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1.5




三角函数的图像变换

作y ? sin x, x ? [0,2? ]的简图
x
0 0

***复习回顾***
π 2
1

π
0 最值点

3π 2
-1


0
<

br />sinx

y 1

五点法
平衡位置
2?

O 1

?
2

?
平衡点

3? 2

x

探究one:
试研究 y ? sin x ? 1, y ? sin x ? 1

与 y ? sin x 的图象关系.
y 1 O -1
?
2

y=sinx+1

?

3? 2

2?

x

y=sinx-1

平移变换一
一、函数y=sinx+B图象: y=sinx
所有的点向上(B >0) 或向下(B <0)平移

| B | 个单位

y=sinx+B

B的变化引起图象位置发生变化(上加下减)

探究two: ? ? 试研究 y ? sin( x ? ), y ? sin( x ? ) 3 6 与 y ? sin x 的图象关系.
y
?1
3

y ? sin( x?

)

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin x ? sin ? sin x ? sin x ? sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
y ? sin( x ?
?
6

?
6

)
13? 6

?

?
2

?

?
3

o

? 2?
2 3

?

3? 5? 2 3

2?

-1

平移变换二
二、函数y=sin(x+ φ)图象: y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移

| ? | 个单位

y=sin(x+?)

φ的变化引起图象位置发生变化(上加下减)

? ? 1、函数y = 3cos(x+ )图象向左平移 4 3
个单位所得图象的函数表达式为 _____

y ? 3 cos( x ?

7? ) 12

? ? 2、函数y = 3cos(2x+ )图象向左平移 4 3

y ? 3 cos( 2 x ? 个单位所得图象的函数表达式为 _____

11? ) 12

注意: 要在x 后面加 和减

3、把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到 y=sin(2x- ? )的图象?
3

y=sin2x

向右平移

? 个单位 6

y ? sin( 2 x ? ) ? sin (2( x ? )) 3 6

?

?

答案:D

π 注意:先化同名:cosx=sin(x+ ) 2

探究three: A 对函数图象的影响
y=Asinx与y=sinx的图象关系:
作下列函数图象:

y ? 2 sin x 1 y ? sin x 2 y
2 1 O -1 -2
? 2

x sinx 2sinx
1 si n x 2

0 0 0 0

?
2
1 2
1 2

3? ? 2? 2
0
?1

0 0 0

0 ?2
1 0 ? 2

?

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? sin x

y ? 2 sin x

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? 2 sin x 、 2

间的变化关系.
y 2 1 O
?
2

?

-1 -2

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? 2 sin x

伸缩变换一
三、函数y=Asinx(A>0)图象: y=sinx
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 y=Asinx 横坐标不变

A的大小决定这个函数的最大(小)值, 叫做振幅(偏离平衡位置的最大距离)
注:y=Asinx,x?R的值域是[-A, A],
最大值是A,最小值是-A.

探究four: 作函数
2x
0

y ? sin 2 x 及 y ? sin 1 x
2

的一个周期的图象.
? ?
2

? ?
2

x
y 1

0

4

3? 2? 2 3? ? 4

1 x 2

0 0

?
2

?

3? 2? 2

x
1 y=sin x 2

?

2? 3? 4?

y ? sin 2 x 0

1

0 ?1 0

0

1

0 ?1

0

O -1

? 4

? 2

3? 4

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

y ? sin 2 x

y ? sin x

1 y ? sin x 2

间的变化关系. y 1

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? sin 2 x 、 2

O

?
2

?

2?

4? x
1 y ? sin x 2

-1

y ? sin 2 x

伸缩变换二
四、函数y=sin?x(?>0)图象: y=sinx
所有的点横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍

y=sin?x

?决定函数的周期: T ?

2?

?

为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数 y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变. D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.

答案:C

2、用“五点法”画出函数y=3sin(2x+π/3)的简图. 解:
x ?

?
6

?

?
3

2x ?

?
3

0

?

12

2

?

