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第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

时间:2015-11-12


单元综合测试三(第三章)
时间:90 分钟 分值:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 1.已知 f(x)=(x+a)2,且 f′(2)=-3,则 a 的值为( A.-1 C.1 B.-2 D.2 )

解析:f(x)=(x+a)2,∴f′(x)=2(x+a). 1 又 f′

(2)=-3,∴1+2a=-3,解得 a=-2. 答案:B 2.函数 y=sinx(cosx+1)的导数是( A.y′=cos2x-cosx C.y′=cos2x+cosx )

B.y′=cos2x+sinx D.y′=cos2x+cosx

解析: y′ = (sinx)′(cosx + 1) + sinx(cosx + 1)′ = cos2x + cosx - sin2x=cos2x+cosx. 答案:C 3.函数 y=3x-x3 的单调递增区间是( A.(0,+∞) C.(-1,1) )

B.(-∞,-1) D.(1,+∞)

解析:f′(x)=3-3x2>0?x∈(-1,1). 答案:C 4. 某汽车启动阶段的路程函数为 s(t)=2t3-5t2+2, 则 t=2 秒时,

汽车的加速度是( A.14 C.10

) B.4 D.6

解析:依题意 v(t)=s′(t)=6t2-10t, 所以 a(t)=v′(t)=12t-10,故汽车在 t=2 秒时的加速度为 a(2) =24-10=14. 答案:A π 5.若曲线 f(x)=xsinx+1 在 x=2处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 的值为( A.-2 C.1 ) B.-1 D.2

π 解析:f′(x)=xcosx+sinx,f′(2)=1, a ∴k=-2=-1,a=2. 答案:D 6.已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的 纵坐标为( A.1 C.-4 解析: ) B.3 D.-8

如图所示,由已知可设 P(4,y1),Q(-2,y2), ∵点 P,Q 在抛物线 x2=2y 上,
?42=2y1, ① ? ∴? 2 ? ??-2? =2y2, ② ? ?y1=8, ∴? ?y2=2, ?

∴P(4,8),Q(-2,2). 1 又∵抛物线可化为 y=2x2,∴y′=x. ∴过点 P 的切线斜率为 y′|x=4=4, ∴过点 P 的切线为 y-8=4(x-4),即 y=4x-8. 又∵过点 Q 的切线斜率为 y′|x=-2=-2. ∴过点 Q 的切线为 y-2=-2(x+2),即 y=-2x-2.
? ?y=4x-8, 联立? 解得 x=1,y=-4. ?y=-2x-2, ?

∴点 A 的纵坐标为-4. 答案:C 3 3 7.若函数 y=a(x3-x)的递增区间是(-∞,- 3 ),( 3 ,+∞),

则 a 的取值范围是( A.a>0 C.a>1

) B.-1<a<0 D.0<a<1

3 3 解析:依题意 y′=a(3x2-1)>0 的解集为(-∞,- 3 ),( 3 ,+ ∞),故 a>0. 答案:A 8.对任意的 x∈R,函数 f(x)=x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要 条件是( ) B.a=0 或 a=7 D.a=0 或 a=21

A.0≤a≤21 C.a<0 或 a>21

解析:f′(x)=3x2+2ax+7a,当 Δ=4a2-84a≤0,即 0≤a≤21 时,f′(x)≥0 恒成立,函数 f(x)不存在极值点.故选 A. 答案:A 9.已知函数 f(x)=x3-3x,若对于区间[-3,2]上任意的 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数 t 的最小值是( A.0 C.18 B.10 D.20 )

解析:f′(x)=3x2-3,令 f′(x)=0,解得 x=± 1,所以 1,-1 为函数 f(x)的极值点,因为 f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2) =2, 所以在区间[-3,2]上, f(x)max=2, f(x)min=-18, 所以对于区间[- 3,2]上任意的 x1,x2,|f(x1)-f(x2)|≤20,所以 t≥20,从而 t 的最小值为 20. 答案:D 10.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下 结论一定正确的是( )

A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 3 解析: 取函数 f(x)= x3- x,则 x=- 3 为 f(x)的极大值点,但 3 f(3)>f(- 3 ),∴排除 A.取函数 f(x)=-(x-1)2,则 x=1 是 f(x)的极大 值点, f(-x)=-(x+1)2, -1 不是 f(-x)的极小值点, ∴排除 B; -f(x) =(x-1)2,-1 不是-f(x)的极小值点,∴排除 C.故选 D. 答案:D 11.若函数 y=f(x)满足 xf′(x)>-f(x)在 R 上恒成立,且 a>b,则 ( ) A.af(b)>bf(a) C.af(a)<bf(b) B.af(a)>bf(b) D.af(b)<bf(a)

