [ g ( x )] (B) [ g ( x )] 2 (D)
g (x) f (x)

解:(A),(B),(C)不成立可用反例 f ( x ) ? 1 , g ( x ) ? ? 假若不然
g (x) f (x)

?1       x ? 0 ??1 x<0

,(D)成立

可用反证法:

? h ( x ) 没有间断点,那么 g ( x ) ? f ( x ) ? h ( x ) 为两个连续函数乘积,一定连续故

矛盾,所以

g (x) f (x)

一定有间断点
x

例2

s in t ? s in x 求 lim ? s in t ? ? f ( x ) 的间断点,并判别其类型。 ? ? t? x ? s in x ?



x ? k ? ,考虑 ln f ( x ) ? lim
t? x

? sin t ? ln ? ? sin t ? sin x ? sin x ? x

cos t ? lim
t? x

x ? s in x ? c o s t s in t s in x s in x

x



x

f (x) ? es

i x n

( x ? k? )

可见 x ? k ? 为间断点, x ? 0 是可去间断点,其它皆为第二类间断点。

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例3 证 例4 证

设 f ( x ) 在 [ 0 ,1] 上连续,且 f (0 ) ? 0 , f (1) ? 1 ,证明存在 ? ? (0,1) ,使得 令 g ( x ) ? f ( x ) ? x ? 1 ,则 g ( x ) 在 [ 0 ,1] 上连续 g (0 ) ? ? 1 ? 0 , g (1) ? 1 ? 0 , 设 f ( x ) 在 [0, 2 ] 上连续,且 f (0 ) ? f (1) ? f ( 2 ) ? 3 ,求证:存在 ? ? [0, 2 ] ,使 ∵ f ( x ) 在 [0, 2 ] 上连续,故有最大值 M 和最小值 m,于是
m ? 1 3 [ f ( 0 ) ? f (1) ? f ( 2 )] ? M

f (? ) ? 1 ? ?

根据介值定理推论,存在 ? ? (0,1) 使 g ( ? ) ? 0 ,即证。
f (? ) ? 1 。

根据介值定理,存在 ? ? [0, 2 ] 使
f (? ) ? 1 3 [ f (0 ) ? f (1) ? f ( 2 )]

∴ f (? ) ? 1 .

口诀(11):函数为零欲论证;介值定理定乾坤。

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第一章 习题
一. 填空题
?1 ? x ? 1.设 lim ? ? x? ? ? x ?
ax

?
?

?
n

a

??

te dt , 则 a = ________.
2 ?? ? n ? ? =________. ? n ? n? n

t

2. lim ?
n? ?

? ?n
2

1 ? n ?1

2

? n ? 2

2

3. 已知函数 f ( x ) ? ? 4. lim ( n ? 3 n ?
n? ?

?1 ?0

| x |? 1 | x |? 1

, 则 f[f(x)] _______.

n ?

n ) =_______.

5. lim cot x ?
x? 0

?

1

? sin x

?

1? ? =______. x?
k

6. 已知 lim

n n
k

1990

n? ?

? ( n ? 1)

? A (? 0 ? ?), 则 A = ______, k = _______.

二. 选择题 1. 设 f(x)和?(x)在(-?, +?)内有定义, f(x)为连续函数, 且 f(x) ? 0, ?(x)有间断点, 则( ) ? (x) (a) ?[f(x)]必有间断点 (b) [ ?(x)]2 必有间断点 (c) f [?(x)]必有间断点 (d) 必有间断点
f (x)

2. 设函数 f ( x ) ? x ? tan x ? e (a) 偶函数 3. 极限 lim ? n? ? (a) 0 4. 设 lim (a) 1 5. 设 lim
x? ?

sin x

, 则 f(x)是(
2n ? 1

) (c) 周期函数 (d) 单调函数 ) (d) 不存在. )
5

(b) 无界函数
3
2 2

?

?1 ? 2
95

?

5 2 ?3
2 2

?? ?

