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(08)高考数学一轮复习必备(第16课时):第二章+函数-指数函数与对数函数

时间:2016-11-08


高考数学一轮复习必备:第二章 函数-指数函数与对数函数
一、选择题(共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) x x 1. (5 分)设 x>0,且 a <b <1(a>0,b>0) ,则 a 与 b 的大小关系是( A.b<a<1 B.a<b<1 C.1<b<a 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 2. (4 分)若 a >b>a>1,则
x y z 2

) D.1<a<b

,logba,logab 从小到大依次为 _________ .

3. (4 分)若 2 =3 =5 ,且 x,y,z 都是正数,则 2x,3y,5z 从小到大依次为 _________ . 4. (4 分)已知函数 f(x)=|lgx|,若 ) ,则 f(a) 、f(b) 、f(c)从小到大依次为 _________ . (注:

5. (4 分)若 a 为方程 2 +x=0 的解,b 为不等式 log2x>1 的解,c 为方程 为________ 6. (4 分) (2007?长宁区一模) 若函数 ( f x) =2 三、解答题(共 2 小题,满分 0 分) 7. (2010?东城区二模)已知函数 (a>1) ,求证:
﹣|x﹣1|

x

的解,则 a、b、c 从小到大依次

﹣m 的图象与 x 轴有交点, 则实数 m 的取值范围是 _________ .

(1)函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数; (2)方程 f(x)=0 没有负数根.

8.已知函数 f(x)=loga(a ﹣1) (a>0 且 a≠1) .求证: (1)函数 f(x)的图象在 y 轴的一侧; (2)函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0.

x

2

高考数学一轮复习必备(第 16 课时) :第二章 函数-指数函数与对数函数 参考答案与试题解析
一、选择题(共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 1. (5 分)设 x>0,且 a <b <1(a>0,b>0) ,则 a 与 b 的大小关系是( A.b<a<1 B. a<b<1 C. 1<b<a 分析: 用特值法,取 x=1,代入比较大小可得答案. 解答: 解:取 x=1,得 a<b<1,故选 B. 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 2. (4 分)若 a >b>a>1,则 分析:
2 x x

) D. 1<a<b

,logba,logab 从小到大依次为

<logba<1<logab .
2

由 b>a>1 知 logba<1<logab, 解题的关键是判断 从而得到 <logba.最后把

和 logba 的大小关系. 由 a >b>a>1 推导出



,logba,logab 从小到大依次排列. <logba<1<logab.

解答: 点评:

解:由 a >b>a>1 得 由 a >b>a>1 推导出
2

2

,∵b>a> >1,∴ ,是判断

和 logba 的大小关系的关键步骤.

3. (4 分)若 2 =3 =5 ,且 x,y,z 都是正数,则 2x,3y,5z 从小到大依次为 3y<2x<5z . 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 分析: 先将指数式化为对数式,再由作差判断大小. 解答: x y z 解:令 2 =3 =5 =t,则 t>1, , , ,
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x

y

z



,∴2x>3y;

同理可得:2x﹣5z<0,∴2x<5z,∴3y<2x<5z.故答案为:3y<2x<5z 4. (4 分)已知函数 f(x)=|lgx|,若 (c) . (注: 分析: f(x)=|lgx|,若 ) ,则 ,且 lg >lga>lgb>0, ,则 f(a) 、f(b) 、f(c)从小到大依次为 f(b)<f(a)<f

故 f(b)<f(a)<f( )=f(c) . 解答: 解:∵函数 f(x)=|lgx|, ∴ ∵且 ,∴a>b>1>c>0, .

∴f(a)=|lga|=lga,f(b)=|lgb|=lgb,f(c)=|lgc|=﹣lgc=lg =f( ) , 且 ,∴lg >lga>lgb>0,∴f(b)<f(a)<f(c) .
3

故答案为:f(b)<f(a)<f(c) . 点评: 本题是比较对数的大小,先判断符号,再比较大小. 5. (4 分)若 a 为方程 2 +x=0 的解,b 为不等式 log2x>1 的解,c 为方程
x

的解,则 a、b、c 从小到大依次

为 a<c<b 分析: 先将方程的解转化成图象交点问题,再依据对数函数的图象与的性质,指数的图象与的性质,分别确定 a、 b、c 数值的大小,然后判定它们之间的大小即可. 解答: 解:方程 2x+x=0 化为:2x=﹣x,画出左右两式的函数图象知:a<0; 由图可知,方程 的解:0<b<1; 不等式 log2x>1 的解:x>2,∴b>2. 故 a<c<b.故答案为:a<c<b.