解析:设 g(x)=xf(x),则 g′(x)=xf′(x)+f(x)>0, ∴g(x)在 R 上是增函数, 又 a>b,∴g(a)>g(b)即 af(a)>bf(b). 答案:B ex e2 12.设函数 f(x)满足 x f′(x)+2xf(x)= x ,f(2)= 8 ,则 x>0 时,
2

f(x)(

) A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值

x 2 ex 2f?x? e -2x f?x? 解析: 由题意知 f′(x)=x3- x = .令 g(x)=ex-2x2f(x), x3

2ex 则 g′(x) = e - 2x f′(x) - 4xf(x) = e - 2(x f′(x) + 2xf(x)) = e - x =
x 2 x 2 x

2? e e ?1-x?.由 g′(x)=0 得 x=2,当 x=2 时,g(x)min=e2-2×22× 8 =0, ? ?
x?

2

g ?x ? 即 g(x)≥0,则当 x>0 时,f′(x)= x3 ≥0,故 f(x)在(0,+∞)上单调 递增,既无极大值也无极小值. 答案:D 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.若抛物线 y=x2-x+c 上一点 P 的横坐标为-2,抛物线过点 P 的切线恰好过坐标原点,则 c 的值为________. 解析:∵y′=2x-1,∴y′|x=-2=-5. 6+c 又 P(-2,6+c),∴ =-5. -2 ∴c=4. 答案:4 14.如果函数 f(x)=x3-6bx+3b 在区间(0,1)内存在与 x 轴平行的 切线,则实数 b 的取值范围是________. 解析:存在与 x 轴平行的切线,即 f′(x)=3x2-6b=0 有解,∵x x2 1 ∈(0,1),∴b= 2 ∈(0,2). 1 答案:{b|0<b<2} 15.已知 a≤4x3+4x2+1 对任意 x∈[-1,1]都成立,则实数 a 的

取值范围是________. 解析:设 f(x)=4x3+4x2+1,则 f′(x)=12x2+8x=4x(3x+2),令 2 2 43 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=-3.又 f(-1)=1, f(-3)=27,f(0)=1,f(1) =9,故 f(x)在[-1,1]上的最小值为 1,故 a≤1. 答案:(-∞,1] 16. 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为 f′(x), f′(0)>0, f?1? 若?x∈R,恒有 f(x)≥0,则 的最小值是________. f′?0? 解析:二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为 f′(x)=2ax+b, 由 f′(0)>0,得 b>0, 又对?x∈R,恒有 f(x)≥0,则 a>0, 且 Δ=b2-4ac≤0,故 c>0, f?1? a+b+c a c 所以 = b =b+b+1 f′?0? ≥2 ac b2 +1≥2 ac 4ac+1=2,

f?1? 所以 的最小值为 2. f′?0? 答案:2 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分) 2 17.(10 分)已知函数 f(x)=ln(2x+a)+x2,且 f′(0)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)求曲线 f(x)在 x=-1 处的切线方程. 解:(1)∵f(x)=ln(2x+a)+x2,

1 2 ∴f′(x)= · (2x+a)′+2x= +2x. 2x+a 2x+a 2 2 2 又∵f′(0)=3,∴a=3,解得 a=3. 故 f(x)=ln(2x+3)+x2. 4x2+6x+2 2 (2)由(1)知 f′(x)= +2x= , 2x+3 2x+3 且 f(-1)=ln(-2+3)+(-1)2=1, 4×?-1?2+6×?-1?+2 f′(-1)= =0, 2?-1?+3 因此曲线 f(x)在(-1,1)处的切线方程是 y-1=0(x+1),即 y=1. 1 18.(12 分)已知函数 f(x)=3x3+ax+b(a,b∈R)在 x=2 处取得极 4 小值-3. (1)求函数 f(x)的增区间; 10 (2)若 f(x)≤m2+m+ 3 对 x∈[-4,3]恒成立, 求实数 m 的取值范围. 4 8 解:(1)由已知得 f(2)=-3,f′(2)=0,又 f′(x)=x2+a,所以3+ 4 1 2a+b=-3,4+a=0,所以 a=-4,b=4,则 f(x)=3x3-4x+4,令 f′(x)=x2-4>0,得 x<-2 或 x>2,所以增区间为(-∞,-2),(2,+ ∞). 4 28 4 (2)f(-4)=-3,f(-2)= 3 ,f(2)=-3,f(3)=1,则当 x∈[-4,3] 28 10 时,f(x)的最大值为 3 ,故要使 f(x)≤m2+m+ 3 对∈[-4,3]恒成立, 28 10 只要 3 ≤m2+m+ 3 ,

