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【解析】安徽省江淮名校2015届高三第二次联考数学理试题

时间:2014-12-26


安徽省江淮名校 2015 届高三第二次联考

数学(理)试题
【试卷综述】重点考查基本知识和基本技能,侧重通性通法 注重对基本知识和基本技能的考查,重点考 查通性通法,避免偏题、怪题,适当控制运算量,加大思考量,在大题中,每个题的难度按照由易到难的 梯度设计,学生入口容易,但是又不能无障碍的获得全分, 本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合 性,很

多题目是由多个知识点构成的,这有利于考查考生对知识的综合理解能力,有利于提高区分度. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间:120 分钟。 考生务必将答案答在答题卷上,在试卷上作答无效。考试结束后只交答题卷。

第 I 卷 (选择题共 50 分)
【题文】一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 【题文】1.已知集合 A ? x | x |? 2, x ? R , B ? x A. (0,2) 【知识点】集合 A1 B.[0,2]

?

?

?

x ? 2, x ? z ,则 A B =( )
D.{0,l,2}.

?

C.{0,2}

【答案】 【解析】D 解析: 因为 A ? ?x | ?2 ? x ? 2?, B ? ?0,1,2,3,4? ,所以 A ? B ? ?0,1, 2? ,正确选项 为 D. 【思路点拨】先求出各集合中的元素,再求出它们的交集. 【题文】2.复数

i 在复平面内对应的点位于( 2i ? 1

) D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 【知识点】复数的运算 L4 【答案】 【解析】 D 解析: 根据复数的运算可知

C.第三象限

i ? 2i ? 1? 2 1 i ?2 1? ? ? ? i, 所以复数的坐标为 ? , ? ? , 2 2i ? 1 ? 2i ? ? 1 5 5 ?5 5?

所以正确选项为 D. 【思路点拨】对分母进行实数化运算,求出复数的坐标可得正确结果. 【题文】3.已知函数 f ( x) ? sin ? x( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ( x) ? sin(? x ? 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象( )

?
4

)

? 个单位长度 8 ? C. 向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 【知识点】三角函数的图像与性质 C3 【答案】 【解析】A

? 个单位长度 8 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

解析:因为最小正周期为
-1-

? , 所 以 ? ? 2 , 所 以 f ? x? ? s i n 2x, 而

? ?? ? ? ? ?? ? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin ?2 ? x ? ?? ,所以只需将 f ? x ? 向左平移 单位即可.所以正确结果为 A. 8 4? 8 ?? ? ? ?
【思路点拨】根据函数图像移动的法则,我们可导出公式再求出正确结果. 【题文】4.已知等差数列{an}的前 n 项之和是 Sn,则-am<a1<-am+l 是 Sm>0,Sm+1<0 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不毖要 【知识点】等差数列 D2 【答案】 【解析】C 解析: 由等差数列的前 n 项公式可知

a1 ? an ? 0则Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? a1 ? an ? ? 0,Sn ? ? 0 ? 则a1 ? an ? 0 ,所以 2 2 n ? a1 ? am ? n ? a1 ? am ? ? 0,Sm ? ? 0则a1 ? am ? 0 ,同理可知 2 2

?am ? a1 ? a1 +a m >0 ?Sm ?

a1 +a m?1 >0 ?Sm ?

n ? a1 ? am?1 ? ? 0 ,反这成立,所以 C 正确. 2

【思路点拨】根据等差数列的前 n 项和公式即可判定它们之间的关系. 【题文】5.

2cos ?? ? ?
4 4

?

?

2

x ? ? tan x ?dx =( ) 2 ?
B. 2 C.

A.

?
2

? 2

? 2

D. ? ? 2

【知识点】定积分 B13 【答案】 【解析】A
?

解析:
?

? ? ? ? 2 x 4 4 2cos ? tan x dx ? cos x ? 1 dx ? 2 ? ? ? cos x ? 1?dx , 所 以 由 ? ? ?-?4 ? ? ? 0 2 ? ? 4
4

?

