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贝塞尔函数释疑


数理方程中与贝塞尔函数有关的问题 据百度百科介绍: 贝塞尔(1784——1846)是德国天文学家,数学家,天体测量学的奠基人。20 岁时发表了 有关彗星轨道测量的论文。1810 年任新建的柯尼斯堡天文台台长,直至逝世。1812 年当选 为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学,以《天文学基础》 (1818)为标志发展了 实验天文学 ,还编制基本星表 ,测定恒星视差, 预言伴星的

存在,导出用于天文计算的 贝塞尔公式, 较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值, 还编制大气折射表和大气折射公 式,以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数,讨论了该函数的一系 列性质及其求值方法,为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外,他在大地 测量学方面也做出一定贡献,提出贝塞尔地球椭球体等观点。 (图片来自维基百科) 一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 二、贝塞尔方程与欧拉方程比较 三、贝塞尔函数与伽马函数 四、贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 右图来自网页 “维基百科——自由的百科全书” 中贝塞尔函数 介绍。 贝塞尔函数的一个实例: 一个紧绷的鼓面在中心受到敲 击后的二阶振动振型, 其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝 塞尔函数(考虑正负号) 。实际生活中受敲击的鼓面的振动是 各阶类似振动形态的叠加 一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程

d2y dy x ? x ? (x 2 ? v2 ) y ? 0 2 dx dx
2

其中,v 是常数,称为 Bessel 方程的阶(不一定是整数) ,可取任何实或复数。该方程的解 无法用初等函数表现。数理方程教科书采用第一类 Bessel 函数和第二类 Bessel 函数的线性 组合表示方程的标准解函数。 贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。 通常所说的贝塞尔 函数是指第一类 Bessel 函数

(?1) m x J v ( x) ? ? ( ) v? 2m m ? 0 m!? (v ? m ? 1) 2
?

贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时 得到的(在圆柱域问题中得到的是整阶形式;在球域问题中得到的是半奇数阶形式) ,因此 贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位,典型的问题有: 在圆柱形波导中的电磁波传播问题;圆柱体中的热传导问题;圆形(或环形)薄膜的振动模 态分析问题;在其他一些领域,贝塞尔函数也相当有用。如在信号处理中的调频合成(FM synthesis)或凯泽窗(Kaiser window)的定义中,都要用到贝塞尔函数。 在教科书中 Bessel 方程来源 1. 在圆柱坐标系下解二维热传导方程;

?u t ? a 2 (u xx ? u yy ), x 2 ? y 2 ? R 2 , t ? 0 ? ? 2 2 2 ?u ( x, y,0) ? ? ( x, y ), x ? y ? R ? 2 2 2 ?u ? 0, x ? y ? R ? 用分离变量法,令 u(x,y,t) = V(x,y)T(t),代入方程整得

Vxx ? V yy T? ? ? ?? 2 V a T
由此得两个方程

T ?(t ) ? a 2 ?T (t ) ? 0 , Vxx ? V yy ? ?V ? 0
其中,一阶常微分方程的通解为

T (t ) ? A exp( ? a 2 ? t )
而另一个是圆域上 Laplace 算子的固有值问题,在极坐标系下

再一次使用分离变量法,令 V ( ? ,? ) ? P( ? )?(? ) ,代入方程整理得

? ? 2V 1 ?V 1 ? 2V ? ? 2 ? ?V ? 0, 0 ? ? ? R, ? 2 ? ?? ? ?? 2 ?? ? ?V ? ? ? R ? 0,

? 2 P ?? ? ?P ? ? ?? 2 P
P
由此得两个方程

?

? ??? ?? ?

??? ? ?? ? 0 , ? 2 P?? ? ?P? ? (?? 2 ? ? ) P ? 0
第一个二阶常微分方程的通解为

?(? ) ? C1 cos ?? ? C 2 sin ??
引入周期边值条件 ?(2? ) ? ?(0) ,得 cos 2 ? ? ? 1。所以固有值

? ? n 2 ,(n = 0,1,2,??)
固有函数系为

? 0 (? ) ?

