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1.2.2 空间中的平行关系(4)——平面与平面平行(人教B版必修2)

时间:2017-09-08


1.2.2

空间中的平行关系(4)——平面与平面平行
自主学习

学习目标 1.掌握两平面平行的定义、图形的画法以及符号表示. 2.理解两平面平行的判定定理及性质定理,并能应用定理.证明线线、线面、面面的 平行关系. 自学导引 1.两个平面平行的定义: ______________________________________

__________________________________. 2.平面与平面平行的判定定理: __________________________________________________________. 图形表示:

符号表示: ________________________________________________________________________. 推论: 如果一个平面内有两条____________分别平行于另一个平面内的__________, 则 这两个平面平行. 3.平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么____________________________. 符号表示:若平面 α、β、γ 满足________________________,则 a∥b. 上述定理说明,可以由平面与平面平行,得出直线与直线平行. 对点讲练 知识点一 平面与平面平行的判定 例1 已知 E、F、E1、F1 分别是三棱柱 A1B1C1—ABC 棱 AB、AC、A1B1、A1C1 的中

点. 求证:平面 A1EF∥平面 E1BCF1.

点评 要证平面平行, 依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于 另一个平面即可.另外在证明线线、线面以及面面平行时,常进行如下转化:线线平行
线面平行的判定

― -------→ 线面平行 ― ― ------→ 面面平行. 变式训练 1 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、E、F 分别为棱 A1B1,A1D1,B1C1,

面面平行的判定

C1D1 的中点. 求证:平面 AMN∥平面 EFDB.

知识点二 用面面平行的性质定理证线面平行与线线平行 例 2 已知 M、N 分别是底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 棱 AB、PC 的中点, 平面 CMN 与平面 PAD 交于 PE,求证: (1)MN∥平面 PAD; (2)MN∥PE.

点评 该题充分体现了线线平行、 线面平行、 面面平行之间的相互转化关系. 一般来说, 证线面平行时,若用线面平行的判定定理较困难,改用面面平行的性质是一个较好的想法. 变式训练 2

如图所示, 正方体 ABCD—A′B′C′D′中, 点 E 在 AB′上, 点 F 在 BD 上, 且 B′E =BF. 求证:EF∥平面 BB′C′C.

知识点三 综合应用

例3

如图所示,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=60° ,PA=AC=a,

PB=PD= 2a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1.那么,在棱 PC 上是否存在一点 F,使得 BF∥平面 AEC?证明你的结论.

点评 解答开放性问题, 要结合题目本身的特点与相应的定理, 大胆地猜想, 然后证明. 变式训练 3

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、 CD 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足______时, 有 MN∥平面 B1BDD1.

1.在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程:

2.注意两个问题 (1)一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内的一切直线,这种说法是不对的, 但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行. (2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必定平行于另一平面,但这两个平面内的直 线不一定相互平行,也有可能异面. 课时作业 一、选择题 1.设平面 α∥平面 β,直线 a?α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中( ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在惟一一条与 a 平行的直线 2.对于直线 m、n 和平面 α,下列命题中是真命题的是( ) A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m∥α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n 3.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一个充分而不必要条件是( ) A.m∥β 且 l1∥α B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2 4.设 α∥β,A∈α,B∈β,C 是 AB 的中点,当 A、B 分别在平面 α、β 内运动时,那 么所有的动点 C( ) A.不共面 B.当且仅当 A、B 分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.不论 A、B 如何移动,都共面 5.已知平面 α 外不共线的三点 A,B,C 到 α 的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于 α B.平面 ABC 必与 α 相交 C.平面 ABC 必不垂直于 α D.存在△ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内 题 答 号 案 1 2 3 4 5

二、填空题 6.下面的命题在“________”处缺少一个条件,补上这个条件,使其构成真命题(m,

n 为直线,α,β 为平面),则此条件应为________. m?α n?α m∥β n∥β

? ? ??α∥β ? ?

7.平面 α∥平面 β,△ABC 和△A′B′C′分别在平面 α 和平面 β 内,若对应顶点的 连线共点,则这两个三角形________. 8.下列命题正确的是________.(填序号) ①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行. 三、解答题 9.已知两条异面直线 BA、DC 与两平行平面 α、β 分别交于 B、A 和 D、C,M、N 分 别是 AB、CD 的中点.求证:MN∥平面 α.