4 2? 4 ? c o s x? ? 1d x ? ? 2 sin x? ? x0 ? | 0

? 2 ,故选 A 2

?

【思路点拨】根据函数的奇偶性,化简后再求出函数的原函数,再代入求值 【题文】6.若非零向量 a, b ,满足 | a ? b |?| b | ,则( A.|2 a |>|2 a + b | C.|2 b |>| a + 2b | 【知识点】向量的运算 F3 【答案】 【解析】C 解析:∵| +2 |=| + + |≤| + |+| |=2| |, )

B.|2 a |<|2 a + b | D.|2 b |<| a + 2b |

∵ , 是非零向量,∴必有 + ≠ ,∴上式中等号不成立.∴|2 |>| +2 |, 故选 C
-2-

【思路点拨】本题是对向量意义的考查,根据|| |﹣| ||≤| + |≤| |+| |进行选择,题目中注意 | +2 |=| + + |的变化,和题目所给的条件的应用. 【题文】7.已知函数 f ( x) ? a x ? x ? b ,的零点 x0 ? (n, n ? 1)(n ? Z ) ,其中常数 a,b 满足 2a =3,3b =2, 则 n 的值是( ) A.-2 B.-l 【知识点】函数与方程 B9 C.0 D.1

【答案】 【解析】B 解析:因为 a ? log 2 3, b ? log 3 2 ? f ? x ? ? ? log 2 3? ? x ? log 3 2 ,函数的零点为方程
x

? log 2 3?

x

? log 3 2 ? x 的根据,由指数函数与一次函数的交点可知方程的根在 ? ?1.0? 内,所以 n ? ?1 ,所

以正确选项为 B. 【思路点拨】根据函数零点的定义,可以列出方程,再由零点判定的方法求出结果. 【题文】8.已知数列{an}的前 n 项之和是 Sn,且 4Sn=(an+1)2,则下列说法正确的是 A.数列{an}为等差数列 B.数列{an}为等差或等比数列 C.数列{an}为等比数列 D.数列{an}可能既不是等差数列也不是等比数列 【知识点】等差数列 D2 【答案】 【解析】A
2

解析:
2 2 2

4Sn ? ? an ? 1? ? 4Sn ?1 ? ? an ?1 ? 1? ? 4 Sn ?1 ? 4 Sn ? 4an ?1 ? ? an ?1 ? 1? ? ? an ? 1?

? an?1 ? 1?
所以选 A

2

? ? an ? 1? ?an?1 ? an ? 2, 或an?1 ? an ? 2
2

4a1 ? ? a1 ? 1? ? a1 ? 1? an ?1 ? an ? 2或an ? 1
2

【思路点拨】由数列前 n 项和与通项公式的关系可以等到数列的通项公式,再由通项公式判定结果. 【题文】9.平面向量 a, b 满足|3 a, b |≤4,则向量 a, b 的最小值为 A.

4 3

B.-

4 3

C.

3 4

D.-

3 4

【知识点】向量的数量积及运算 F3 【答案】 【解析】B 解析:由题意可得, a ? b ?

4 4 4 4 ?? ? a ? b ? ,所以最小值为- ,故选 B 3 3 3 3 1 1 2? ? ? ,则实数 ? 的值为 tan A tan B tan C 1 D. 4

【思路点拨】根据向量的运算可以求出向量数量积的大小,再根据数量积进行运算. 【题文】10.已知 G 点为△ABC 的重心,且 AG ? BG ,若 A.1 B.

2 3

C.

2 5

【知识点】正弦定理;余弦定理 C8

-3-

【答案】 【解析】D

解析:如图,连接 CG,延长交 AB 于 D,

由于 G 为重心,故 D 为中点, ∵AG⊥BG,∴DG= AB, 由重心的性质得,CD=3DG,即 CD= AB, 由余弦定理得,AC =AD +CD ﹣2AD?CD?cos∠ADC, 2 2 2 BC =BD +CD ﹣2BD?CD?cos∠BDC,∵∠ADC+∠BDC=π ,AD=BD, 2 2 2 2 ∴AC +BC =2AD +2CD , ∴AC +BC = AB + AB =5AB ,又∵ ∴ + = ,∴λ =
2 2 2 2 2 2 2 2

+

=



=

=

=

=

= .即 λ = .