3? 2

7? 12

5? 6

2?

sin(2x??/3)0 1 0 3sin(2x+π/3) 1 y 3
2 1
?
?

0

3

0

-3

0

5? 6

?
3

?

oπ 6 12 -1
?

?
2

?

3? 2

2?

x

-2 -3

作业:
1、周练一张,周一交 2、写知识点总结、典型例题一份(周一交) 3、完成课本55页练习第2 57页A组第1 (做在课本上,下节课评讲)

1.5函数y ? A sin( wx ? ? )的图像
第二课时 题型总结

课前复习
上节课,我们学习了三角函数的哪几种图像变换?

1、平移变换

y ? sin x
y ? sin x

向上(下)平移B个单位 向左(右)平移 ?个单位

y ? sin x ? B( B ? 0)
y ? sin(x ? ? )(? ? 0)

2、伸缩变换

y ? sin x

纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变

y ? A sin x(A ? 0) y ? sin wx( w ? 0)

y ? sin x

横坐标变为原来的 ?倍 纵坐标不变

1

课本P57页A组第一题

1 ( 1 )为了得到函数 y ? cos(x ? ), x ? R的图像, 3 只需把余弦曲线上所有 的点( C )
(A)向左平行移动 (B)向右平行移动

?

?

3

个单位长度 个单位长度

3 1 (C)向左平行移动 个单位长度 3 1 (D)向右平行移动 个单位长度 3

x (2)为了得到函数 y ? cos , x ? R的图像, 5 只需把余弦曲线上所有 的点( A )
(A)横坐标伸长到原来的 5倍,纵坐标不变
1 (B)横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 5

(C)纵坐标伸长到原来的 5倍,横坐标不变
1 (D)纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变 5

1 (3)为了得到函数 y ? cos x, x ? R的图像, 4 只需把余弦曲线上所有 的点( D )
(A)横坐标伸长到原来的 4倍,纵坐标不变
1 (B)横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 4

(C)纵坐标伸长到原来的 4倍,横坐标不变
1 (D)纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变 4

课本P55页A组第5题 ? 5.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5 ?
(1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

? ?
5

个单位长度. 个单位长度.

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

5.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5 ? (2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

5.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5 ? (3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

?

题型一:平移和伸缩变换的综合题
1、把函数y ? sin x图像上所有点向右平移 个单位, 6 1 再把图像上所有的点的 横坐标缩短到原来的 , 2 最后再把图像上所有点 的纵坐标伸长到原来的 2倍, 得到的函数解析式是__________ ______

?

答案:y ? 2 sin( 2 x ? ) 6

?

1 2、把函数y ? sin x图像上所有点的横坐标 缩短到原来的 , 2 再把所有点向右平移 个单位 12 最后再把图像上所有点 的纵坐标伸长到原来的 2倍, 得到的函数解析式是__________ ______

?

答案:y ? 2 sin( 2 x ? ) 6

?

总结:
由y=sinx的图像变到 y=Asin(?x+?)的图像,
有两种方法:

方法一:先平移后伸缩
方法二:先伸缩后平移

由y ? cosx的图像变到y ? (用两种方法说明)

1 1 ? cos( x ? )的图像,需要经过哪些 步骤? 3 2 5

方法一:先平移后伸缩

y ? cos x ?? ? ? ? ?? y ? cos(x ? 1 ? ?? ? ? ? ? ?? y ? cos( x ? ) 2 5
横坐标变为原来的 2 倍 纵坐标不变

向左平移 个单位 5

?

