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上海市杨浦区2013年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷答案


上海市杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理)

参考答案

一.填空题:
1. 0;2. 2 ;3.2;4. ? 8. 2013;9.③⑤;10. 12. 48;13.

?x ? 1 3 (向量表示也可) ;5. arctan 2 ;6. ? ;7. 50? 3 ?y ? 1

/>
7 2 ;11. y ? 2 x ? 2 x 36

21 ;14. 0; 2

二、选择题:
15. ( A) ;16. (D) ;17. (B ) ;18. (C ) .

三、解答题
19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (1)由已知得, AC ? 2 , AB ? 2 3 , 所以 ,体积 VP ?? ABC ? ………2 分 ………5 分

1 8 3 S ?ABC PA ? 3 3

(2)取 AC 中点 F ,连接 DF , EF ,则 AB // DF , 所以 ?EDF 就是异面直线 AB 与 ED 所成的角 ? . ………7 分

由已知, AC ? EA ? AD ? 2 , AB ? 2 3 , PC ? 2 5 ,

? AB ? EF , ? DF ? EF .
在 Rt?EFD 中, DF ? 3 , EF ? 5 , 所以, tan? ?

………10 分

15 . 3

………12 分

(其他解法,可参照给分) 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 解: (1)因为 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 sin 2 x

? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1
? 2 sin( 2 x ?
所以, T ?

………2 分

?
6

) ?1

………4 分

2? ? ? ,即函数 f ( x) 的最小正周期为 ? 2

………5 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? , ? k? ? x ? ? k? , (k ? Z ) 2 6 3

所以 f (x) 的单调递减区间为 [ (2)因为 ? 所以有 ?

?
6

? k? ,

2? ? k? ], (k ? Z ) 3

………7 分

?
6

?x?

?
3

,得 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? , 6
………8 分

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6

由 ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 ,即 ? 2 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1 ? 1

………10 分

所以,函数 f ? x ? 的最大值为 1. 此时,因为 ?

………12 分

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? ? ? ? ,所以, 2 x ? ? ,即 x ? . 6 6 2 6

………14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 解: (1)设椭圆 T 的方程为 所以 2a ?| EF | ? | EF ' | ? 解得 a ? 2 2 , b ? 2 .

x2 y 2 ? ? 1 ,由题意知:左焦点为 F ' (?2, 0) a 2 b2
2 ?3 2 ,
………4 分

x2 y 2 故椭圆 T 的方程为 ? ? 1. 8 4
分 (方法 2、待定系数法) (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) , M ( s1 , t1 ), N ( s2 , t2 ), P ( s3 , t3 ) , 由: x1 ? 2 y1 ? 8 , x2 ? 2 y2 ? 8 ,
2 2 2 2

………6

………8

分 两式相减,得到

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0
所以 k1 ? 分

y1 ? y2 1 x ?x 1s t 1 ? ? 1 2 ? ? 1 ,即 ? ?2 1 , x1 ? x2 2 y1 ? y2 2 t1 k1 s1

………11

t t 1 1 ? ?2 2 , ? ?2 3 k2 s2 k3 s3 t t t 1 1 1 ? ? ?2( 1 ? 2 ? 3 ) ,又因为直线 OM , ON , OP 的斜率之和为 0, 所以 ? k1 k2 k3 s1 s2 s3 1 1 1 ? ?0 所以 ? ………14 分 k1 k2 k3
同理 方法 2、(可参照方法 1 给分) 设直线 AB : y ? t1 ? k1 ( x ? s1 ) ,代入椭圆 x ? 2 y ? 8 ,得到
2 2

(1 ? 2k12 ) x 2 ? 4(t1 ? k1s1 )k1 x ? 2(t1 ? k1s1 ) 2 ? 8 ? 0 ?4(t1 ? k1s1 )k1 1s x1 ? x2 ? ? 2s1 ,化简得 k1 ? ? 1 2 1 ? 2k1 2 t1
(以下略) 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)由已知得,? 当且仅当 x ?

x ? 0 ,则 f ( x) ? x ?

2 ?2 2 x

………1 分

? M ? 2 2, ??

?