故答案为: . 【思路点拨】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半,得到 CD= AB,再应 用余弦定理推出 AC +BC =5AB ,将 λ =
2 2 2

+

=

应用三角恒等变换公式化简得

,然后运用正弦定理和余弦定理,结合前面的结论,即可求出实数 λ 的值.

第Ⅱ卷 (非选择题共 100 分)
【题文】二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置, )
2 【题文】11.命题”存在 x0>一 1, x0 +x0 -2014>0”的否定是

【知识点】命题 A2
2 【答案】 【解析】 ?x ? ?1, x ? x ? 2014? 0 解析:命题”存在 x0>一 1, x0 +x0 -2014>0”的否定是

2

?x ? ?1, x 2 ? x ? 2014? 0 所以填 ?x ? ?1, x 2 ? x ? 2014? 0
【思路点拨】根据命题间的关系可直接写出结果.

-4-

? 3? 【题文】 12. 如图, 在第一象限内, 矩形 ABCD 的三个顶点 A, B, C 分别在函数 y=lo g 2 x, y ? x , y ? ? ? 2 ? ? , ? ? 2
1 2

x

的图像上, 且矩形的边分别平行两坐标轴, 若 A 点的纵坐标是 2, 则 D 点的坐标是



【知识点】向量的坐标运算 F2 【答案】 【解析】 ( , )解析:由题意可得,A、B、C 点坐标分别为( ,2) , (4,2) , (4, = , . ) ,设 D

(m,n) ,再由矩形的性质可得 故 (m﹣ ,n﹣2)=(0, 解得 m= ,n= 故答案为: ( ,

﹣2) ,∴m﹣ =0,n﹣2=﹣ ) ,

,故点 D 的坐标为( , ) .

【思路点拨】先求出 A、B、C 的坐标,设出点 D 的坐标,再根据矩形 ABCD 得出 算求出点 D 的坐标. 【题文】13.已知正项等比数列{an}满足 a2015=2a2013+a2014,若存在两项 am、an 使得

=

,利用向量坐标运

am an ? 4a1 则

n ? 4m 的最小值为 nm



【知识点】不等式 E6 【答案】 【解析】 解析:设正项等比数列{an}的公比为 q,则 q>0,
2

因为 a2015=2a2013+a2014,所以 q =2+q, 解得 q=2 或 q=﹣1(舍去) , 因为存在两项 am、an 使得 所以 即2 则
m+n﹣2

=4a1, ,化简得 q
m+n﹣2

=16,

=16=2 ,所以 m+n=6, )= (5+ )≥ 的最小值是 , = ,

4

= (m+n) (

当且仅当

时取等号,所以

故答案为: .
-5-

【思路点拨】设正项等比数列{an}的公比为 q 且 q>0,根据题意和等比数列的通项公式求出 q,代入 =4a1 利用指数的运算化简得:m+n=6,利用 1 的代换化简 ,利用基本不等式求出最小值. 。

【题文】 14. 若正实数 a 使得不等式|2x - a|+|3x- 2a|≥a2 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的范围是 【知识点】绝对值不等式 E2 【答案】 【解析】 [﹣ ﹣1|+ |a||k﹣ |≥|a|
2

]

解析: 取 k∈R, 令

, 则原不等式为|ka﹣a|+| ka﹣2a|≥|a| , 即|a||k

2

由此易知原不等式等价于

,对任意的 k∈R 成立.

