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0516正余弦定理4

时间:2014-06-15


高中数学教案

第五章正弦定理、余弦定理(4) (第 16 课时)

王新敞



题:正弦定理、余弦定理(4)

教学目的: 1 进一步熟悉正、余弦定理内容; 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化; 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状; 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学方法:启发引导式 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦 定理的适用题型与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互 补角的正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数等; 2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、 余弦定理的边角互换作用 教学过程:
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一、复习引入: 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc c2 ? a2 ? b2 2ca

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, ? cos B ?

a2 ? b2 ? c2 c ? a ? b ? 2ab cosC , ? cosC ? 2ab
2 2 2

二、讲解范例: 例 1 在任一△ABC 中求证:

a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0
证:左边= 2R sin A(sin B ? sin C ) ? 2R sin B(sin C ? sin A) ? 2R sin C (sin A ? sin B)

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第五章正弦定理、余弦定理(4) (第 16 课时)

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= 2R[sin A sin B ? sin A sin C ? sin B sin C ? sin B sin A ? sin C sin A ? sin C sin B] =0=右边 例 2 在△ABC 中,已知 a ?

3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c

解一:由正弦定理得: sin A ? ∵B=45?<90? 即 b<a 当 A=60?时 C=75?

a sin B 3 sin 45? 3 ? ? b 2 2
∴A=60?或 120?

b sin C 2 sin 75? 6? 2 c? ? ? ? sin B 2 sin 45 c? b sin C 2 sin 15? 6? 2 ? ? ? sin B 2 sin 45
2 2 2

当 A=120?时 C=15?

解二:设 c=x 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 将已知条件代入,整理: x ? 6 x ? 1 ? 0
2

解之: x ?

6? 2 2

当c ?

6? 2 时 2
2 2 2

6? 2 2 ) ?3 b ?c ?a 1? 3 ? 2 cos A ? ? ? ? 2bc 6? 2 2( 3 ? 1) 2 2? 2 ? 2 2?(
从而 A=60? ,C=75? 当c ?

6? 2 时同理可求得:A=120? ,C=15? 2
a, b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且
2

例 3 在△ABC 中,BC=a, AC=b, 2cos(A+B)=1

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第五章正弦定理、余弦定理(4) (第 16 课时)

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求(1)角 C 的度数 (2)AB 的长度

(3)△ABC 的面积

解: (1)cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=? (2)由题设: ?
2 2 2

1 2

∴C=120?

?a ? b ? 2 3 ? a?b ? 2
2 2 ?

∴AB =AC +BC ?2AC?BC?osC ? a ? b ? 2ab cos120

? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? ab ? (2 3) 2 ? 2 ? 10 即 AB= 10
(3)S△ABC= 例 4

1 1 1 3 3 absin C ? absin 120? ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 2

如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求 BC 的长

解:在△ABD 中,设 BD=x 则 BA ? BD ? AD ? 2BD ? AD ? cos?BDA
2 2 2

即 14 ? x ? 10 ? 2 ? 10x ? cos60
2 2 2

?

整理得: x ? 10x ? 96 ? 0
2

解之: x1 ? 16 由余弦定理:

x2 ? ?6 (舍去)
16 ? sin 30 ? ? 8 2 ? sin 135

BC BD ? sin ?CDB sin ?BCD
例5

∴ BC ?

△ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,1?求最大角 ;
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2?求以此最大角为内角,夹此角两边之和为 4 的平行四边形的最大面积 解:1?设三边 a ? k ? 1, b ? k , c ? k ? 1 ∵C 为钝角 ∴ cosC ? ∵k ? N
?

k ? N ?且k ? 1

a2 ? b2 ? c2 k ?4 ? ? 0 解得1 ? k ? 4 2ac 2(k ? 1)
但 k ? 2 时不能构成三角形应舍去

∴k ? 2或 3

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第五章正弦定理、余弦定理(4) (第 16 课时)

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当 k ? 3 时 a ? 2, b ? 3, c ? 4, cos C ? ? 2?设夹 C 角的两边为 x, y

1 , C ? 109 ? 4

x? y ?4

S ? xy sin C ? x(4 ? x) ? 当 x ? 2 时 S 最大= 15

15 15 ? ? ( ? x 2 ? 4 x) 4 4

例 6 在△ABC 中,AB=5,AC=3,D 为 BC 中点,且 AD=4,求 BC 边长 分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设 BC 为x后,建立关于x 的方程 而正弦定理涉及到两个角, 故不可用 此时应注意余弦定理在建立方程时
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所发挥的作用 因为 D 为 BC 中点,所以 BD、DC 可表示为
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x ,然用利用互补角的 2

余弦互为相反数这一性质建立方程

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解:设 BC 边为x,则由 D 为 BC 中点,可得 BD=DC=

x , 2

x 4 2 ? ( ) 2 ? 52 2 , x 2? 4? 2 x 4 2 ? ( ) 2 ? 32 AD 2 ? DC 2 ? AC 2 2 在△ADC 中,cosADC= ? . x 2 ? AD ? DC 2? 4? 2 AD2 ? BD 2 ? AB 2 在△ADB 中,cosADB= ? 2 ? AD ? BD
又∠ADB+∠ADC=180° ∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC
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x x 4 2 ? ( ) 2 ? 52 4 2 ? ( ) 2 ? 32 2 2 ∴ ?? x x 2? 4? 2? 4? 2 2
解得,x=2 , 所以,BC 边长为 2 评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦 值互为相反数这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型 另外,对于本节的例 2,也可考虑上述性质的应用来求解 sinA,思路如下:
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由三角形内角平分线性质可得

