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江西省南昌二中2012届高三第三次月考数学文

时间:2012-11-28


2011—2012学年度高三上学期第三次月考

数 学 试 题(文)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.命题“函数 y ? f ( x) ( x ? M )是偶函数”的否定是 ( A. ?x ? M , f (? x) ? f ( x) C. ?x ? M , f (? x

) ? f ( x) ) B. ?x ? M , f (? x) ? f ( x) D. ?x ? M , f (? x) ? f ( x)

2 ? m ?i 2 ? m ? i 2012 ( ) 2 . 已 知 i 是 虚 数 单 位 , m? R , 且 1? i 是 纯 虚 数 , 则 2 ? m ?i 等于
( A.1 B. ? 1 ) C. i D. ?i ( )

3.按下列程序框图来计算: 如果x=5,应该运算_______次才停止。

A.2 4.等差数列{ A .

B.3

C.4

D.5 )

an }前n项和为 s n ,满足 S20 ? S40 ,则下列结论中正确的是 (
B. D.

S30

S 是 n 中的最大值
S30
=0

S30 S60

S 是 n 中的最小值
=0

C.

? 1 ? ? ? ? f ( x) ? x 3 ? | a | x 2 ? ? ?2a ? bx ? 1在R上有极值, 3 5.已知非零向量 a 、 b 满足 | a |? 3 | b | ,若函数
? ? ? a, b? 的取值范围是 则
( )

[0, ] 6 A.

?

(0, ] 3 B.

?

( , ] C. 6 2 x??

? ?

( ,? ] D. 6

?

2 6. 若函数 f ( x) ? a sin 2 x ? (a ? 2) cos 2 x 的图像关于直线

?
8 , f ( x) 的最大值为 则 (


A.2

B. 2 或 4 2

C. 4 2

D. 2

7. f ( x) 是连续的偶函数, 设 且当 x ? 0 时, f ( x) 是单调函数, 则满足 之和为 A. ? 3 ( ) B.3
2

f ( x) ? f (

x?3 ) x ? 4 的所有 x

C. ? 8

D.8

2 xy ? yz 2 2 8.已知 x, y, z 为正实数,则 x ? 5 y ? z 的最大值为
( )

A.1
2

1 B. 2
/

1 C. 4

D.2

9.设 f ( x) ? x ? bx ? c ( x ? R ),且满足 f ( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意正数 a ,下面不等式恒成 立的是 ( A. ) B. f (a) ? e f (0)
a

f (a) ? ea f (0)

f (a) ?
C.

f (0) ea

f (a) ?
D.

f (0) ea

10.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在 该几何体的左视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 何 b 的线段,则 a ? b 的最大值为 ( ) B. 2 3 C.4 D. 2 5

A. 2 2

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

1 f ( x) ? x 2 ? ? a ln x x 11. 函数 在 (1, 2) 上存在单调递增区间的充要
条件是 12.阅读程序框图,该程序输出的结果是 .

y ? log 1 x ? log 1 x
2

13.函数

3

3

的单调递减区间是

?a ? a ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 14.已知数列 n 满足 1 则
__________.

an n 的最小值为

??? ? ??? ? AD ? AB , BC ? 3 BD , 15.如图,在△ABC中,

???? ???? ??? ? | AD |? 1 ,则 AC ? AD ?



三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 设锐 角△ ABC 的 三内 角 A、 B、 C 的对 边分别 为 a, b, c , 向 量 m ? (1, sinA ?

??

3 cos , A )

? 3 ?? ? n ? (sin A, ) 2 ,且 m 与 n 共线。
(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,且△ABC的面积小于 3 ,求角B的取值范围。

f ( x) ? ln
17.已知函数

x?4 x ? x ? 6 12

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间以及极值; (Ⅱ)函数 y ? f ( x) 的图像是否为中心对称图形?如果是,请给出严格证明;如果不是,请 说明理由。

18.已知数列

?an ? 、 ?bn ? 满足:

a1 ?

b 1 bn ?1 ? n 2 1 ? an 。 4 , an ? bn ? 1 ,

(Ⅰ)求数列

?bn ? 的通项公式;
2 an ? an 2n (1 ? 2an )(1 ? 3an ) ,求数列{ cn }的前n项和 S n 。

cn ?
(Ⅱ)若

19.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M是 BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。 (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:EM∥平面ABC; (Ⅲ)试问在棱DC上是否存在点N,使MN ? 平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在, 请说明理由。

20.已知数列{ (Ⅰ)求

an

}满足: ;

a1 ?