由于|k﹣1|+ |k﹣ |=

∵y= y=3﹣

,在 k

时,y

,y=1﹣ k,在 1≤k< 时,

,k<1 时,y> ,所以|k﹣1|+ |k﹣ |的最小值等于 , .故答案为:[﹣ ]

从而上述不等式等价于

【思路点拨】根据所给的含有绝对值的不等式,设出所给的两个变量之间的关系,对所给的绝对值不等式 进行整理,得到最简形式,根据函数的思想 f(x)>m 恒成立,只要 m<f(x)的最小值. 【题文】15.已知集合 M= ?( x, y) | y ? f ( x)? ,对于任意实数对 ( x1 , y1 ) ? M ,存在实数对(x1,y2)? M 使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集命 M 是: “孪生对点集”-给出下列五个集合-; ① M ? ?( x, y ) y ?

? ?

1? ? x?

② M ? {( x, y) | y ? e ? 2}
x

③ M ? {( x, y) | y ? sin x} ⑤ M ? {( x, y) | y ? 1nx} 其中不是“孪生对点集”的序号是 【知识点】函数的图象 B8 。

④ M ? {( x, y) | y ? x ?1}
2

【答案】 【解析】 ①⑤ 解析: 对于①, 注意到 x1?x2+

∈ (﹣∞, ﹣2]∪[2, +∞) , 故 x1?x2+

=0,

即 x1x2+y1y2=0 无实数解,因此①不是“孪生对点集”; 2 对于②,如下图,注意到过原点任意作一条直线与曲线 y=x ﹣1 相交,过原点与该直线垂直的直线必与曲 2 线 y=x ﹣1 相交,因此②是“孪生对点集”;

-6-

对于③由图像可知是“孪生对点集” x 对于④,如下图,注意到过原点任意作一条直线与曲线 y=e ﹣2 相交,过原点与该直线垂直的直线必与曲 x 线 y=e ﹣2 相交,因此是“孪生对点集”;

对于⑤,注意到对于点(1,0) ,不存在(x2,y2)∈M,使得 1×x2+0×lnx2=0,因为 x2=0 与真数的限制条 件 x2>0 矛盾,因此不是“孪生对点集”. 所以不是“孪生对点集”的有①⑤ 【思路点拨】分别作出函数的图像可知结果. 【题文】三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 【题文】16. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) 在区间[2,3]上有最大值 4 和最小值 1。设 f ( x ) ?

g ( x) 。 x

(1)求 a、b 的值; (2)若不等式 f (2x ) ? k.2x ? 0在x ?[?1,1] 上有解,求实数 k 的取值范围。 【知识点】函数的性质 B3 【答案】 【解析】(1) ?

?a ? 1 2 (2) (?? , 1] 解析: (1) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 b ? 0 ?

g ( x) 在区间 [2 , 3] 上是增函数,
故?

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ?b ? 0 ? g (3) ? 4

...........................4 分

(2)由已知可得 f ( x) ? x ?

1 1 ? 2 ,所以 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 可化为 2 x ? x ? 2 ? k ? 2 x , x 2
-7-

1 ? 1 ? 化为 1 ? ? x ? ? 2 ? x ? k , 2 ?2 ?
令t ?

2

1 ?1 ? 2 ,则 k ? t ? 2t ? 1 ,因 x ? [?1 , 1] ,故 t ? ? , 2? , x 2 ?2 ?
2

记 h(t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为 t ? ?

?1 ? , 2 ,故 h(t ) max ? 1, ?2 ? ?

所以 k 的取值范围是 (?? , 1] . ........ 【思路点拨】由已知条件可判断函数的单调性,再确定 a,b 的值,再利用换元法求出 k 的取值范围. 【题文】17. (本小题满分 l2 分) 已知{an}的前 n 项和 S n ? ?

1 2 n ? kn ? 1 (其中 k ? N * ) ,且 Sn 的最大值为 9。 2

(1)确定常数 k 的值,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列 ?

? 9 ? 2an ? ? 的前 n 项和 Tn 。 n ? 2 ?
D4
, n ?1 ?9 an ? ? 2 9 ? ?n ? 2 ,n?2

【知识点】数列的通项公式与求和公式 D1

【答案】 【解析】(1) k ? 4 ;

(2) Tn ? 6 ?

n?2 解析: (1)当 n ? k ? N * 2n?2

时, S n ? ?

