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广东省实验中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

时间:2013-07-28


广东实验中学2012—2013学年(下)高一级期末考试





本试卷共22小题,共4页,满分150分,考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、考号填写在答题卷 上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在各题目指定区域内的相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷收回。

第一部分

基础检测

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A.30° B.60° ) C.120° ) B. log2 a ? log2 b D. b ? ab ? D.150°

2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定不成立的是( A.

1 1 ? a b

C. a 2 ? b2 ? 2a ? 2b ? 2

a?b ?a 2
).

3.设 ?an ? 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 ?an ? 前 8 项的和为( A.56 B.64 C.80 D.128

? x2 ?1 ? 0 4.不等式组 ? 2 的解集是 ? x ? 3x ? 0
A. x ?1 ? x ? 1

( )

?

?

B. x 1 ? x ? 3

?

?

C. x ?1 ? x ? 0

?

?

D. x x ? 3或x ? 1 (

?

?
)

5.已知△ABC 中, a =10, b ? 5 6 , A=45°,则 B 等于 A.60° B.120° C.30° D.60°或 120°

6.运行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值为(



A .-2 C. 4

B .3 D. 8

7.已知点 A(1,3) , B(3,1 ) , C(-1,0) ,则 ?ABC 的面积为( A.5 B.6 C.7 D.8 ) B.(-∞,0)∪(1,+∞)



8.已知等比数列{an}中 a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[3,+∞)

D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

? x ? 2y ? 2 ? 9.变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z=3x+y-3 的取值范围是 ?4 x ? y ? ?1 ?
A. [ ,9]

( )

3 2

B. [ ?

3 , 6] 2

C. [?2,3]

D. [1, 6]

10.已知直线 l1: y=x·sinα 和直线 l2: y=2x+c, 则直线 l1 与 l2 A.通过平移可以重合 C.可能与 x 轴围成等腰直角三角形 B.不可能垂直 D.通过绕 l1 上某点旋转可以重合

( )

二.填空题(每题 5 分,共 20 分。其中 14 题(1)2 分、 (2)3 分) 11.若关于 x 的不等式 mx2-mx+1<0 的解集不是 空集,则 m 的取值范围是________. .. 12. 已知 b>0, 直线 b2x+y+1=0 与 ax-(b2+4)y+2=0 互相垂直, 则 ab 的最小值为________. 13.点 P( a ,4)到直线 x-2y+2=0 的距离等于 2 5,且在不等式 3x+y>3 表示的平面区域 内,则 P 点坐标为________. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,2),C(-2,-1) (1) 以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为______________; (2) ?ABC 内角 B 的角平分线所在直线的方程是______________. 三.解答题(每题 10 分,共 30 分)

15.(10 分) 求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4)的距离 为 1 的直线 l 的方程.

16.(10 分). 已知 f ( x) ? ?3x 2 ? a(5 ? a) x ? b . (1)当不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?1, 3) 时, 求实数 a, b 的值; (2)若对任意实数 a , f (2) ? 0 恒成立, 求实数 b 的取值范围.

17. (10 分) 如图,在 ?ABC 中, B ? (1)求 sin A ; (2)记 BC 的中点为 D,求中线 AD 的长.

?
4

, AC ? 2 5 , cos C ?

2 5 5

第二部分

综合能力检测

18. (5 分)点 A(1,3)关于直线 y=kx+b 对称的点是 B (-2,1),则直线 y=kx+b 在 x 轴上 的 . .. 截距是( ) A. ?

5 6

B.

5 6

C.

1 6

D. ?

1 6

19 . ( 5 分 ) 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 恒 不 为 零 的 函 数 , 对 任 意 实 数 x 、 y ? R , 都 有

f ( x) f ( y )? f ( x ?
取值范围是

y ) a1 ? ,若
( )

1 ,an ? f (n) ( n ? N? ) ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 的 2
?1 ? ? ?
?1 ?2 ? ?

A . ? , 2? 2

?1 ?

? ?

B . ? , 2? ?2 ?

?1

?

C . ? , 1? 2

D . ? ,1?

20. (12分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级

籽棉1吨; 生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨, 二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为900 元, 每1吨乙种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中, 要求消耗一级籽棉 不超过250吨,二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨,能使利润总额 最大?并求出利润总额的最大值.

21. (14 分)已知函数 f ?x? ? 2x , x ? R. (1)若存在 x ? ?? 1,1? ,使得 f ? x ? ?

a ? 2 成立,求实数 a 的取值范围; f ?x ?

