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14数学全国教师21(理)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(二十一)
第二十一单元 高中数学综合测试
150 分) (120 分钟

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.已知 A={x|x2-2x≤0},B= = 3 ,x > 0 ,则 A∩B 等于 A. 0,2 B. 1,2 C. 0,2 D. 1,2

解析:A= 2 -2x ≤ 0}= 0 ≤ ≤ 2},B= > 1 ,A∩B= |1 < ≤ 2 . 答案:D

2.设复数 z1=1+i,z2=1+bi,若2 为纯虚数,则实数 b 等于
1



A.2
解析: = 答案:C

B.1

C.-1

D.-2

2 1+i 1++(-1)i = ,由题知:1+b=0,b-1≠0,∴ b=-1. 1 1+i 2

-1( > 0), 3.已知函数 f(x)= 0( = 0), 则 f(f(f(- 2)))的值等于 2 -1(x < 0) A.3 B.2 C.1 D.0
解析:f(- 2)=1,所以 f(f(f(- 2)))=f(f(1))=f(0)=0. 答案:D

4.已知(mx- )6 展开式中的常数项是 60,则实数 m 为 A.2 B.3 C.± 2 D.± 3
3 1 r 3 6-r 6-2r 4 2 ) =(-1)rC6 m · ,令 6- r=0 得 r=4,所以有C6 m =60,从而 m2=4,解得 2

1

解析:Tr+1=C6 (mx)6-r·(-

m=± 2. 答案:C

5.已知 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)))处切线方程为 A.4x-y=0 B.4x+y=0 C.x-4y=0 D.x+4y=0
解析:由题知 g'(1)=2,g(1)=3,则 f'(1)=g'(1)+2=4,f(1)=g(1)+1=4,故所求直线方程为 4x-y=0. 答案:A

6.一个锥体的三视图如图所示,则该锥体的表面积是 A.2+ 2 B. C.
1+ 2 2 2+ 2 2

D.1+ 2
解析:由三视图可知该几何体是一个底面为正方形,一条侧棱垂直于底面,且其在底面的投影恰是底 面正方形的一个顶点的四棱锥.该四棱锥的四个侧面中,有 2 组面积相等,故结合图形可得其表面积为 1+1+ 2=2+ 2. 答案:A

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是

A.-1

B.

2 3

C.

3 2

D.4
3 2

解析:S=4,i=1;S=-1,i=2;S= ,i=3;S= ,i=4;S=4,i=5;…,S 的值以 4 为周期重复出现,又 2014=503× 4+2,故 输出的 S 值是-1. 答案:A

2 3

8.已知 a 为正实数,不等式 x+≥2 · =2,x+2=2+2+2≥3 个不等式为 x+ ≥n+1,则 a 的值为 A.n B.nn C.n+1 D.(n+1)n


1

1

4 4

3

4 · · =3,…,依此类推得到第 2 2 2

n

解析:x+ ≥2 · =2,x+ 2= + + 2≥3 x+ = +


1

1

4 4 2 2

3

4 · · =3,…,根据题中所给方法可得 2 2 2

+ … + +≥(n+1) +1 · ·…· · =(n+1) =n+1,∴a=nn.
个式子 个式子

答案:B

9.某人准备投资 A,B 两个项目,资金来源主要靠自筹和银行贷款两份资金(单位:万元)构 成,具体情况如下表.投资 A 项目资金不超过 160 万元,B 项目不超过 200 万元,预计投资 成功后,自筹资金每份获利 12 万元,银行贷款每份获利 10 万元,为获得总利润最大,那么 两份资金分别投入的份数是
项目 A B 自筹每份资金 20 40 银行贷款每份资金 30 30

B.自筹资金 3 份,银行贷款 3 份 D.自筹资金 2 份,银行贷款 2 份 20 + 30 ≤ 160, 解析:自筹资金 x 份,银行贷款资金 y 份,由题意 z=12x+10y,作出可行域,看出 40 + 30 ≤ 200,
当 x=2,y=4 时,z=64 万最大. 答案:C