?
5

)

1 1 ? ?? ? ? ? ? ?? y ? cos( x ? ) 3 2 5

1 纵坐标变为原来的 倍 3 横坐标不变

由y ? cosx的图像变到y ? (用两种方法说明)

1 1 ? cos( x ? )的图像,需要经过哪些 步骤? 3 2 5

方法二:先伸缩后平移

1 y ? cos x ?? ? ? ? ? ?? y ? cos x 2 2? 向左平移 个单位 1 ? 1 2? 5 ?? ? ? ? ?? y ? cos( x ? ) ? cos( ( x ? )) 2 5 2 5 1 1 ? ?? ? ? ? ? ?? y ? cos( x ? ) 3 2 5
1 纵坐标变为原来的 倍 3 横坐标不变

横坐标变为原来的 2 倍 纵坐标不变

题型二:画y=Asin(wx+ ? )的图像

1 1 ? 例:作函数 y ? cos( x ? )的简图 3 2 5
方法一:利用图像变换画图:需要经过很多 个步骤,麻烦,一般不用此方法 方法二:五点作图法

1 1 ? 例:作函数 y ? cos( x ? )的简图 3 2 5
1 ? x? 2 5

x
1 ? cos ( x ? ) 2 5

-

0 2?
5

?

3? 5

2

?

8? 5

13? 5

3? 2

2?

18? 5

1
1 3

0 0

-1 -1
3

0 0

1
1 3

y

图略

作函数 y ? 2sin (2 x ?
? 2x ? 3

?
3

)的简图
2?
5? 6

?

0
?
?
3 )

x
sin( 2 x ?

?
6

? 12

2

?
? 3

3? 2
7? 12

0 0

1 2

0 0

-1 -2

0 0

y

题型三:根据图像求解析式

问题: 如图是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,确定A、 、? 的值。

?

y ? A sin( ?x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0) 各部分的名称以及对图像的影响
A:振幅(运动的物体离开平衡位 置的最大距离 ) ? 影响函数的最值
2? 1 ?:决定周期T= , 频率f ? |? | T

?x ? ?:相位 ?:初相(x ? 0时的相位)

3 1 π 周期为__________ , 频率为__________ ____ ? ? 初相为__________
3

例:函数y ? 3sin (2 x ?

?

3 )的振幅为________

(1)振幅A的求法
例1.函数 y ? A sin x ? B( A ? 0, x ? R) 的部分图像如图所示,则函数解 y=3sinx+1 析式为__________
4 1 0 -2

x

3
总结:

2

1、要求振幅A, 要看函数图像偏离平衡位置 的最大距离 2、要求B,看函数向上或向下平移了多少

(2)w的求法
) A ? 0,? ? 0) 例.函数 y ? A sin(?x ? ?( 的部分图像如图所示,求w



y
4


5? 6

?

?
6
-4

0

? 3

x

?
W=
相邻两对称中心的距离=T/2

W=2
一个坡峰+一个坡谷=T

8

(2)w的求法
) A ? 0,? ? 0) 例.函数 y ? A sin(?x ? ?( 的部分图像如图所示,求w





4 W= 5 相邻两对称轴=T/2

W=

3 2

对称轴与相邻的对称中心=T/4

(3)

? 的求法
y

f ( x) ? sin(x ? ? )(| ? |? ? )的部分图像求 f(x)

o

?
6

2? 3

7? 6

5? 3

13? 6

x

? 的值。 例. 如图是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,确定A、 、
(w>0,A>0, 0 ? ? ? ? )

?

解:显然A=2 2?
又? T ? |w|

T?

5 ? ? ? (? ) ? ? 6 6

, w ? 0求得w ? 2

? y ? 2 sin(2 x ? ? )
? ∵(- ,0)是五点法的第一点,故 6

?? ?

2 x ? ? ? 2 ? (? ) ? ? ? 0 6
?
3
所求函数解析式为 y ? 2 sin( 2 x ?

?

?

?
3

)

总结:
第一步:求A(看振幅)

根据图像求 y=Asin(?x+?)的解析式的步骤:
第二步:求w(根据周期来求) 第三步:求?(代特殊点来求)
若代入的是五点法的第一点,则角=0 ? 若代入的是五点法的第二点,则角= 2 若代入五点法的第三点,则角= ? 3? 若代入五点法的第四点,则角= 2

练习:1、

2、f ( x) ? 2sin (2wx ?

?
6

)( 0 ? w ? 1)的一条对称轴为 x ?

?
3

, 求w

解:

题型四:根据描述求解析式
?

答案: y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)


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