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【2016年高考数学总复习】(第9讲)平面基本性质的应用(40页)


第 9 讲 平面基本性质的应用 主要内容 一、廓清疑点 公理1和公理2的应用. 二、聚焦重点 公理3及其三个推论的应用. 三、破解难点 证明点线共面 . 廓清疑点:公理1和公理2的应用 问题研究 公理1、公理2可以帮助我们解决哪些问题? 基础知识 文字语言:(公理1) 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么 这条直线上所有的点都在这个平面内. 图形语言: A

符号语言: ? B A?? ? ? ? 直线 AB ? ? B ?? ? 基础知识 文字语言:(公理2) 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公 共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线. 图形语言: ? l 符号语言: ? P P ?? ? ? ? ? ? ? ? l 且P ? l P??? 例1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平 面 BDC1 交于点 O,AC,BD 交于点 M.求证: C1,O, M 三点在同一条直线上.. D1 A1 O 经典例题1 B1 C1 D A C B M ? D1 A1 O M ? C1 思路 1: 类比平面几何证三点共线 B1 的方法. D A 证明三点是两个平面的公 C 思路 2: B 思路分析 此法不妥! 共点,从而三点共线. 证明: A1C∩平面 BDC1=O, 所以 O ? 平面A1C1CA .又 O ? 平面BDC1 , 即 O ? A1C ,而 A1C ? 平面A1C1CA , 因此 O 是平面 BDC1 和 证明过程 D1 C1 A1 D A M ? B1 ? 平面 A1C1CA 的公共点. 而 M , C1 也是平面 BDC1 O B C 和平面 ACC1 A1 的公共点, 所以 C1 , O, M 三点共线. (1)思想方法 化归思想. (2)基本思路(证多点共线) ①细心观察; ②证这些点是两个平面的公共点. 回顾反思 例 2 已知 D、G 分别是三棱锥 S-ABC 的棱 SA、 AB 的 中 点 , F 、 H 分 别 是 SC, BC 上 的 点 , 且 BH SF ? ? 2 .求证:直线 DF、GH、AC 相交于一点. HC FC 经典例题 2 S D F C G H B A S D F C H G 思路 1: 先证两直线相交,再证交 点在第三条直线上. 思路分析 B A 思路 2: 先证三线中的每两条相 交,再证交点重合. 执果索因! S 直线 DF、GH、AC 相交于一点 DF 与 GH 相交且交点在 AC 上 思路分析 M D F C G DF 与 GH 相交 交点在 AC 上 DF,GH 共面 M、A、C 三点共线 H B A 思路 2: 先证三线中的每两条相交,再证交点重合. S 思路分析 M 1 ( M2 ) H B D F C G A 证明:D、G 分别是三棱锥 S-ABC 的棱 SA、AB 的中点, 1 BH SF 于是 DG / / SB,DG ? SB . 而 ? ? 2, 2 HC FC S 1 于是 FH / / SB,FH ? SB , 3 所以 FH / / DG , FH ? DG . 证明过程 D F C A M H 因此DF 与GH 共面且相交. 设 DF ? GH = M . B G 因为 M ? DF , DF ? 平面SAC , 所以 M ? 平面SAC .同理 M ? 平面ABC .

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