1 2 , 2an?1 ? an an?1 ? 1

a2 , a3 , a4

(Ⅱ)猜想数列{ (Ⅲ)已知数列{

an

}的通项公式,并证明你的结论;

bn

}满足:

anbn ? 1 ? an

,S n 为数列{

bn

}的前n项和,证明:

S1 ? S2 ?



? Sn?1 ? n(Sn ? 1)

21. 已知函数 f ( x) 是在 (0, ??) 上每一点处均可导的函数, xf ( x) ? f ( x) 在 (0, ??) 上恒成立。 若
/

g ( x) ?
(Ⅰ)①求证:函数 ②当

f ( x) x 在 (0, ??) 上是增函数;
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 )


x1 ? 0, x2 ? 0

时,证明:

(Ⅱ)已知不等式 ln( x ? 1) ? x 在 x ? ?1 且 x ? 0 时恒成立,求证:

1 n 1 1 1 ln(n ? 1)2 ? , (n ? N * ) ln 22 ? 2 ln 32 ? 2 ln 42 ? ? 2 2 (n ? 1) 2(n ? 1)(n ? 2) 2 3 4 …

参考答案
一、选择题:BACDD BCBCC

a ? (?
二、填空题:11.

27 , ??) 2 ; 12.729;

13. (0, 3] ;

21 14. 2 ;
三、解答题

15. 3

?? ? 16.解: (Ⅰ)∵ m 与 n 共线,

sin A(sin A ? 3 cos A) ?


3 2

sin 2 A ? 3 sin A cos A ?


1 ? cos A 3 3 3 ? ? sin 2 A ? sin(2 A ? ) ? 1 2 2 2 可得 2 ,∴ 6

2A ?
∵A是锐角,∴

?
6

?

?
2 ,故

A?

?
3

.

(Ⅱ)∵ a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,

1 1 S?ABC ? ac sin B ? 4 3 sin 2 B ? 2 3 ? 2 3 cos 2 B ? 3 cos 2 B ? 2 2 则 得 0 ? 2B ?
∵B是锐角,∴

?

(0, ). 3 ,故角B的取值范围是 6
∵ x ? (??, 4) ? (6, ??)

?

f / ( x) ?
17. (Ⅰ)
/

x( x ? 10) 12( x ? 4)( x ? 6)

由 f ( x) ? 0 得 f ( x) 在区间 (??,0] 和 [10, ??) 上递增 由 f ( x) ? 0 得 f ( x) 在区间 [0, 4) 和 (6,10] 上递减
/

于是有

[ f ( x)]极小值 =f (0) ? ln

2 3 5 [ f ( x)]极大值 =f (10) ? ln + 3; 2 6

5 (5, ) f ( x) 图像上取得极值的两点的中点为 12 。下证,函数 f ( x) 图像关于此点对 (Ⅱ)因为
称。 设 f ( x) 的定义域为D, ?? D,有:

f ( x) ? f (10 ? x) ln =

x?4 x 6 ? x 10 ? x 5 ? ? ln ? ? x ? 6 12 4? x 12 6

5 (5, ) 所以,函数 y ? f ( x) 的图像关于点 12 对称。

18.解(Ⅰ)∵

b1 ?

b 1 1 3 b ? bn bn ?1 ? n 2 ? ? n ?1 2 1 ? an , an ? bn ? 1 ,∴ 1 ? an 1 ? an 2 ? bn 4;

bn ?1 ? 1 ?


b ?1 2 ? bn 1 1 1 ?1 ? n ? ? ?1 2 ? bn 2 ? bn ,∴ bn ?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1

1 1 1 ? ? (?1) ? (n ? 1) ? ?4 ? n ? 1 ? ?n ? 3 ? ?1 bn ? 1 b1 ? 1 bn?1 ? 1 bn ? 1 ∴ ,∴ ?

1



bn ? 1 ? ?

1 n?2 ? bn ? n?3 n?3

1 ?1 an ? 2 an ? an 1 1 1 cn ? n 2n ( ? 2)( ? 3) an ? 1 ? bn ? 2 (1 ? 2an )(1 ? 3an ) an an n ? 3 ,∴ (Ⅱ)∵

?

n?2 1 1 ? n ?1 n (n ? 1) ? 2n n(n ? 1) ? 2 = n ? 2



Sn ? c1 ? c2 ? ??? ? cn ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1 1 2 2 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 3 ? 2 4 ? 23 +……

1 1 1 ? 1? n ?1 n (n ? 1) ? 2 = (n ? 1) ? 2n ? n?2
19.解:由题意知,EA ? 平面ABC,DC ? 平面ABC,AE∥DC,AE=2,DC=4, AB ? AC,且AC=2。 (Ⅰ)∵EA ? 平面ABC,∴EA ? AB,又AB ? AC,∴AB ? 平面ACDE ∴四棱锥B—ACDE的高 h ? AB ? 2 ,又梯形ACDE的面积S=6