1 2 1 n ? kn ? 1 取最大值,即 9 ? ? k 2 ? k 2 ? 1 , 2 2

即 k ? 4 ,.............................2 分

1 S n ? ? n 2 ? 4n ? 1 , 2 9 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? , 2
当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ?n ?
, n ?1 ?9 2 a ? ? 9 综上: n ? ?n ? 2 ,n?2

9 , 2

............................6 分

9 ? 2a n ? ? 0,n ?1 ? ? 2 n ,n? 2 2n ? ? 2n
Tn ? 4 ? 1 1 1 ? 6 ? 3 ? ... ? 2n ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 4 ? 3 ? 6 ? 4 ? ... ? 2(n ? 1) ? n ? 2n ? n ?1 2 2 2 2 2
-8-

1 1 1 1 1 1 Tn ? 4 ? 2 ? 2( 3 ? 4 ? ... ? n ) ? 2n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 n?2 Tn ? 6 ? n ? 2 .............................................................12 分 2
【思路点拨】先按二次函数的形式求出 k 的值,再由前 n 项与通项公式的关系求出通项公式,最后出错位 相减法求出 Tn ? 6 ?

n?2 2n?2

【题文】18. (本小题满分 12 分) 利用已学知识证明: (1) sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2



(2) 已知△ABC 的外接圆的半径为 2, 内角 A, B, C 满足 sin 2 A ? sin( A ? B ? C) ? sin( C ? A ? B) ? 求△ABC 的面积。 【知识点】两角和与差的三角公式 C5 【答案】 【解析】(1)略(2)1 解析: (1)

1 , 2

sin ? ? sin ? ? sin(

? ??
2

?

? ??
2

) ? sin(

? ??
2

? 1 2

? ??
2

) ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

..........4 分

(2)? sin 2 A ? sin(? ? 2 B ) ? sin( 2C ? ? ) ?

? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ?

1 2 A ? 2B 2 A ? 2B 1 cos ? 2 sin C cos C ? 由(1)可得 2 sin 2 2 2 2 1 2 sin C[cos( A ? B) ? cos( A ? B)] ? 4 sin C sin A sin B ? 2 1 ? sin A sin B sin C ? ............................................10 分 8

? 已知△ABC 的外接圆的半径为 2

? S ?ABC ? 2R 2 sin Asin B sin C ? 1 ........................................12 分
【思路点拨】根据两角和与差的公式可证明,再由三角形内角之间的关系列出式子,最后求出三角形的面 积. 【题文】19. (本小题满分 12 分) 合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域 ABCD,AB=100 米,BC=50 3 米,为了便于同学们平时休闲 散步,学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路 OE、EF 和 OF,考虑到学校整体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且 OE⊥OF,如图所示. (1)设∠BOE= ? ,试将△OEF 的周长 l 表示成 ? 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 800 元,试问如何设计才能使 铺路的总费用最低?并求出最低总费用.

【知识点】解三角形 C8

? ?? 50(sin ? ? cos ? ? 1) 4 时, l ? 100( 2 ? 1) ,总费用最低为 , (2) 当 【答案】 【解析】(1) l ? min sin ? cos ?
-9-

80000( 2 ? 1) 元
解析:⑴在 Rt△BOE 中, OE ?

50 50 ,在 Rt△AOF 中, OF ? cos ? sin ?
??2 分

? ?? 50 6 在 Rt△OEF 中, EF ? ,当点 F 在点 D 时,角 ? 最小, sin ? cos ?
当点 E 在点 C 时,角 ? 最大,

??

?

3 ,所以 l ? 50(sin ? ? cos ? ? 1) , ???4 分 sin ? cos ?

[ , ] 定义域为 6 3

? ?

???????????6 分

t ? sin ? ? cos ? , ? ? [ , ] 6 3 ,所以 ⑵设

? ?

3 ?1 ?t ? 2 2

????????8 分

l?