6. (4 分) (2007?长宁区一模) 若函数 f (x) =2 ﹣m 的图象与 x 轴有交点, 则实数 m 的取值范围是 0<m≤1 . 专题: 转化思想. ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ 分析: 题目中条件:“函数 f(x)=2 |x 1|﹣m 的图象与 x 轴有交点,”转化成函数 m=2 |x 1|的图象与 x 轴有交点, 即函数的值域问题求解. ﹣ ﹣ 解答: 解:∵函数 f(x)=2 |x 1|﹣m 的图象与 x 轴有交点, ∴函数 m=2 的图象与 x 轴有交点, ﹣|x﹣1| ∴即函数 m=2 的值域问题. ﹣|x﹣1| ∴m=2 的∈(0,1]. 故填:0<m≤1. 点评: 本题考查函数与方程思想在求解范围问题中的应用,函数与方程中蕴涵着丰富的数学思想方法,在解有关 函数与方程问题时,应注意数学思想方法的挖掘、提炼、总结,以增强分析问题和解决问题的能力 三、解答题(共 2 小题,满分 0 分) 7. (2010?东城区二模)已知函数 (a>1) ,求证:
﹣|x﹣1|

﹣|x﹣1|

(1)函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数; (2)方程 f(x)=0 没有负数根. 分析: (1)证明函数的单调性,一个重要的基本的方法就是根据函数单调性的定义; (2)对于否定性命题的证明,可用反证法,先假设方程 f(x)=0 有负数根,经过层层推理,最后推出一 个矛盾的结论. 解答: 证明: (1)设﹣1<x1<x2, 则
4

= ∵﹣1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x1﹣x2<0, ∴ ;



∵﹣1<x1<x2,且 a>1,∴

,∴



∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数; (2)假设 x0 是方程 f(x)=0 的负数根,且 x0≠﹣1,则 ,

即 当﹣1<x0<0 时,0<x0+1<1,∴ ∴ ,而由 a>1 知

,① , .∴①式不成立; ,∴ ,而 .

当 x0<﹣1 时,x0+1<0,∴

∴①式不成立.综上所述,方程 f(x)=0 没有负数根. 点评: (1)函数的单调性就是随着 x 的变大,y 在变大就是增函数,y 变小就是减函数,具有这样的性质就说函 数具有单调性,符号表示:就是定义域内的任意取 x1,x2,且 x1<x2,比较 f(x1) ,f(x2)的大小 (当 f (x1)<f(x2)则是增函数,当 f(x1)>f(x2)则是减函数) ; (2)方程的根,就是指使方程成立的未知数的值.对于结论是否定形式的命题,往往用反证法证明. 8.已知函数 f(x)=loga(a ﹣1) (a>0 且 a≠1) .求证: (1)函数 f(x)的图象在 y 轴的一侧; (2)函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0. 分析: (1)由 ax﹣1>0 得:ax>1,a>1 时,函数 f(x)的图象在 y 轴的右侧;当 0<a<1 时,x<0,函数 f(x) 的图象在 y 轴的左侧.所以函数 f(x)的图象在 y 轴的一侧. (2)设 A(x1,y1) 、B(x2,y2)是函数 f(x)图象上任意两点,且 x1<x2,则直线 AB 的斜率 ,
x

,再分 a>1 和 0<a<1 两种情况分别 进行讨论. x x 解答: 证明: (1)由 a ﹣1>0 得:a >1, ∴当 a>1 时,x>0,即函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 此时函数 f(x)的图象在 y 轴的右侧; 当 0<a<1 时,x<0,即函数 f(x)的定义域为(﹣∞,0) , 此时函数 f(x)的图象在 y 轴的左侧. ∴函数 f(x)的图象在 y 轴的一侧; (2)设 A(x1,y1) 、B(x2,y2)是函数 f(x)图象上任意两点,且 x1<x2,
5

则直线 AB 的斜率





当 a>1 时,由(1)知 0<x1<x2,∴ ∴ ,





,∴y1﹣y2<0,又 x1﹣x2<0,∴k>0;

当 0<a<1 时,由(1)知 x1<x2<0,∴ ∴ ,





,∴y1﹣y2<0,又 x1﹣x2<0,∴k>0.

∴函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0. 点评: 本题考查对数函数的性质和综合应用,解题时注意分类讨论思想的合理应用.

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