1 a0 , ? n (? ) ? a n cos n? ? bn sin n? ,(n = 1,2,??) 2

将固有值代入第二个常微分方程,得

? 2 P?? ? ?P? ? (?? 2 ? n 2 ) P ? 0
令x ?

? ? , y ( x) ? P( x / ? ) ,则方程转化为标准的整数阶贝塞尔方程 d2y dy x 2 2 ? x ? (x 2 ? n2 ) y ? 0 dx dx
?u tt ? a 2 (u xx ? u yy ), x 2 ? y 2 ? R 2 , t ? 0 ? ? 2 2 2 ?u ( x, y,0) ? ? ( x, y ), u t ( x, y,0) ? ? ( x, y ), x ? y ? R ? 2 2 2 ?u ? 0, x ? y ? R , t ? 0 ?

2. 圆柱坐标系下解二维波动方程;

用分离变量法,令 u(x,y,t) = V(x,y)T(t),代入方程整得

T ?? Vxx ? V yy ? ? ?? V a 2T
由此得两个方程

Vxx ? V yy ? ?V ? 0 , T ??(t ) ? a 2 ?T (t ) ? 0

第一个是圆域上 Laplace 算子的固有值问题,与热传导问题类似可得整数阶贝塞尔方程

x2

d2y dy ? x ? (x 2 ? n2 ) y ? 0 2 dx dx

3.在圆柱坐标系下解三维拉普拉斯方程或亥姆霍夫方程。 圆域上亥姆霍兹方程边值问题

用分离变量法,令 V ( ? ,? ) ? P( ? )?(? ) ,代入方程整理得

? ? 2V 1 ?V 1 ? 2V ? ? 2 ? k 2V ? 0, 0 ? ? ? R,0 ? ? ? 2? ? 2 ? ?? ? ?? 2 ?? ? ?V ? ? ? R ? 0, 0 ? ? ? 2?

? 2 P ?? ? ?P ? ? k 2 ? 2 P
P
由此得两个方程

?

? ??? ?? ?

??? ? ?? ? 0 , ? 2 P?? ? ?P? ? (k 2 ? 2 ? ? ) P ? 0
第一个二阶常微分方程的通解为

?(? ) ? C1 cos ?? ? C 2 sin ??
引入周期边值条件 ?(2? ) ? ?(0) ,得 cos 2 ? ? ? 1。所以固有值

? ? n 2 ,(n = 0,1,2,??)
固有函数系为

? 0 (? ) ?

1 a0 , ? n (? ) ? a n cos n? ? bn sin n? ,(n = 1,2,??) 2

将固有值代入第二个常微分方程,得

? 2 P?? ? ?P? ? (k 2 ? 2 ? n 2 ) P ? 0
令 x ? k? , y( x) ? P( x / k ) ,则方程转化为标准的整数阶贝塞尔方程

x2

d2y dy ? x ? (x 2 ? n2 ) y ? 0 2 dx dx

?

二、贝塞尔方程与欧拉方程比较 欧拉方程

x2

d2y dy ?x ?? y?0 2 dx dx

也是一类二阶线性变系数齐次常微分方程。 该方程的二阶导数项和一阶导数项表达式与贝塞 尔方程相同。 不同的是,贝塞尔方程中函数项系数为变系数,欧拉方程中函数项系数为常数。 贝塞尔方程只能求出级数形式的解,即使是零阶贝塞尔方程

x2

d2y dy ? x ? x2 y ? 0 2 dx dx

欧拉方程可以通过自变量变换成为线性常系数常微分方程。作变换: x ? exp(t ) ,即

t ? ln x ,未知函数的导数为

dy dy dt 1 dy ? ? dx dt dx x dt d2y 1 dy 1 d dy 1 d 2 y dy ?? 2 ? ( )? 2( 2 ? ) dt dx 2 x dt x dx dt x dx
代入微分方程,得

(
方程化简为:

d 2 y dy dy ? )? ? ?y ? 0 2 dt dt dt

d2y ? ?y ? 0 ,该方程有初等函数表达式的通解。? dt 2

三、贝塞尔函数与伽马函数 1.正整数阶贝塞尔函数 贝塞尔函数的阶数 v 不一定是整数。引入伽马函数使表达式简化,但有一丝神秘

J v ( x) ?

m?0

? m!?(v ? m ? 1) ( 2 )
?

