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【09年浙江省宁波市数学高考复习会议资料】镇海中学数学IB复习交流(镇海中学


突出重点, 有序推进数学IB复 习

2

2009年高考考试说明

(三)柯西不等式

能够利用三维的柯西不等式证明一些简单的不等 式,解决最大(小)值问题。
(四)数学归纳法证明不等式 1.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用 数学归纳法证明一些简单问题。

2.

会用数学归纳法证明贝努利不等式: (1+x)2>1+nx(x>-1,x≠0,n为大于1的正整数), 了解当n为实数时贝努利不等式也成立。

3

考例

2009年浙江省高考

04 号题 在极坐标系中,极点为 O. 已知一条封闭的曲线 C 由三段圆弧组成:

? ? ? 2 cos ? (0 ? ? ? ) ,
? ? 2 sin ? (
? ? 2( ?
2

?
4

4

?? ?

?
2

),

? ? ? 2? ) .

( 1)

(1)求曲线 C 围成的区域的面积; (2)若直线 l:

( 2)

? sin(? ? ) ? k (k ? R)
4

?

( 3)

( 4)

与曲线 C 恰有两个公共点,求实数 k 的取值范围.

3

2009年新课程高考-参数方程
? x ? 1 ? 2t , (t为参数) ? y ? 2 ? kt.


(2009 广东卷 B)若直线 l1 : ?

? x ? s, 与直线 l2 : ? ( s 为参数)垂直,则 k ? ? y ? 1 ? 2s.

{x?1?23tt (t 为参数) (2009 广东 A 卷)若直线 y ?2?
与直线 4x+ky=1 垂直,则常数 k= ;

l1 的参数方程为 ? (2009 天津卷)设直线 ?

x ? 1? t

? y ? 1 ? 3t

(t 为参数) ,

直线 l2 的方程为 y=3x+4 则 l1 与 l2 的距离为_______

3

2009年新课程高考-极坐标
?

(2009 安徽卷)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位。 已知直线的极坐标方程为 ? ?

? x ? 1 ? 2cos ? 它与曲线 ? ( ? 为参数)相交于两点 A 和 B, ? y ? 2 ? 2sin ?
则|AB|=_______. (2009 辽宁卷)在直角坐标系 xOy 缋,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos( ? ? M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (Ⅰ) 写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (Ⅱ) 设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

4

( ? ? R) ,

?
3

) ?1,

3

2009年浙江省高考
已知正数 x,y、z 满足 x + y + z = 1.

03 号题
( 1)

1 x2 y2 z2 ? ? (1)求证: ≥ y ? 2z z ? 2x x ? 2 y 3
(2)求 4 ? 4 ? 4 的最小值.
x y z2

( 2)

3

2009年浙江省高考

(1)证明一:因为 x ? 0 , y ? 0, z ? 0, 所以由柯西不等式得

x2 y2 z2 [( y ? 2 z ) ? ( z ? 2 x) ? ( x ? 2 y)][ ? ? ] y ? 2z z ? 2x x ? 2 y ? ( x ? y ? z )2 ,
又因为 x ? y ? z ? 1 ,所以

x2 y2 z2 ( x ? y ? z )2 [ ? ? ]? y ? 2z z ? 2x x ? 2 y ( y ? 2 z ) ? ( z ? 2 x) ? ( x ? 2 y )
=

1 . 3

3

2009年浙江省高考
(2)解:由均值不等式得

单变元化
3
2

4 ? 4 ? 4 ? 3 4x ? y ? z 因为 x ? y ? z ? 1 ,所以
x y z
2

1 2 3 3 x ? y ? z ? 1? z ? z ? (z ? ) ? ? , 2 4 4
2 2

故 4x ? 4 y ? 4z ? 3 4 ? 3 2 .
2

3

3 4

1 1 当且仅当 x ? y ? , z ? 时等号成立, 4 2
所以 4 ? 4 ? 4 的最小值为 3 2 .
x y z2

3

2009年新课程高考-证不等式
(2009 江苏卷)设 a ? b ? 0 , 求证: 3a ? 2b ? 3a b ? 2ab
3 3 2 2

3

2009年新课程高考-解不等式
. .

(2009 山东卷)不等式 2x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 (2009 广东卷 B)不等式

x ?1 x?2

? 1 的实数解为

(2009 海南、宁夏卷)如图,O 为数轴的原点,A, B, M 为数轴上三点, C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点的距离,y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

(2009 福建卷)解不等式

2x ? 1 ? x ? 1

(2009 辽宁卷)设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a . (Ⅰ) 若 a ? ?1, 解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ) 如果 ?x ? R, f ( x) ? 2 ,求 a 取值范围.