(2)解关于 x 的不等式 f ?2 x ? ? ?a ? 1? f ?x ? ? a ; (3) 若 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? f ?x2 ?,f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? ? f ?x1 ? f ?x2 ? f ?x3 ? , 求 x3 的最 大值.ks5u

22. (14 分)已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,点 An ( an?1 , an ? 1) 在抛物线 y ? x 上;
2

数列 ?bn ? 中,点 B n (n, bn ) 在过点(0, 1) ,以 k ? 2 为斜率的直线上。 (1)求数列 ?an ? , ?bn ?的通项公式;ks5u (2)若 f (n) ? ?

?a n

(n为奇数)

?bn (n为偶数)

, 问是否存在 k ? N ,使 f (k ? 27) ? 4 f (k ) 成立,

若存在,求出 k 值;若不存在,说明理由; (3)对任意正整数 n ,不等式

a n?1 an ? ? 0 恒成立,求 1 1 1 n ? 2 ? a n (1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) b1 b2 bn

正数 a 的取值范围。

广东实验中学 2012---2013 学年高一下学期期末考数学试题 及评分标准
第一部分 基础检测

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角是( B ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定不成立的是( C ) 1 1 (A) ? (B) log2 a ? log2 b a b a?b (C) a 2 ? b2 ? 2a ? 2b ? 2 (D) b ? ab ? ?a 2 3.设 ?an ? 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 ?an ? 前 8 项的和为( B ). (A)56 4.不等式组 ? A . (B)64 (C)80 (D)128 ( C ) C . x ?1 ? x ? 0

? x2 ?1 ? 0 的解集是 2 ? x ? 3x ? 0
B .

? x ?1 ? x ? 1?
A . 60°

? x 1 ? x ? 3?

?

?

D . x x ? 3或x ? 1 (

?

?

5.已知△ABC 中,a =10,b ? 5 6 , A=45°, 则 B 等于 B . 120° C . 30° D . 60°或 120°

D)

6. 运行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值为(A)

(A) -2 (C) 4

(B) 3 (D) 8

7.已知点 A(1,3) , B(3,1 ) , C(-1,0) ,则 ?ABC 的面积为( A ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

8.已知等比数列{an}中 a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[3,+∞) [答案] D [解析] 设等比数列的公比为 x(x≠0),则有 1 S3=x+1+ (x≠0), x 1 1 ∵当 x>0 时,x+ ≥2;x<0 时,x+ ≤-2, x x 1 ∴S3=x+1+ 的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞),故选 D. x

)

B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

? x ? 2y ? 2 ? 9.变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z=3x+y-3 的取值范围是 ?4 x ? y ? ?1 ?
A. [ ,9]

( C )

3 2

B. [ ?

3 , 6] 2

C. [?2,3]

D. [1, 6]

10.已知直线 l1: y=x·sinα 和直线 l2: y=2x+c, 则直线 l1 与 l2 A.通过平移可以重合 C.可能与 x 轴围成等腰直角三角形 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) B.不可能垂直 D.通过绕 l1 上某点旋转可以重合

( D )

11.若关于 x 的不等式 mx2-mx+1<0 的解集不是 空集,则 m 的取值范围是________. .. [答案] (-∞,0)∪(4,+∞) ks5u 12. 已知 b>0, 直线 b2x+y+1=0 与 ax-(b2+4)y+2=0 互相垂直, 则 ab 的最小值为________.

13.点 P( a ,4)到直线 x-2y+2=0 的距离等于 2 5,且在不等式 3x+y>3 表示的平面区 域内,则 P 点坐标为________. |a-2×4+2| 解析:由题意知 =2 5, 2 1+?-2? 得 a=16 或 a=-4. 又 P(a,4)在不等式 3x+y>3 表示的平面区域内, ∴a=16,∴P(16,4). 答案:(16,4) 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,2),C(-2,-1) (1)以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为___________; (2 分)

(2) ?ABC 内角 B 的角平分线所在直线的方程是______________. (3 分) (1) 29,

5 ; (2) x ? y ? 0

三.解答题(每题 10 分,共 30 分) 15.(本题满分 10 分) 求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4)的距离 为 1 的直线 l 的方程. 15.解:由 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? 1 解得 ? ? l1 , l 2 的交点为(1,2)……2 分 ?2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ?y ? 2 显然,直线 x ? 1 满足条件; ……4 分 另,设直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? 2 ? k ? 0 , ?2?k 3 ? 1 ,解得: k ? ? 依题意有: ……8 分 2 4 1? k …….10 分 ? 所求直线方程为 3x ? 4 y ? 11 ? 0 或 x ? 1 x ? 1 (注:未考虑 扣 2 分)

16.(本题满分 10 分).已知 f ( x) ? ?3x 2 ? a(5 ? a) x ? b . (1)当不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?1, 3) 时, 求实数 a, b 的值; (2)若对任意实数 a , f (2) ? 0 恒成立, 求实数 b 的取值范围. 16.解:(Ⅰ) f ( x) ? 0 即 ? 3x2 ? a(5 ? a) x ? b ? 0 ∴ 3x ? a(5 ? a) x ? b ? 0
2

∴?