?

(?1) m

x

v? 2m

当阶数为正整数时,贝塞尔函数可写成

J n ( x) ?
零阶贝塞尔函数

(?1) m x ?0 m!(n ? m)!( 2 ) n? 2m m?
?

(?1) m x 2 m J 0 ( x) ? ? ( ) 2 2 m ? 0 ( m!)
还有一种是积分形式(可用于数值计算实验)

J v ( x) ?

1 2?

?

2?

0

cos(v? ? x sin ? )d?

2.负整数阶贝塞尔函数 由于自变量为负值时,伽马函数的值趋于正无穷大,所以负整数阶贝塞尔函数

(?1) m x J ? n ( x) ? ? ( ) ? n? 2m m ? 0 m!?( ? n ? m ? 1) 2
?

中对于 m < n 的项为零,故

(?1) m x J ? n ( x) ? ? ( ) ? n? 2m m ? n m!?( ? n ? m ? 1) 2
?

令 k = m – n ,则有 m = n + k。所以

J ? n ( x) ? (?1) n ?

? (?1) k x (?1) k x ( ) n ? 2 k ? (?1) n ? ( ) n? 2k k ? 0 ( n ? k )! ?( k ? 1) 2 k ? 0 k!?( n ? k ? 1) 2 ?

对比 Jn(x) 的表达式,知

J-n(x) = (– 1)n Jn(x)
这说明两个整数阶贝塞尔函数线性相关。 3.伽马函数 这一特殊函数以无穷积分的形式做为定义

?(s) ? ?

??

0

x s ?1 exp( ? x)dx

是正整数阶乘函数的推广。其中,s 可以取正实数也可以取实部为正的复数。几个简单性质 如下:

(1) ?(1) ? .

?

??

0

p e x (

? x)dx ? 1 ;

(2) ?(n ? 1) ? n?(n) ; . 事实上

?(n ? 1) ? ?
? 0

??

0

x n exp( ? x)dx ? ? x n exp (? x) 0 ? n? x n?1 exp( ? x)dx
0

??

?

? n? x n?1 exp( ? x)dx ? n?(n)
(3) ?(1 / 2) ? . 事实上

?

?(1 / 2) ?
令 x ? t ,则上式化为概率积分
2

?

?

1 x

0

exp( ? x)dx

?(1 / 2) ?

?

?

1 x
??

0

exp( ? x)dx ? 2? exp( ?t 2 )dt ? ?
0

??

(4) .当伽马函数的自变量为负值时,无穷积分发散。即

?(? s) ? ? x ? s ?1 exp( ? x)dx ? ?
0

?

1 x
s ?1

0

exp( ? x)dx ? ?

1

1 x
s ?1

0

exp( ? x)dx ? ?
1

??

1 x s ?1

1

exp( ? x)dx

由于

?

1

1 x s ?1

0

exp( ? x)dx ?

?

1

1 x s ?1

0

s dx ? ? s ? ? ? x 0

所以自变量为负值时,伽马函数的值趋于正无穷大。? 四、贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 1.贝塞尔函数的级数收敛性 贝塞尔函数通常用级数表达式

J n ( x) ?

(?1) m x ?0 m!?(n ? m ? 1) ( 2 ) n? 2m m?
?

利用交错级数的收敛判别法,用系数比值取极限

m? ?

lim |

a2m? 2 m!?(n ? m ? 1) 1 |? lim ? lim ?0 m ? ? 4( m ? 1)! ?( n ? m ? 2) m ? ? 4( m ? 1)( n ? m ? 1) a2m

所以,级数对任意自变量 x 收敛。 2.几个常用函数的台劳级数展式

sin x ?

(?1) m ?0 (2m ? 1)! x 2m?1 , cos x ? m?
?

(?1) m 2 m x ? m ? 0 ( 2m)!
?

exp( x) ?

? (?1) m?1 m 1 m x x , ln(1 ? x) ? ? ? m m ?1 m ? 0 m!
?


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