A.自筹资金 4 份,银行贷款 2 份 C.自筹资金 2 份,银行贷款 4 份

10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若点(a,b)在直线 xsin A-y(sin B+sin C)=csin C 上,则角 A 的值为 A. 3


B.3

π

C.4

π

D.6

π

解析:由题得 asin A-b(sin B+sin C)=csin C,由正弦定理 bc.由余弦定理得 cos A= 答案:A
2 +2 -2 1 2π =- ,结合 0<A<π,得 A= . 2 2 3

= = ,得 a2-b(b+c)=c2,即 b2+c2-a2=sin sin sin

11.椭圆 C:2 + 2 =1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P,


2 2

使得△F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是 A.(3,3)
12

B.(2,1) C.(3,1) D.(3,2)∪(2,1)

1

2

11

1

解析:若点 P 恰好为短轴端点,有两个;若点 P 不是短轴端点时,使得△F1F2P 为等腰三角形的四个点 P 关于 x 轴,y 轴对称,不妨设点 P 在第一象限,∵ 1 ≠ 2 ,∴ 1 = 1 2 或 2 = 1 2 .不妨设

1 = 1 2 =2c,则 2 =2a-2c,



1 + 1 2 > 2 , 2 + 2 > 2-2, 1 1 ∴ ∴ e> 且 e≠ . 3 2 1 ≠ 2 , 2 ≠ 2-2,

答案:D

12.如图,正三角形 PAD 所在平面与正方形 ABCD 所在平面互相垂直,O 为正方形 ABCD 的中心,点 M 在正方形内运动,且满足 MP=MC,则点 M 在正方形内绘出的图形为

解析:空间里满足 MP=MC 的轨迹是过线段 PC 中点且垂直线段 PC 的平面 α,取 AB 中点 N,易知 NP=NC,DP=DC ,故平面 α 与平面 ABCD 有一条交线 DN,即交线 DN 为点 M 在正方形内绘出的图形. 答案:C

第Ⅱ 卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.计算:定积分
2 解析: -1 2 -1

(2- )dx=
0 -1

.
2 1 (2-x)dx=(2x+ x2) 0 2 0 -1

2- )d =

2 + x)d +

1 +(2x- x2) 2

2 0

= .

7 2

答案:

7 2

14.等差数列 的前 n 项和为 Sn,若 a2=-9,a3+a7=-6,则当 Sn 取最小值时,n=
解析:∵ a3+a7=2a5=-6,∴ a5=-3,∴ d=2,an=-9+2(n-2)=2n-13,∴ a6=-1,a7=1, ∴ S6 最小. 答案:6

.

15.若△ABC 中,
解析:令 e1=



-



= 3
,e3=



,则角 A 的大小为

.



,e2=



,则 e1,e2,e3 均为单位向量,A=<e1,e2>.
1 2 2π . 3

由题可知 e1-e2= 3e3,两边平方可得 1-2cos A+1=3,∴ cos A=- ,∴ A= 答案:
2π 3

16.已知 f(x)= sin (x≥0),y=g(x)是过原点且与 f(x)图象恰有三个交点的直线,这三个交点 的横坐标分别为 0,α,β(0<α<β),那么下列结论中正确的有 ① f(x)-g(x)≤0 的解集为 , + ∞ ; ② y=f(x)-g(x)在(2,α)上单调递减; ③ αsin β+βsin α=0; ④ 当 x=π 时,y=f(x)-g(x)取得最小值.
π

.(填正确结论的序号)