10.

如图所示 E、F、G、H 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的 中点, 求证:(1)GE∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H.

【答案解析】 自学导引 1.没有公共点的两个平面 2.如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行 a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α 相交直线 两条直线 3.它们的交线平行 α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b 对点讲练 例 1 证明

∵EF 是△ABC 的中位线,∴EF∥BC. ∵EF?平面 E1BCF1, BC?平面 E1BCF1, ∴EF∥平面 E1BCF1. ∵A1E1 EB, ∴四边形 EBE1A1 是平行四边形, ∴A1E∥E1B. ∵A1E?平面 E1BCF1,E1B?平面 E1BCF1, ∴A1E∥平面 E1BCF1. 又∵A1E∩EF=E,∴平面 A1EF∥平面 E1BCF1. 变式训练 1 证明

如图,连接 A1C1,AC. 设 A1C1 分别交 MN、EF 于 P、Q, AC 交 BD 于 O. 连接 AP,OQ,B1D1. 在矩形 A1ACC1 中,PQ∥AO, ∵M、N、E、F 分别是所在棱的中点, ∴MN 1 1 D B ,EF D1B1, 2 1 1 2

1 ∴P、Q 分别是四等分点,∴PQ= AC, 2 1 又∵AO= AC,∴PQ AO. 2

∴四边形 PQOA 为平行四边形,∴AP∥OQ. ∴AP∥平面 EFDB.又∵MN∥B1D1,EF∥B1D1, ∴EF∥MN,∴MN∥平面 EFDB, ∴平面 AMN∥平面 EFDB. 例 2 证明 (1)取 DC 中点 Q,连接 MQ、NQ.

∵NQ 是△PDC 的中位线, ∴NQ∥PD. ∵NQ?平面 PAD,PD?平面 PAD, ∴NQ∥平面 PAD. ∵M 是 AB 中点,ABCD 是平行四边形, ∴MQ∥AD,MQ?平面 PAD,AD?平面 PAD. 从而 MQ∥平面 PAD. ∵MQ∩NQ=Q,∴平面 MNQ∥平面 PAD. ∵MN?平面 MNQ,∴MN∥平面 PAD. (2)∵平面 MNQ∥平面 PAD, 平面 PEC∩平面 MNQ=MN, 平面 PEC∩平面 PAD=PE.∴MN∥PE. 变式训练 2 证明 方法一 连接 AF 延长交 BC 于 M,连接 B′M. ∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB,



AF DF = . MF BF

又∵BD=B′A,B′E=BF, AF AE ∴DF=AE.∴ = . FM EB′ ∴EF∥B′M, 又∵B′M?平面 BB′C′C,EF?面 BB′C′C, ∴EF∥平面 BB′C′C.

方法二 作 FH∥AD 交 AB 于 H,连接 HE. ∵AD∥BC,∴FH∥BC,

又∵BC?平面 BB′C′C,FH?平面 BB′C′C, ∴FH∥平面 BB′C′C. BF BH 由 FH∥AD,可得 = , BD BA B′E BH 又 BF=B′E,BD=AB′,∴ = , B′A BA ∴EH∥BB′, ∵B′B?平面 BB′C′C,EH?面 BB′C′C, ∴EH∥平面 BB′C′C,又 EH∩FH=H, ∴平面 FHE∥平面 BB′C′C, ∵EF?平面 FHE,∴EF∥平面 BB′C′C. 例3 解

如图所示,当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC, 证明如下: 取 PE 的中点 M,连接 FM, 则 FM∥CE.① 1 由 EM= PE=ED 知,E 是 MD 的中点,连接 BM、BD,设 BD∩AC=O,则 O 为 BD 2 的中点, 所以 BM∥OE.② 又 BM∩FM=M,③ 由①②③可得,平面 BFM∥平面 AEC. 又 BF?平面 BFM,所以 BF∥平面 AEC. 变式训练 3 M∈线段 FH 解析 ∵HN∥BD,HF∥DD1, HN∩HF=H,BD∩DD1=D, ∴平面 NHF∥平面 B1BDD1, 故线段 FH 上任意点 M 与 N 连接, 有 MN∥平面 B1BDD1. 课时作业 1.D [直线 a 与 B 可确定一个平面 γ, ∵B∈β∩γ,∴β 与 γ 有一条公共直线 b. 由线面平行的性质定理知 b∥a,所以存在性成立. 因为过点 B 有且只有一条直线与已知直线 a 平行,所以 b 惟一.] 2.C [若 m?α,n?α,m,n 是异面直线,如图(1)所示,此时 n 与 α 相交,故 A 不正 确.B 项若 m?α,n?α,m,n 是异面直线,如图(2)所示,此时 m 与 n 为异面直线,而 n 与 α 平行,故 B 不正确.D 项如果 m∥α,n∥α,m,n 共面,如图(3)所示,m 与 n 可能相 交,故 D 不正确.]