AB BD 5 ? ? ,设 BD=5k,DC=3k,则 AC DC 3

由互补角∠ADC、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程,求出 BC 后,再结合余

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第五章正弦定理、余弦定理(4) (第 16 课时)

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弦定理求出 cosA,再由同角平方关系求出 sinA 三、课堂练习: 1 半径为 1 的圆内接三角形的面积为 0.25,求此三角形三边长的乘积
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解:设△ABC 三边为 a,b,c 则S△ABC=
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1 ac sin B 2



S ?ABC ac sin B sin B ? ? abc 2abc 2b b ? 2 R ,其中 R 为三角形外接圆半径 sin B S ?ABC 1 ? , ∴abc=4RS△ABC=4×1×0.25=1 abc 4R
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所以三角形三边长的乘积为 1 评述:由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 为三角形外接圆半径,与含有正弦的三 sin A sin B sin C 1 角形面积公式S△ABC= ac sin B 发生联系,对 abc 进行整体求解 2
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2 在△ABC 中,已知角 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求
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AB

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解:在△ADC 中, cosC=

AC 2 ? DC 2 ? AD2 7 2 ? 32 ? 5 2 11 ? ? , 2 ? AC ? DC 2?7?3 14

又 0<C<180°,∴sinC=

5 3 14

在△ABC 中,

AC AB ? sin B sin C

∴AB=

sin C 5 3 5 6 AC ? ? 2 ?7 ? . sin B 14 2

评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生 注意正、余弦定理的综合运用
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3 在△ABC 中,已知 cosA=
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3 5 ,sinB= ,求 cosC 的值 5 13

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第五章正弦定理、余弦定理(4) (第 16 课时)

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解:∵cosA=

3 2 < =cos45°,0<A<π 5 2

∴45°<A<90°, ∴sinA= ∵sinB=

4 5

5 1 < =sin30°,0<B<π 13 2
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∴0°<B<30°或 150°<B<180° 若 B>150°,则 B+A>180°与题意不符 ∴0°<B<30° cosB=

12 13

∴cos(A+B)=cosA·cosB-sinA·sinB= 又 C=180°-(A+B)
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3 12 4 5 16 ? ? ? ? 5 13 5 13 65 16 65

∴cosC=cos[180°-(A+B) ]=-cos(A+B)=-

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评述:此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时,应根据已知的三 角函数值具体确定角的范围,以便对正负进行取舍,在确定角的范围时,通常 是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较 四、小结 通过本节学习,我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性 质,综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题,要求大家注意常见解题 方法与解题技巧的总结,不断提高三角形问题的求解能力 五、课后作业:
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六、板书设计(略) 七、课后记及备用资料: 1 正、余弦定理的综合运用 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦定理代入得: 2 2 2 sin A=sin B+sin C-2sinBsinCcosA 这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这一定理解题,简捷明快,下面 举例说明之
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[例 1]在△ABC 中,已知 sin B-sin C-sin A= 3 sinAsinC,求 B 的度数
2 2 2

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解:由定理得 sin B=sin A+sin C-2sinAsinCcosB, ∴-2sinAsinCcosB= 3 sinAsinC

2

2

2

∵sinAsinC≠0

∴cosΒ =-

3 2

∴B=150°

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[例 2]求 sin 10°+cos 40°+sin10°cos40°的值 2 2 解:原式=sin 10°+sin 50°+sin10°sin50° 2 2 2 在 sin A=sin B+sin C-2sinBsinCcosA 中,令 B=10°,C=50°, 则 A=120° 2 2 2 sin 120°=sin 10°+sin 50°-2sin10°sin50°cos120°
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=sin 10°+sin 50°+sin10°sin50°=(

2

2

3 2 3 )= 4 2

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[例 3]在△ABC 中,已知 2cosBsinC=sinA,试判定△ABC 的形状 2 解:在原等式两边同乘以 sinA 得:2cosBsinAsinC=sin A, 2 2 2 2 由定理得 sin A+sin C-sin Β =sin A, 2 2 ∴sin C=sin B ∴B=C 故△ABC 是等腰三角形 2 一题多证 [例 4]在△ABC 中已知 a=2bcosC,求证:△ABC 为等腰三角形 证法一:欲证△ABC 为等腰三角形 可证明其中有两角相等,因而在已知条件中
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化去边元素,使只剩含角的三角函数 由正弦定理得 a=
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b sin A sin B
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∴2bcosC=

b sin A , 即 2cosC· sinB=sinA=sin (B+C) =sinBcosC+cosBsinC sin B
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∴sinBcosC-cosBsinC=0 即 sin(B-C)=0, ∴B-C=nπ (n∈Z) ∵B、C 是三角形的内角, ∴B=C,即三角形为等腰三角形 证法二:根据射影定理,有 a=bcosC+ccosB, 又∵a=2bcosC 又∵ ∴2bcosC=bcosC+ccosB

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∴bcosC=ccosB,即

b cos B ? . c cos C

b sin B sin B cos B ? .∴ ? , 即 tanB=tanC c sin C sin C cos C
∴△ABC 为等腰三角形
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∵B、C 在△ABC 中, ∴B=C

a2 ? b2 ? c2 a a2 ? b2 ? c2 a 及 cosC ? ,∴ ? , 证法三:∵cosC= 2ba 2b 2ab 2b
化简后得 b =c
2 2
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∴b=c ∴△ABC 是等腰三角形

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