解析:作出 f(x)= sin (x≥0),y=g(x)的图象如图所示. 由图知 f(x)≤g(x)的解集为 , + ∞ ∪ 0 ,① 错;② 显然正确;由于点(α, sin ),(β, sin )在直线 y=g(x) 上,且 0<α<π<β,所以有 g(x)的值还要小,④ 错. 答案:② ③
sin -sin = ,即 αsin β+βsin α=0,③ 正确;当 x=2π 时,y=f(x)-g(x)的值比 x=π 时,y=f(x)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 在△ABC 内,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,a,b,c 成等差数列,且 a=2c. (1)求 cos A 的值; (2)若 S△ABC=
3 15 ,求 4

b 的值.
2 2 2 2 +2 -2 4 + -4 1 = =- .5 分 3 2 4 2× 2

解析:(1)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b, 又 a=2c,可得 b= c,所以 cos A=
1 4 3 2
9

2

(2)由(1)cos A=- ,A∈(0,π),得 sin A= 所以 S△ABC= bcsin A= × c2× 得 c2=4,即 c=2,b=3.10 分
1 2 1 3 2 2

15 , 4

15 3 15 = , 4 4

18.(本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且2,an,Sn 成等差数列.
1

(1)求数列 的通项公式;
2 (2)若 =( ) ,设 cn= ,求数列 的前 n 项和 Tn.

1 2



解析:(1)由题意知 2an=Sn+ ,an>0. 当 n=1 时,2a1=a1+ ,∴ a1= ; 当 n≥2 时,Sn=2an- ,Sn-1=2an-1- , 两式相减得 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,整理得:
1 2 =2. -1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

∴ 数列 是以 为首项,2 为公比的等比数列,an=a1·2n-1= × 2n-1=2n-2.6 分
2 (2) =2- =22n-4,∴ bn=4-2n,

cn= =

4-2 16-8 = , 2-2 2 8 0 -8 2 2 2 24-8 16-8 + ,① 2 2-1

Tn= + 2 + 3 +…+

1 8 0 24-8 16-8 T = + +…+ + +1 .② 2 n 22 23 2 2 (1) 1 1 1 1 16-8 22 2-1 16-8 1 16-8 4 8 ① -② 得 Tn=4-8( 2 + 3 +…+ )- +1 =4-8· - +1 =4-4(1- -1 )- +1 = ,∴ Tn= .12 分 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1-2 2
1 1

19.(本小题满分 12 分)

如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所 成的角为 60° . (1)求二面角 F-BE-D 的余弦值; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定 M 的位置,使得 AM∥平面 BEF,并证明你的结 论.

解析:(1)分别以 DA,DC,DE 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz,如图所示. ∵ BE 与平面 ABCD 所成的角为 60° ,∴ ∠DBE=60° , ∵ 正方形 ABCD 的边长为 3,所以 BD=3 2,DE=3 6,AF= 6. 则 A(3,0,0),F(3,0, 6),E(0,0,3 6),B(3,3,0),C(0,3,0), ∴ =(0,-3, 6), =(3,0,-2 6). 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z), 则

·BF = 0, -3 + 6z = 0, 即 ·EF = 0, 3-2 6z = 0,

令 z= 6,则 n=(4,2, 6). ∵ AC⊥平面 BDE,∴ =(3,-3,0)为平面 BDE 的一个法向量, ∴ cos<n,>=
·CA

=

6 13 = . 26×3 2 13 13 .8 分 13

∴ 二面角 F-BE-D 的余弦值为

(2)点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M(t,t,0).则=(t-3,t,0), ∵ AM∥平面 BEF, ∴ ·n=4(t-3)+2t=0,解得 t=2. 此时,点 M 的坐标为(2,2,0),BM= BD,符合题意.12 分
1 3

20.(本小题满分 12 分) 某企业甲、乙两种品牌产品在 2013 年前 8 个月的销售额(单位百万)统计的茎叶图如下:

(1)比较这两种产品在前八个月销售额的均值和方差的大小; (2)以上述数据统计甲、乙两种产品销售额超过 15(百万)的频率作为概率,假设甲、乙两 种产品在同一月的销售互不影响,预测在本年度剩余的 4 个月中甲、乙两种产品销售额 均超过 15(百万)的次数 X 的分布列和均值.
解析:(1) = (7+9+11+13+13+16+23+28)=15,
甲 8