?3 ? a(5 ? a) ? b ? 0 ?27 ? 3a(5 ? a) ? b ? 0

…………………3 分

∴?

?a ? 2 ?a ? 3 或? …………………5 分 ?b ? 9 ?b ? 9

(Ⅱ)由 f (2) ? 0 , 即 ? 12 ? 2a(5 ? a) ? b ? 0 即 2a ? 10a ? (12 ? b) ? 0 …………………8 分
2

∴ ? ? 0 恒成立∴ b ? ?

1 1 故实数 b 的取值范围为 (?? ,? ) …………………10 分 2 2

17.(10 分)如图,在 ?ABC 中, B ? (1)求 sin A ;

?
4

, AC ? 2 5 , cos C ?

2 5 5

(2)记 BC 的中点为 D,求中线 AD 的长.

17.解: (1)由 cos C ?

2 5 2 5 2 5 ,C 是三解形内角,得 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) ? 5 5 5
----2 分

sin A ? sin[? ? ( B ? C)] ? sin(B ? C) ? sin
? 2 2 2 5 3 10 ? 5? ? ? 2 5 2 5 10

?
4

cos C ? cos

?
4

sin C

----4 分 ---5 分

(2)在 ?ABC 中,由正弦定理

BC AC AC 2 5 3 10 ? , BC ? sin A ? ? ?6 sin A sin B sin B 10 2 2

-7 分

? CD ?

2 5 1 , BC ? 3 ,又在 ?ADC 中, AC ? 2 5 , cos C ? 5 2

由余弦定理得, AD ?

AC 2 ? CD2 ? 2 AC ? CD ? cos C
2 5 ? 5 5

………9 ----10 分

? 20 ? 9 ? 2 ? 2 5 ? 3 ?
本题也可利用向量法。 AD ?

1 10 ( AB ? AC ). 注意 cos A ? ? 。 2 10

第二部分。综合能力检测 18. (5 分)点 A(1,3)关于直线 y=kx+b 对称的点是 B (-2,1),则直线 y=kx+b 在 x 轴上 的 . .. 截距是( B ) A. ?

19 . ( 5 分 ) 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 恒 不 为 零 的 函 数 , 对 任 意 实 数 x 、 y ? R , 都 有

5 6

B.

5 6

C.

1 6

D. ?

1 6

f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ,若 a1 ?
范围是 ( C)ks5u

1 , an ? f (n) ( n ? N? ) ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 的取值 2

?1 ? A . ? , 2? ?2 ?
.C

?1 ? B . ? , 2? ?2 ?

C . ? , 1? ?2 ?

?1

?

D . ? ,1? ?2 ?

?1

?

解析: f ( x) 是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意实数 x 、 y ? R ,

都有 f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) , a1 ?

1 , an ? f (n) ( n ? N? ) 2

1 1 n [1 ? ( ) ] 1 1 2 2 an ?1 ? f (n ? 1 ) ? f (1 f )n ? ( ) an ? Sn ? ? 1 ? ( )n 1 2 2 1? 2
?1 ? 则数列 {an } 的前 n 项和的取值范围是 ? ,1? 。 ?2 ?
20. (12分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级 籽棉1吨;生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨,二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为900元, 每1吨乙种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中,要求消耗一级籽棉不超过 250吨,二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨,能使利润总额最大?并 求出利润总额的最大值. 20 解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x、y 吨,利润总额为 z, 则 z=900x+600y ………2 y

?2 x ? y ? 250 ? 且 ? x ? 2 y ? 300 ? x ? 0, y ? 0 ?

…………4 M

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图) , 即可行域. …………6 O 3x+2y=0 作直线 l:900x+600y=0,即 3x+2y=0, 把直线 l 向右上方平移至过直线 2x+y=250 与 直线 x+2y=300 的交点位置 M( x

200 350 , ) , 3 3

………10 ………12

此时所求利润总额 z=900x+600y 取最大值 130000 元.