50(t ? 1) 100 ? ? [100( 2 ? 1),100( 3 ? 1)] ???????????10 分 t 2 ?1 t ?1 2

??
所以当

?
4 时, l ? 100( 2 ? 1) ,总费用最低为 80000( 2 ? 1) 元 ??12 分 min

【思路点拨】由三角形的性质利用边与角的关系可列出函数式,再由所列函数求出最小值. 【题文】20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ex ? ax ?1(a ? 0, e 为自然对数的底数) (1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若 f ( x ) ≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,证明: 1 ? 【知识点】导数 B11 【答案】 【解析】(1) f (2) a ? 1 (3)略 ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .
l n a

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? 1n(n ? 1)(n ? N * ) n

? 解析:(1)由题意 a , ? 0 ,f () x ? e ? a
x

? 由f 得 x?lna. () x? e?? a0
x

当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴ f ( x) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值,
- 10 -

l n a 其最小值为 f ..........4 分 ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .

(2) f (x) )m ≥ 0. ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in 由(1),设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴

g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( 1 ) ?0.
................................................8 分

因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1
x

(3)由(2)得 e ? x ? 1 ,即 ln(x ? 1) ? x ,当且仅当 x ? 0 时,等号成立,令 x ?

1 (k ? N ? ) k

1 1 1 1? k 1 ? ln(1 ? ) 即 ? ln( ) ,所以 ? ln(1 ? k ) ? ln k (k ? 1,2,...,n) k k k k k 1 1 1 ? 累加得 1 ? ? ? ... ? ? ln( n ? 1)( n ? N ) .. 2 3 n
则, 【思路点拨】由函数的导数可判定函数的单调性,再根据函数的单调性求值,后两步根据已知利用导数进 行证明. 【题文】21. (本小题满分 14 分)

1 2 n an ? an ? 1(n ? N * ) 且 a1=3。 2 2 (1)求 a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项 an;
已知数列{an}满足 an ?1 ? (2)设数列 {bn } 满足 bn ?

7 13 2an ? 1 ? Sn ? ,Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求证: 。 60 24 an (an ? 1)(an ? 2)

【知识点】数列的通项公式;数列求和;数学归纳法 D2 D4 M3 【答案】 【解析】(1) an ? n ? 2, n ? N ? (2) 略 解析:1) a1 ? 3, a2 ? 4, a3 ? 5, a4 ? 6 ,猜想

an ? n ? 2, n ? N ? .......................3 分
下面用数学归纳法证明:①当 n ? 1 , a1 ? 3, 猜想成立。 ?假设当 n ? k (k ? 1, k ? N ) 时,猜想成立,即 ak ? k ? 2, 则当 n ? k ? 1 时,
?

ak ?1 ?

1 2 1 1 1 ak ? ka k ? 1 ? (k ? 2) 2 ? k (k ? 2) ? 1 ? k ? 3 ? (k ? 1) ? 2 ,即当 n ? k ? 1 时,猜想成立, 2 2 2 2

由??得, an ? n ? 2, n ? N ? ...................................7 分 (2) bn ?

2n ? 5 1 1 ? ? (n ? 2)(n ? 3)(n ? 4) (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)

- 11 -

1 1 1 1 1 ( ? )? ? 2 n?2 n?4 n?3 n?4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? )+ Sn ? b1 ? b2 ? ... ? bn = ( ? ? ? ? ... ? 2 3 5 4 6 n ?1 n ? 3 n ? 2 n ? 4 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ... ? ) 4 5 5 6 n?3 n?4 ?
=

1 7 1 1 1 1 13 1 3 ( ? ? )? ? ? ? ? 2 12 n ? 3 n ? 4 4 n ? 4 24 2(n ? 3) 2(n ? 4)
7 13 ? Sn ? ...............................................14 分 60 24

所以

【思路点拨】利用所给关系式求出前 4 项,再利用数学归纳法进行证明,第二步根据数列通项公式特点, 用裂项求和法进行证明.

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