3

2009年新课程高考-求最值
(2009 天津卷) 设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,

1 1 则 ? 的最小值为 a b
1 (A) 8 (B) 4 (C) 1 (D) 4 x y (2009 天津卷) 设 x, y ? R, a ? 1, b ? 1, 若a ? b ? 3, a ? b ? 2 3, 1 1 则 ? 的最大值为 x y 3 1 (A ) 2 (B) (C) 1 (D) 2 2

4

复习基本形式及时间安排
延续IB教学模式,实行走班教学 练习采用集中测练与课外自主训练相结合 时间安排: 第一阶段:期末考试后放假之前——集中复习 第二阶段:十校联考之前到考前—— 分散练习

基本形式:

集中测评

5

数学IB复习策略 1. 全面复习构建知识网络
2.抓纲务本、落实教材 3. 渗透数学思想方法,培养综 合 运用知识的能力 4. 注重解题规范性、示范性,提 高学生解题准确率 5. 注重例题的典型性、代表性、思想性

5

参数方程

? 落实参数的几何意义,特别是椭 圆与圆的参数的几何意义的区别 ? 换元法,特别是三角换元 ? 直线的参数方程中参数的意义, 通过向量角度进行认识 ? 注意参数方程与普通方程的互化

y

x2 y2 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b ? x ? a cos ? (?为参数) 椭圆的参数方程:? ?y ? b sin?
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2

A
B O M N

φ
x

y

P θ

? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? r sin? θ的几何意义是 ∠AOP=θ

O

A x

5

极坐标系中的直线方程
P(?,?) O
x

1、过极点

2、垂直或平行与极轴
P(?,?) O x P(?,?) A P(?,?) O x

A

x A O

O

x A P(?,?)

|OA|=a
3、经过定点A (?1,?1)和极轴成角α的直线
A(?1,?1) x O P(?,?)

5

极坐标系中的圆方程
O x A

1、圆心在极点,半径为a

P(?,?)

P(?,?) A x A O x

2、过极点,半径为a

O

A

P(?,?)

O

x

x

P(?,?) A

3、圆心在定点A (?1,?1),半径为a
A P(?,?) x

O

3

2009年新课程高考-参数方程

(2009 福建卷)已知直线 l:3x+4y-12=0

? x ? ?1 ? 2cos ? 与圆 C: ? ( ? 为参数 ), ? y ? 2 ? 2sin ?
试判断他们的公共点个数。

? x ? ?4 ? cos t , (2009 宁夏卷)已知曲线 C 1 : ? (t 为参数) , ? y ? 3 ? sin t , ? x ? 8cos ? , C2 : ? ( ? 为参数) 。 ? y ? 3sin ? ,
(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ? 求 PQ 中点 M 到直线 C3 : ?

? , Q 为 C 2 上的动点, 2

? x ? 3 ? 2t , ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值.

( 2009 浙 江 省 调 研 卷 ) 在 极 坐 标 系 中 , 极 点 为 ° 已 知

P ( 3, 0), P2 ( 3, ). 曲线 C : ? ? 2. 1 2 (1)求直线 PP 的极坐标方程; (2)记直线 PP 与曲线 C 交于 1 2 1 2 A,B 两点,求 ?AOB 的大小。

?

( 2009 浙 江 省 调 研 卷 ) 在 极 坐 标 系 中 , 极 点 为 ° 已 知

2009年浙江省调研卷
?

P ( 3, 0), P2 ( 3, ). 曲线 C : ? ? 2. 1 2 (1)求直线 PP 的极坐标方程; (2)记直线 PP 与曲线 C 交于 1 2 1 2 A,B 两点,求 ?AOB 的大小。

? ?? 2 ? 3 ? ? sin(? ? ) ? ? 4 2 ? ? (sin ? ? cos? ) ? 3 ? ? ? ? 2? 不妨设? ?[0, 2? ) ??1 ? ? ,? 2 ? ? 4 3 4 3

? ?AOB ? ? 2 ? ?1 ?