1

= (7+8+10+15+17+19+21+23)=15,
乙 8

1

2 =8[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+1+82+132]=44.75,


1

2 = [(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25,
乙 8

1

甲、乙两种产品销售额的均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小).6 分 (2)根据统计结果,在同一月中,甲、乙销售额均超过 15 百万的概率分别为 p1= ,p2= ,两种产品销售 额均超过 15 百万的概率分别为 p1p2= ,
k 4-k 依题意,X~B(4, ),P(X=k)=C 4 (16) (16) (k=0,1,2,3,4), 16

3 8

1 2

3 16

3

3

13

X 的分布列为 X P

28561 65536

0

6591 16384

1

4563 32768

2

351 16384

3

81 65536

4

X 的均值 E(X)=4× = .12 分

3 3 16 4

21.(本小题满分 12 分) 已知定点 A(1,0)和定直线 x=-1 上的两个动点 E、F,满足⊥,动点 P 满足 ∥,∥(其中 O 为坐标原点). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B(0,2)的直线 l 与(1)中轨迹 C 相交于两个不同的点 M、N,若·<0,求直线 l 的斜率的取值范围.
解析:(1)设 P(x,y),E(-1,yE),F(-1,yF)(yE,yF 均不为 0). 由∥得 yE=y,即 E(-1,y); 由∥得 yF=- ,即 F(-1,- ). 由⊥得·=(-2,y)·(-2,- )=0,化简得 y2=4x(x≠0), ∴ 动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≠0).6 分 (2)设直线 l 的方程为 y=kx+2(k≠0),M( 1 ,y1),N( 2 ,y2),
4 4 2 2

联立

= + 2, 得 ky2-4y+8=0. 2 = 4x,
4 8 1 2

∴ y1+y2= ,y1y2= ,且 Δ=16-32k>0,即 k< .

∴ ·=( 1 -1,y1)·( 2 -1,y2)=( 1 -1)( 2 -1)+y1y2
4 4 4 4

2

2

2

2

=

2 2 1 2 1 2 2 - ( +2 )+y1y2+1 16 4 1

= 2- ( 2 - )+ +1=

4 1 16 16 4

8

+12 .

∵ ·<0,∴-12<k<0.12 分

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln x,g(x)=2ax2+bx(a≠0). (1)若 a=-2,函数 h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,求 b 的取值范围. (2)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)的图象 C2 交于 P,Q,过线段 P,Q 的中点 R 作 x 轴的垂 线分别交 C1,C2 于点 M,N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行? 若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.
解析:(1)依题意:h(x)=ln x+x2-bx. ∵ h(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴ h'(x)= +2x-b≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立,∴ b≤ +2x. ∵ x>0,则 +2x≥2 2. ∴ b 的取值范围为(-∞,2 2].4 分 (2)设点 P,Q 的坐标是(x1,y1),(x2,y2),且 0<x1<x2. 则点 M,N 的横坐标为 x=
(1 +2 ) +b. 2 1 +2 2 .C1 在 M 处的切线斜率为 k1= ,C 在点 N 处的切线斜率 2 1 +2 2 1 1 1 1

k2=

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2, 即 则
2 (1 +2 ) = +b. 1 +2 2 2(2 -1 ) (2 -2 ) 2 2 = 2 1 +b(x2-x1)=( 2 +bx2)-( 1 +bx1) 1 +2 2 2 2 2 1

=y2-y1=ln x2-ln x1 =ln .
2(2-1) 2 2(2 -1 ) ∴ ln = = 12 . 1 1 +2 1+
1

设 u= >1,则 ln u=

2 1

2(-1) ,u>1.① 1+

令 r(u)=ln u则 r'(u)= -

2(-1) ,u>1. 1+

1 4 (-1)2 = . 2 (+1) (+1)2

∵ u>1,∴ r'(u)>0. 所以 r(u)在[1,+∞)上单调递增, 故 r(u)>r(1)=0,则 ln u>
2(-1) , +1

这与① 矛盾,假设不成立, 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.12 分


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