所以实数 m 的取值范围是 m≥2 或 m≤-3. 19. (12 分)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线 y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4,故 b=4,a+b-4=4,所以 a=4, b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, 1 f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-2). 令 f′(x)=0,得 x=-ln2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;当 x∈(-2, -ln2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2) 上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值, 极大值为 f(-2)=4(1-e-2). 20.(12 分)已知函数 f(x)=x-alnx(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程. (2)求函数 f(x)的极值. a 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-x . 2 (1)当 a=2 时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-x(x>0), 所以 f(1)=1,f′(1)=-1,所以 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线 方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.

a x-a (2)由 f′(x)=1-x = x ,x>0 可知: ①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a; 因为 x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-alna,无极 大值.综上:当 a≤0 时,函数 f(x)无极值,当 a>0 时,函数 f(x)在 x =a 处取得极小值 a-alna,无极大值.

21.(12 分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食 品价格控制在适当范围内,决定给这种食品生产厂家提供政府补贴, 设这种食品的市场价格为 x 元/千克,政府补贴为 t 元/千克,根据市场 调查,当 16≤x≤24 时,这种食品日供应量 p 万千克,日需量 q 万千 20 克近似地满足关系: p=2(x+4t-14)(t>0), q=24+8ln x .当 p=q 时的 市场价格称为市场平衡价格. (1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于 20 元/千克, 政府补贴至少为多少元/ 千克? 解:(1)由 p=q 得 2(x+4t-14) 20 =24+8ln x (16≤x≤24,t>0), 13 1 20 即 t= 2 -4x+ln x (16≤x≤24). 1 1 ∵t′=-4-x <0,∴t 是 x 的减函数. 13 1 20 1 20 1 5 ∴tmin= 2 -4×24+ln24=2+ln24=2+ln6; 13 1 20 5 5 tmax= 2 -4×16+ln16=2+ln4, 5 5 5? ?1 ∴值域为?2+ln6,2+ln4?.
? ?

13 1 20 (2)由(1)知 t= 2 -4x+ln x (16≤x≤24). 13 1 20 而当 x=20 时,t= 2 -4×20+ln20=1.5(元/千克), ∵t 是 x 的减函数,∴欲使 x≤20,必须 t≥1.5(元/千克). 要使市场平衡价格不高于 20 元/千克,政府补贴至少为 1.5 元/千

克. 1 22.(12 分)已知函数 f(x)=lnx-2ax2-2x. (1)若函数 f(x)在 x=2 处取得极值,求实数 a 的值. (2)若函数 f(x)在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围. 1 1 (3)当 a=-2时,关于 x 的方程 f(x)=-2x+b 在[1,4]上恰有两个 不相等的实数根,求实数 b 的取值范围. ax2+2x-1 解:(1)由题意,得 f′(x)=- (x>0), x 3 因为 x=2 时,函数 f(x)取得极值,所以 f′(2)=0,解得 a=-4, 经检验,符合题意. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),依题意,f′(x)≥0 在 x>0 时恒 1-2x ?1 ? 成立,即 ax2+2x-1≤0 在 x>0 时恒成立,则 a≤ x2 =?x -1?2-1 ? ? 在 x>0 时恒成立,
??1 ? ? 即 a≤??x -1?2-1?min(x>0), ?? ? ? ?1 ? 当 x=1 时,?x -1?2-1 取最小值-1, ? ?

所以 a 的取值范围是(-∞,-1]. 1 1 (3)当 a=-2时,f(x)=-2x+b, 1 3 即4x2-2x+lnx-b=0. 1 3 设 g(x)=4x2-2x+lnx-b(x>0),

则 g′(x)=

?x-2??x-1? , 2x

当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表: x g ′( x ) g (x ) (0,1) + ? 1 0 极大 (1,2) - ? 2 0 极小 (2,4) + ?

所以 g(x)极小值=g(2)=ln2-b-2, 5 g(x)极大值=g(1)=-b-4, 又 g(4)=2ln2-b-2, 因为方程 g(x)=0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根, g?1?≥0, ? ? 则?g?2?<0, ? ?g?4?≥0, 5 解得 ln2-2<b≤-4,

5 所以实数 b 的取值范围是(ln2-2,-4).


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