? ? 的值是( n ? ( n ? 1) ?
2 2

(b) 1
( x ? 1) (x ( ax ? 1 )
50 5 2

(c) 2

x? ?

? 1)

? 8 , 则 a 的值为(

(b) 2
( x ? 1 )( x ? 2 )( x ? 3 )( x ? 4 )( x ? 5 ) (3 x ? 2 )
1 3
x x

(c)
?

8

(d) 均不对 )

? ? , 则?, ?的数值为(

(a) ? = 1, ? =

(b) ? = 5, ? =

1 3

(c) ? = 5, ? = )

1 3
5

(d) 均不对

6. 设 f ( x ) ? 2 ? 3 ? 2 , 则当 x?0 时,( (a) f(x)是 x 的等价无穷小 (c) f(x)比 x 较低价无穷小 7. 设 lim
x? 0

(b) f(x)是 x 的同阶但非等价无穷小 (d) f(x)比 x 较高价无穷小
? 6 , 则 a 的值为(

(1 ? x )( 1 ? 2 x )( 1 ? 3 x ) ? a x

) (d) 3

(a) -1 8. 设 lim
x? 0

(b) 1
a tan x ? b (1 ? cos x )
?x
2

(c) 2
? 2,其中 a )
2

c ln( 1 ? 2 x ) ? d (1 ? e

? c

2

? 0 , 则必有(



(a) b = 4d

(b) b =-4d

(c) a = 4c

(d) a =-4c
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三. 计算题 1. 求下列极限
1

(1) lim ( x ? e ) x
x x ? ??

(2) lim (sin
x? ?

2 x

? cos

1 x

)

x

? 1 ? tan x ? (3) lim ? ? x ? 0 1 ? sin x ? ?

1 x

3

2. 求下列极限 (1) lim
ln( 1 ?
3 3

x ? 1) x ?1
2

x?1

arcsin 2

? 1 (2) lim ? 2 ? cot x? 0 ? x

2

? x? ?

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3. 求下列极限 (1) lim
n ln n
n? ?

( n n ? 1)

(2) lim

1? e 1? e

? nx ? nx

n? ?

? (3) lim ? n? ? ? ?

n

a ? 2

n

b ? ? , 其中 a > 0, b > 0 ? ?

n

4. 求下列函数的间断点并判别类型
1

(1) f ( x ) ?

2 2

x 1 x

?1 ?1

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? x(2 x ? ? ) ? 2 cos x ? ( 2 ) f (x) ? ? 1 ? sin 2 ? x ?1 ?

x ? 0

x ? 0

.

1 ? ? ? x sin x 5. 讨论函数 f ( x ) ? ? x ?e ? ? ?

x ? 0 x ? 0

在 x = 0 处的连续性.

6. 设 f(x)在[a, b]上连续, 且 a < x1 < x2 < ? < xn < b, ci (I = 1, 2, 3, ?, n)为任意正数, 则在(a, b)内 至少存在一个?, 使
f (? ) ? c1 f ( x1 ) ? c 2 f ( x 2 ) ? ? ? c n c1 ? c 2 ? ? ? c n

.

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7. 设 f(x)在[a, b]上连续, 且 f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个?, 使 f(?) = ?.

8. 设 f(x)在[0, 1]上连续, 且 0 ? f(x) ? 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个?, 使 f(?) = ?.

9. 设 f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且 f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个?, 使 f(?) = g(?).

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10. 证明方程 x5-3x-2 = 0 在(1, 2)内至少有一个实根.

? 2 (1 ? cos x ) ? 2 x ? 11. 设 f ( x ) ? ?1 ?1 x 2 ? ? 0 cos t dt ?x

x ? 0 x ? 0 x ? 0

试讨论 f ( x ) 在 x ? 0 处的连续性与可导性.

f (x) ? ? sin 3 x ? 12. 设 f(x)在 x = 0 的某领域内二阶可导, 且 lim ? ? ? 0 , 求 f ( 0 ), f ' ( 0 ), f ' ' ( 0 ) 3 2 x? 0 x ? x ? f (x) ? 3 及 lim . 2 x? 0 x

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