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2012全国高中数学联赛广东预赛试题(参考答案)[1]


2012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题
(考试时间:2012 年 9 月 8 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上 1. 已知 20122 ? 2010? 2011? 2013? 2014? k 2 ?k ? 0? ,则 k ? .

? ? 2. 函数 f ( x) ?

sin( x ? ) ? sin( x ? ) ? cos x ? 3 的最小值等于 . 6 6 bx ? 1 1 3. 已知 f ( x ) ? ,其中 a , b 为常数,且 ab ? 2 . 若 f ( x) ? f ( ) ? k 为常数, 2x ? a x 则 k 的值为 .
4. 已 知 方 程 32 x ? 3x?1 ? p 有 两 个 相 异 的 正 实 数 解 , 则 实 数 p 的 取 值 范 围 是 . 5. 将 25 个数排成五行五列:

a11

a12

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a15 a25 a35 a45 a55

a21 a22 a31 a32 a41 a42 a51 a52

已知第一行 a11 , a12 , a13 , a14 , a15 成等差数列,而每一列 a1 j ,a2 j ,a3 j ,a4 j ,

a5 j ( 1? j ? 5 )都成等比数列,且五个公比全相等.
若 a24 ? 4 , a41 ? ?2 , a43 ? 10 ,则 a11 ? a55 的值为______. 1 6.设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 的最小值为______. 2 7.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在 4×4 方格表的 16 个小方格内,每个小方格 内至多填一个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法种数共 有 .

8.一个直角梯形的上底比下底短,该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体 积为 112? ,该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为 80? ,该梯形绕 它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为 156? ,则该梯形的周长为 .

1

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. (本小题满分 16 分) 设椭圆
x2 y 2 + =1 (a >b>0) 的左、 右顶点分别为 A, B , 点P a 2 b2

在椭圆上且异于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AP|=|OA| ,证明:直线 OP 的斜率 k 满 足 | k |? 3 .

2. (本小题满分 20 分) 设非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 3 . 求

S ? (a ? ab ? b )(b ? bc ? c )(c ? ca ? a )
2 2 2 2 2 2

的最大值.

3. (本小题满分 20 分)求出所有的函数 f : N ? N 使得对于所有 x , y ? N ,
* *
*

2 2 ( f ( x)) ? y 都能被 f ( y) ? x 整除.

2

2012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题参考答案
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上 1.答案: 20122 ? 2 (或 4048142 ) 解: n2 ? (n ? 2)(n ?1)(n ? 1)(n ? 2) ? n2 ? (n2 ? 4)(n2 ?1)

? n2 ? (n4 ? 5n2 ? 4) ? (n2 ? 2)2 .
2. 答案:1 解:因为

6 ? 3 sin x ? cos x ? 3 ? 2sin( x ? ) ? 3, 6

f ( x) ? sin x cos

?

? cos x sin

?
6

? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

? cos x ? 3

?

所以 f ( x) 的最小值为 1.
1 3.答案: . 4

1 bx ? 1 b ? x bx 2 ? (b2 ? 1) x ? b 解:由于 k ? f ( x) ? f ( ) ? ? ? x 2 x ? a 2 ? ax 2ax 2 ? (a 2 ? 4) x ? 2a
是常数 ,故 2a ? k ? b ,且 (a2 ? 4)k ? b2 ? 1 . 将 b ? 2ak 代入 (a2 ? 4)k ? b2 ? 1 整理得

(4k 2 ? k )a2 ? (1 ? 4k ) ? 0 ,分解因式得 (4k ?1)(ka2 ?1) ? 0 . 若 4k ? 1 ? 0 ,则 ka 2 ? 1 ? 0 ,
因此 ab ? 2ka 2 ? 2 ,与条件相矛盾. 故 4k ? 1 ? 0 ,即 k ?
9 4. 答案: (? , ?2). 4 1 . 4

解法一:令 t ? 3x ,则原方程化为 t 2 ? 3t ? p ? 0 . 根据题意,方程 t 2 ? 3t ? p ? 0 有两个大于 1 的相异实根.

3

? ?? ? (?3) 2 ? 4 p ? 0, ? 9 令 f (t ) ? t 2 ? 3t ? p ,则 ? f (1) ? 12 ? 3 ?1 ? p ? 0, ? ? ? p ? ?2. 4 ?3 ? ? 1. ?2

解法二:令 y ? 3x ,则原方程化为 y 2 ? 3 y ? p ? 0 . 注意到这个关于 y 的方程最多 有两个解,而由 y ? 3x 严格单调递增知每个 y 最多对应一个 x ,因此所求的 p 应当使

y 2 ? 3 y ? p ? 0 有两个相异的实数解 y1 , y2 ,且满足 3x1 ? y1 ,3x2 ? y2 的两个实数 x1 , x2 都
是正的. 由于 x1 , x2 都是正的,故 y1 , y2 都应大于 1. 由于 y1 ? y2 ? 3 ,故 y2 ? 3 ? y1 ,因
3 3 此 y1 必须满足 y1 ? 1 , 3 ? y1 ? 1及 y1 ? 3 ? y1 . 因此 y1 的取值范围为 (1, ) ? ( , 2) . 因 2 2 9 此 p ? ? y1 y2 ? ? y1 (3 ? y1 ) 的取值范围为 ( ? , ?2) . 4

5. 答案: ?11 解:可知每一行上的数都成等差数列,但这五个等差数列的公差不一定相等. 由 a41 ? ?2 , a43 ? 10 知 a42 ?

由 a24 ? 4 , a44 ? 16 知公比 q ? ?2 . 若 q ? 2 ,则 a11 ?