2 时,即 x ? 2 等号成立, x

?

………3 分

所以, CU M ? ? ? , 2 2 (2)由题得 a ? ?? x ?

?

?

………4 分

? ?

2? ? x?

………5 分

函数 y ? ?? x ?

? ?

9 2? ? 1? ? 在 x ? ? 0 , ? 的最大值为 ? 2 x? ? 2?

………9 分

?a ? ?


9 2

………10

(3)设 P? x 0 , x 0 ? ?

? ?

2 x0

? ? 2? ? ,则直线 PA 的方程为 y ? ? x 0 ? ? ? ?? x ? x 0 ? , ? ? x0 ? ? ? ?
………11 分

即 y ? ? x ? 2 x0 ?

2 , x0
得 A( x0 ?

?y ? x ? 由? 2 y ? ? x ? 2 x0 ? ? x0 ?
分 又 B ? 0, x 0 ? ?

1 1 , x0 ? ) x0 x0

………13

? ?

2 x0

? ?, ? ?

………14 分

所以 PA ? ( 分

1 1 1 ,? ) , PB ? (? x0 ,0) ,故 PA ? PB ? (? x0 ) ? ?1 x0 x0 x0

………16

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1) a1 ?

2 ? 2 ? 1 , a2 ?

1 ? a1

1 ? 2 ?1

2 ? 1 ? 2 ?1 ,

………2 分

ak ? 2 ? 1 ,则 a k ?1 ?
所以 an ? 2 ?1 . 分 (2) a1 ? a ? a ,所以 ① 当

1 ? ak

2 ?1 ? 2 ?1
………4

1 1 ? a ? 1 ,所以 ? ? ? 4 , 4 a

1 1 1 1 1 2 ? a ? 1 ,即 ? ? ? 2 时, a2 ? ? ? ? 1 ? a ,所以 a ? a ? 1 ? 0 , 2 a a1 a a

解得 a ? 分

?1 ? 5 1 ?1 ? 5 (a ? ? ( , ,舍去). 1) 2 2 2

………6

1 1 1 ② ? a ≤ ,即 2 ≤ ? 3 时, a2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? a ,所以 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 , 当 3 2 a a1 a a
解得 a ? ③当

1 1 ?2 ? 8 ? 2 ? 1( a ? ? 2 ? 1? ( , ] ,舍去). 3 2 2

………7 分

1 1 1 1 1 1 2 ? a ≤ ,即 3 ≤ ? 4 时, a2 ? ? ? ? 3 ? a ,所以 a ? 3a ? 1 ? 0 , 4 3 a a1 a a
………9 分 ………10 分 ………11 分

?3 ? 13 1 1 ?3 ? 13 (a ? ? ( , ] ,舍去). 2 4 3 2 ?1 ? 5 ?3 ? 13 综上, ? , ?. a ? 2 ? 1, a? a? 2 2
解得 a ? (3)成立. (证明 1) 由 a 是有理数, 可知对一切正整数 n ,an 为 0 或正有理数, 可设 a n ?

pn ( p n 是非负整数, qn
………12 分

qn 是正整数,且
①由 a1 ?

pn 既约). qn

p p ? 1 ,可得 0 ? p1 ? q ; q q1

………13 分

②若 p n ? 0 ,设 qn ? ?pn ? ? ( 0 ? ? ? pn , ? , ? 是非负整数) 则

qn pn q ? 1 ?? ? ? n ,而由 a n ? 得 pn qn an pn pn
q 1 ? ? n ? ,故 pn ?1 ? ? , qn?1 ? pn ,可得 0 ? pn?1 ? pn an pn pn
………14 分

a n ?1 ?

若 p n ? 0 则 pn?1 ? 0 , 若 a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq 均不为 0,则这 q 正整数互不相同且都小于 q , 但小于 q 的正整数共有 q ? 1 个,矛盾.

………15 分

………17 分

故 a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq 中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? q) ,使得 a m ? 0 . 从而数列 ?an ?中 a m 以及它之后的项均为 0,所以对不大 q 于的自然数 n ,都有 an ? 0 . (证法 2,数学归纳法) (其它解法可参考给分) ………18 分

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