21. (14 分)已知函数 f ?x? ? 2 , x ? R.
x

(1)若存在 x ? ?? 1,1? ,使得 f ? x ? ? a ? 2 成立,求实数 a 的取值范围; f ?x ? (2)解关于 x 的不等式 f ?2 x ? ? ?a ? 1? f ?x ? ? a ; 大值. 20. (1)令 t ? 2 x ? ? ,2? ,即 t ? ? 2 成立 t ?2 ? (3) 若 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? f ?x2 ?,f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? ? f ?x1 ? f ?x2 ? f ?x3 ? , 求 x3 的最

?1 ?

a

1分 4分 5分

a ? ?t 2 ? 2t ? a ? (0, ? ?)

y ? ?t 2 ? 2t 的最小值为 0,当 t ? 2 时取得

(2) 22 x ? ?a ? 1?2x ? a ,

令 t ? 2x ? ?0, ?t ? 1??t ? a? ? 0 ? ?? ? t ? 0且t ? 1 ?x ? 0 ① a ? ?1 ? t ? ?a或0 ? t ? 1 ② a ? ?1 ? x ? log2 ?? a ?或x ? 0 ③ a ? ?1 ⅰ a?0 ⅱ ?1 ? a ? 0
x

6分 7分 8分 9分 10 分

t ? ?a或t ? 1 ?t ? 1 ?x ? 0 ? 0 ? t ? ?a或t ? 1 ?x ? l o 2 g?? a ?或x ? 0
x

(3)令 a ? 2 1 , b ? 2 2 , c ? 2 3 则 a ? b ? ab, a ? b ? c ? abc, (a, b, c ? 0)
x

ab ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 4 a?b ab 1 1 4 c? ? ?1? ?1? ? ab ? 1 ab ? 1 ab ? 1 3 3 4 4 2 x3 ? , x3 的最大值为 log 2 3 3

12 分 13 分 14 分

22.(14 分)已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,点 An ( an?1 , an ? 1) 在抛物线 y ? x 2 上;数 列 ?bn ? 中,点 B n (n, bn ) 在过点(0, 1) ,以 k ? 2 为斜率的直线上。 (1)求数列 ?an ? , ?bn ?的通项公式; (2) 若 f ( n) ? ?

?a n

(n为奇数)

?bn (n为偶数)

, 问是否存在 k ? N , 使 f (k ? 27) ? 4 f (k ) 成立,

若存在,求出 k 值;若不存在,说明理由;

a n?1 an (3)对任意正整数 n ,不等式 ? ? 0 恒成立, 1 1 1 n ? 2 ? a n (1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) b1 b2 bn
求正数 a 的取值范围。 22. 解: (1)? 点 An 在二次函数 y ? x 的图象上
2

? an?1 ? an ? d ? 1

an ? a1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 5

……..

2分

? 直线l : y ? 2 x ? 1
(2). f (n) ? ?

?bn ? 2n ? 1

………….4

?n ? 5, (n为奇数) ?2n ? 1, (n为偶数)
k ? 27 为奇数
…………6

当 k 为偶数时,

? f (k ? 27) ? 4 f (k ) ? k ? 27 ? 5 ? 4(2k ? 1) ?k ? 4
当 k 为奇数时, k ? 27 为偶数,

? 2(k ? 27 ) ? 1 ? 4(k ? 5), ? k ?
综上,存在唯一的 k ? 4 符合条件.

35 (舍去) 2
…………..8

a n?1 an (3) 由 ? ?0 1 1 1 n ? 2 ? a n (1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) b1 b2 bn
得: a ?

1 2n ? 3 1 2n ? 3 1 2n ? 5
(1 ?

(1 ?

1 1 1 )(1 ? )......( 1? ) b1 b2 bn 1 1 1 )(1 ? )......( 1? ) b1 b2 bn

…………9

记: g ( n ) ?

(1 ?

………10

? g (n ? 1) ?
g (n ? 1) ? g ( n)

(1 ?
1 bn ?1

1 1 1 1 )(1 ? )......( 1 ? )(1 ? ) b1 b2 bn bn?1
)? 2n ? 3 2n ? 4 ? ? 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 5 ? 2n ? 3

? ?

2n ? 3 2n ? 5

4n 2 ? 16n ? 16 4n 2 ? 16n ? 15

?1
………13

? g (n ? 1) ? g (n) , 即 g (n) 递增

? g (n) min ? g (1) ?

1 4 4 5 ks5u ? 5 3 15

?0 ? a ?

4 5 …………………………………14 分 15


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