10 ? (?2) ? 4 且公差为 6,故 a44 ? 16 , a45 ? 22 . 2

?2 1 ? ? , a55 ? 22 ? 2 ? 4 ?11,故 a11 ? a55 ? ?11; 3 s 4 ?2 1 若 q ? ?2 ,则 a11 ? 3 ? , a55 ? 22 ? (?2) ? 4 ? (?11) ,故 a11 ? a55 ? ?11. s 4
6.解: 2(1 ? ln 2) . 函数 y ?
1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称. 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? . 2 2 2
1 1 1 ? ln 2 设函数 g ( x) ? e x ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? . 2 2 2

4

由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2) . 7.答案:3960
2 2 解: 使得 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C4 A4 ? 72 种,使得 2 个 b 既不同行也 2 2 不同列的填法有 C4 A4 ? 72 种,故由乘法原理,这样的填法共有 72 2 种.

其中不合要求的有两种情况: 2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种; 2 个a
1 2 所在的方格内恰有 1 个方格填有 b 的情况有 C16 A9 ? 16 ? 72 种.

所以,符合条件的填法共有 722 ? 72 ? 16 ? 72 ? 3960 种. 8.答案: 16 ? 2 13 . 解:设梯形的上底长为 a ,下底长为 b ,高为 h ,则梯形绕上底旋转所得旋转体
1 1 1 ? 2 b ? ) 1 ? 1, 2 即 的 体 积 为 ? h 2b ? ? h 2 (a ? b) ? ? h 2 (a ? 2b) , 因 此 ? h 2 ( a 3 3 3 a ? 2b 336 7 ? ? ,去分母化简 同理有 h2 (2a ? b) ? 240 ,两式相除得 h2 ( a ? 2b ? ) 3. 3 6 2a ? b 240 5

得 b ? 3a ,代入 h2 (a ? 2b) ? 336 得 ah 2 ? 48 . 注意到直角腰长等于高 h ,梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台,其
1 体积为 h(a 2 ? ab ? b 2 ) ? 156 . 将 b ? 3a 代入化简得 a 2 h ? 36 . 结合 ah 2 ? 48 可解得 3

a ? 3,h ? 4,因此 b ? 9 ,由勾股定理知另一条腰的长度为 42 ? (9 ? 3) 2 ? 2 13 ,因此

梯形的周长为 3 ? 9 ? 4 ? 2 13 ? 16 ? 2 13 . 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.解法一:设 P(a cos? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) , A(?a,0) . 由 | AP |?| OA | ,有 (a cos ? ? a ) 2 ? (b sin ? ) 2 ? a , 即 a 2 cos2 ? ? 2a 2 cos ? ? b2 sin 2 ? ? 0 . ……4 分

??1 ? cos ? ? 0, 从而 ? 2 2 2 2 2 2 2 ??a cos ? ? 2a cos ? ? b sin ? ? a sin ? .
5

1 b2 sin 2 ? 2 ? ?1 ? ? 3. 所以, ? ? cos ? ? 0 ,且 2 2 2 a cos ? cos ?

所以, | k |?

b sin ? 2 ? ?1 ? ? 3. a cos ? cos ?

……16 分

解法二:设 P(a cos? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) .
a b 则线段 OP 的中点 Q( cos ? , sin ? ) . 2 2
|AP|=|OA| ? AQ ? OP ? kAQ ? k ? ?1 .

k AQ ?

b sin ? ? b sin ? ? ak AQ cos ? ? 2ak AQ . 2a ? a cos ?

……8 分

2 2 2 ? 2ak AQ ? (b 2 ? b 2 k AQ ) ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? b 2 ? a 2 k AQ ? a 2 ? a 2 k AQ

?| k AQ |?

1 ?| k |? 3 . 3
2

……16 分
2 2 2 2 2

2.解:不妨设 a ? b ? c .显然有 b ? bc ? c ? b , c ? ca ? a ? a .……………5 分 根据 AM-GM 不等式可得
S ? a b ( a ? ab ? b ) ?
2 2 2 2

4 3ab 3ab 2 2 ? ? ? ( a ? ab ? b ) 9 2 2
3

……15 分 3ab 3ab 6 6 2 2 ? 4? 4( a ? b) 4( a ? b ? c ) ? ? ( a ? ab ? b ) ? ? ? ? 2 ? ? 12. 2 5 5 9? 3 3 ? ? ? 3 所以 S 的最大值为 12,这时 ?a, b, c ? ? ?2,1,0?.
2

……………20 分

3.解:根据题目的条件,令 x ? y ? 1,则 ( f (1)) ? 1能被 f (1) ? 1 整除. 因此 ( f (1)) ? f (1) 能被 f (1) ? 1 整除,也就是 f (1)( f (1) ? 1) 能被 f (1) ? 1 整除.
2

因为 f (1) 与 f (1) ? 1 互素,所以 f (1) ? 1 能被 f (1) ? 1 整除,且 f (1) ? 1 ? f (1) ? 1 ,所 以 f (1) ? 1 ? 0 , f (1) ? 1 .
2
2

……………10 分
2 2

令 y ? 1 ,则 ( f ( x )) ? 1 能被 1 ? x 整除,因此 ( f ( x)) ? x .从而 f ( x ) ? x ,对所有 x? N .
*

令 x ? 1 ,则 1 ? y 能被 f ( y ) ? 1 整除.从而 y ? f ( y ) ,对所有 y? N .
*

综上所述, f ( x ) ? x ,对所有 x ? N .
*

……………20 分

6


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