3.B

如图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB∥面 A1B1CD, CD∥面 A1B1BA, 但面 A1B1CD 与面 A1B1BA 相交, 故 A 不正确; 取 AD 中点为 E, BC 中点为 F, 则 EF∥面 ABB1A1, C1D1∥ 面 ABB1A1, 但面 ABB1A1 与面 EFC1D1 不平行, 故 C 不对; 虽然 EF∥AB 且 C1D1∥面 A1B1BA, 但是面 EFC1D1 与面 A1B1BA 不平行,故 D 不正确. 对于选项 B,当 l1∥m,l2∥n 且 m?α,n?α 时,有 l1∥α,l2∥α.又 l1 与 l2 相交且都在 β 内,∴α∥β,而 α∥β 时,无法推出 m∥l1 且 n∥l2.∴l1∥m 且 l2∥n 是 α∥β 的充分不必要 条件.] 4.D

如图所示, A′、 B′分别是 A、 B 两点在 α、 β 上运动后的两点, 此时 AB 中点变成 A′B′ 中点 C′,连接 A′B,取 A′B 中点 E.连接 CE、C′E. 则 CE∥AA′,∴CE∥α. C′E∥BB′,∴C′E∥β. 又∵α∥β,∴C′E∥α.∵C′E∩CE=E. ∴平面 CC′E∥平面 α. ∴CC′∥α.所以不论 A、B 如何移动,所有的动点 C 都在过 C 点且与 α、β 平行的平面 上.] 5.D [A,B,C 在平面 α 的异侧时,A 错;而 A,B,C 在平面 α 同侧时,B 错;A, B,C 在平面 α 的异侧时,平面 ABC 有可能垂直于平面 α,C 错.] 6.m,n 相交 7.相似 解析 由于对应顶点的连线共点,则 AB 与 A′B′共面, 由面与面平行的性质知 AB∥A′B′, 同理 AC∥A′C′,BC∥B′C′,故两个三角形相似. 8.③④ 9.

证明 过 A 作 AE∥CD 交 α 于 E,取 AE 的中点 P, 连接 MP、PN、BE、ED. ∵AE∥CD, ∴AE、CD 确定平面 AEDC. 则平面 AEDC∩α=DE, 平面 AEDC∩β=AC, ∵α∥β,∴AC∥DE. 又 P、N 分别为 AE、CD 的中点, ∴PN∥DE.PN?α,DE?α, ∴PN∥α.又 M、P 分别为 AB、AE 的中点, ∴MP∥BE,且 MP?α,BE?α, ∴MP∥α,又∵MP∩PN=P,∴平面 MPN∥α. 又 MN?平面 MPN,∴MN∥α. 10.证明 (1)取 B1D1 中点 O,连接 GO,OB,

易证 OG∥B1C1, 1 且 OG= B1C1, 2 1 BE∥B1C1,且 BE= B1C1, 2 ∴OG∥BE 且 OG=BE, 四边形 BEGO 为平行四边形.∴OB∥GE. ∵OB?平面 BDD1B1,GE?平面 BDD1B1, ∴GE∥平面 BDD1B1. (2)由正方体性质得 B1D1∥BD, ∵B1D1?平面 BDF,BD?平面 BDF, ∴B1D1∥平面 BDF.连接 HB,D1F, 易证四边形 HBFD1 是平行四边形,得 HD1∥BF. ∵HD1?平面 BDF,BF?平面 BDF, ∴HD1∥平面 BDF,∵B1D1∩HD1=D1, ∴平面 BDF∥平面 B1D1H.


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