1 VB ? ACDE ? Sh ? 4 3 ∴ 1 (Ⅱ)取BC的中点G,连结EM,MG,AG。∵M为DB的中点,∴MG∥DC,且MG= 2 DC
∴MG∥AE,且MG=AE,所以,四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG 又EM ? 平面ABC,AG ? 平面ABC, ∴EM∥平面ABC; (Ⅲ)由(Ⅱ)知EM∥AG,又∵平面BCD ? 底面ABC,AG ? BC,∴AG ? 平面BCD

∴EM ? 平面BCD,又∵EM ? 平面BDE,∴平面BDE ? 平面BCD 在平面BCD中,过M作MN ? DB交DC于点N,∴MN ? 平面BDE, 此时点N为所求点

DN 6 DN DM 3 ? ? DN ? DC 4 ,∴ DN ? 3 ,即 DC ,即 2 6 4 ∵△DMN∽△DCB,∴ DB

DN ?
所以,边DC上存在点N,当满足

3 DC 4 时,使MN ? 平面BDE.

an ?1 ?
20.解: (Ⅰ)由得

1 2 3 a2 ? , a3 ? 2 ? an ,可得 3 4。

(Ⅱ)由(Ⅰ)可猜得

an ?

n n ? 1 ,下面用数学归纳法证明

①当n=1,2,3,由(Ⅰ)验证

②假设n=k时,有

ak ?

k k ? 1 ,则n=k+1时,

ak ?1 ?

1 2? k k ?1

?

k ?1 k ?1 ? 2(k ? 1) ? k (k ? 1) ? 1
,所以得证

an ?

n n ?1

(Ⅲ)由

anbn ? 1 ? an

可得

bn ?

1 n

n?2 n?3 1 ? ? ??? ? 2 3 n ?1 n n n n n n ? n ? ? ? ??? ? ? 1? (n ? 1) ? n ? ? ? ??? ? ? 1? n 2 3 n ?1 2 3 n ?1 1 1 1 ? n(1 ? ? ? ??? ? ? 1) ? n( Sn ? 1) 2 3 n S1 ? S2 ? ??? ? Sn?1 ? (n ? 1) ?
f / ( x) ? x ? f ( x) f ( x) / g ( x) ? g ( x) ? / / x2 x , 21.解(Ⅰ)①由 ,由 xf ( x) ? f ( x) 可知 g ( x) ? 0 在

(0, ??) 上恒成立,

g ( x) ?
从而有

f ( x) x 在 (0, ??) 上是增函数。 f ( x) x 在 (0, ??) 上是增函数,当 x1 ? 0, x2 ? 0 时,有

g ( x) ?
②由①知

f ( x1 ? x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) ? , ? x1 ? x2 x1 x1 ? x2 x2 ,于是有: f ( x1 ) ? x1 x2 f ( x1 ? x2 ), f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ), x1 ? x2 x1 ? x2













f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 )
(Ⅱ)由(Ⅰ)②可知: 由数学归纳法可知:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 )
时,有:

, (

x1 ? 0, x2 ? 0

)恒成立

xi ? 0(i ? 1, 2,3, ???, n)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? ??? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? x3 ? ??? xn )(n ? 2) x ? 0(i ? 1, 2,3, ???, n) 设 f ( x) ? x ln x ,则,则 i 时,

恒成立

x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ??? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) ln( x1 ? x2 ? ??? ? xn )(n ? 2)(?)

恒成立

xn ?


1 1 1 1 Sn ? x1 ? x2 ? ??? xn ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 (n ? 1) ,记 2 3 (n ? 1) 2 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ?1 , 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? . 2?3 (n ? 1)(n ? 2) 2 n ? 2

Sn ?


Sn ?


( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) ln( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) ? ( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) ln(1 ?
??

1 ) n ?1

1 1 1 1 n ( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) ? ? ( ? )?? , (??) n ?1 n ?1 2 n ? 2 2(n ? 1)(n ? 2)

1 1 1 ln 22 ? 2 ln 32 ? 2 ln 42 ? 2 3 4 将 ( ** ) 代 入 ( * ) 中 , 可 知 : 2 …
? 1 n ln(n ? 1) 2 ? ? 2 (n ? 1) 2(n ? 1)(n ? 2)

1 1 1 1 ln(n ? 1) 2 ln 22 ? 2 ln 32 ? 2 ln 42 ? ? 2 2 3 4 于是: 2 … (n ? 1) ? n , (n ? N * ) 2(n ? 1)(n ? 2)


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