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对数的基本性质和运算公式






对数定义公式
a ? N ? b ? loga N (a ? 0, a ? 1, N ? 0)
b
对数的本质,就是指数。同底的对数运算与指数运算互成逆运算。

log2 8 ? 3
1 log 3 ? 9
-2

23 ? 8

>
定义 一般地,如果a 的b次幂等于N, 就是: ab=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数

记作: loga N ? b 对数符号 底数 以a为底N的对数 真数

对数的值 和底数,真数有关。

常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 记作 lgN 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数 记作 lnN

对数的运算性质

复习重要公式

⑴ 负数与零没有对数

⑵ loga 1 ? 0 , loga a ? 1

a loga N ? N ⑶对数恒等式

对数四则运算公式
loga (MN ) ? loga M ? loga N
对数实际上就是指数,把真数化 成指数幂的形式就明显啦!乘积 与加法运算联系起来了(降级)。 注意既能从左到右,又能从右到 左。 除法与减法联系起来了(降级)。

log a

M ? log a M ? log a N N

loga M ? n loga M (n ? R)
n

指数运算与乘法联系起来了。注 意既能“从内到外”,又能“从 外到内”。

计算

(1)

log2 (2 ? 4 )
5 7

解 : log2 (25 ? 47 ) ? log2 25 ? log2 47

? log2 25 ? log2 214
=5+14=19 (2) log9 27 解 : log9 27 ? log32 33 3 ? log 3 3 2 3 ? 2

1.下列等式成立的是( )

A. log4 ? 3 ? ? log4 3 ? log4 5 ? ?
?5?

B. lg?? 4? ? 5 lg?? 4?
5

C. ln?8 ? 6? ? ln 8 ? ln 6
2.

D. log2 ?? 5?3 ? ? log2 53 ) B. 2

3

log3 4

的值是( A. 16

C. 3

D. 4

3.求下列各式的值
(1) log2 6- log2 3 (2)lg5+lg2

1

1
0 -1

1 (3) log5 3+ log5 3
(4) log 5- log 15

对数换底公式
log a N ? log m N log m a
换底公式,顾名思义,底数换成另一个 数,其中“上(真数)还在上(分子的 真数),下(底数)还在下(分母的真 数)”,既能换过来,又能换回去。

n log am b ? log a b m
n

奥秘在于应用换底公式两次。下面的 (指数),还是在下面(分母),上面 的(指数)还在上面(分子)。出得来, 也回得去。

计算
(1)lg14-2lg

7 +lg7-lg18 3

32 ×2) lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(

lg 243 (2) lg 9

=lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(2lg 3 +lg2)

=0 lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 (3) lg1.2

lg 243 lg 35 5 lg 3 5 ? ? ? 2 lg 9 lg 3 2 lg 3 2

lg(3 ) ? lg 2 ? 3 lg(10) 3 ? 22 lg 10
3

1 3 2

1 2

3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) ? 2 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1

3 ? 2

简单练习(1)
? 化简:

log3 4 ? log4 5 ? log25 9
lg 4 lg 5 lg 9 lg 5 ? 2 lg 3 ? ? ? ?1 lg 3 lg 4 lg 25 lg 3 ? 2 lg 5


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