?
3

在极坐标系中,已知圆心 C (3,

?
6

) ,半径 r

? 3,

点 Q 在圆 C 上运动,O 为极点.(1)求圆 C 的极坐标 方 程 ; 2 ) 若 P 在 直 线 OQ 上 运 动 , 且 满 足 (

???? 2 ??? ? OQ ? QP ,求动点 P 的轨迹方程. 3
解: (1)设 M ( ? , ? ) 是圆 C 上任意点,在△ OCM 中,由余弦定理得 ? ? 6 ? cos(? ?
2

?
6

) ?0;

?? ? ?1 ??1 ? ? ? ? ( 2 ) 设 点 Q 为 ( ?1 ,?1 ) , 点 P 为 ( ? ,? ) , 根 据 题 意 得 ? ?1 2 ,? ? 2 ,代入圆 ? ? ? ? ? 3 ? ?1 ? 5 ? ? ? 1

?2 ? 6 ? cos( ? ?

?

)? 方程得 ? 2 ? 15? cos(? ? ) ? 0 为 P 点得轨迹方程. 0 6 6

?

x2 y2 如 图 : P1 , P2 , P3 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 上 三 个 点 , 且 a b ?P1OP2 ? ?P2OP3 ? ?P3OP1 。
(1) .以 O 为极点,Ox 为极轴,建立极坐标系,求椭圆 的极坐标方程;

1 1 1 (2) .求 的值。 ? ? 2 2 2 | OP1 | | OP2 | | OP3 |
解: (1)

? 2 cos2 ?
a
2

?

? 2 sin2 ?
b
2

?1;

(2)

1 1 1 ? ? | OP1 |2 | OP2 |2 | OP3 |2

1 2? 4? 1 [cos 2 ? ? cos 2 (? ? ) ? cos 2 (? ? )] ? 2 [sin 2 ? ? a2 3 3 b 2? 4? 3 3 sin 2 (? ? ) ? sin 2 (? ? )] ? 2 ? 2 3 3 2a 2b ?

绝对值不等式的 教学 ? 绝对值三角不等式
5

? 绝对值不等式|x|<a和|x|>a的解法和几 何意义。 ? |ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c,|xa|+|x-b|≥c型不等式的解法

绝对值不等式的 (2009 山东卷)不等式 2x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 教学 x ?1
5
(2009 广东卷 B)不等式

. .

x?2

? 1 的实数解为

(2009 海南、宁夏卷)如图,O 为数轴的原点,A, B, M 为数轴上三点, C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点的距离,y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

(2009 福建卷)解不等式

2x ? 1 ? x ? 1

(2009 辽宁卷)设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a . (Ⅰ) 若 a ? ?1, 解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ) 如果 ?x ? R, f ( x) ? 2 ,求 a 取值范围.

绝对值不等式的 已知关于 x 的不等式 | ax ?1| ? | ax ? a |? 2 ? a ? 0? 教学 (I)当 a ? 1 时,求此不等式的解集;
5
(II)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 解: (I)当 a ? 1 时,不等式为 | x ? 1|? 1,? x ? 2或x ? 0 所以不等式解集为 {x | x ? 0或x ? 2} (II)不等式的解集为 R ,即 | ax ?1|+|ax ? a |? 2 ? a ? 0? 恒成立

1 1 ? ? ?| ax ? 1|+|ax ? a |? a ? | x ? | ? | x ? 1| ? ? a |1 ? | a a ? ? 1 ? a |1 ? |?| a ? 1|? 2又 ? a ? 0,? a ? 3 a ? 所以实数 a 的取值范围为 [3, ?)

5

错解:由x ? 0知2 x ? 0,
2

3 求函数 y ? 2 x ? ( x ? 0) 的最小值. 3x 2
2

x

?0

3 2 3 则y ? 2 x ? ? 2 2 x ? ? 2 6 x x x

或错解为:
2

3 3 3 3 时, y 3 当且仅当2 x ? 即x ? ?2 6 ? 2 3 18 min x 2 2
2

3 1 2 2 2 1 2 y ? 2x ? ? 2x ? ? ? 33 2x ? ? ? 33 4 x x x x x
? ymin ? 33 4

5

3 求函数 y ? 2 x ? ( x ? 0) 的最小值. x
2
2

3 正解:由x ? 0知2 x ? 0, ? 0 x
3 3 3 3 3 9 2 3 3 2 x2 ? y ? 2x ? ? 2x ? ? ?3 ? ?3 x 2x 2x 2x 2x 2
2

3 3 9 33 3 3 当且仅当2 x ? 即x ? 时ymin ? 3 ? 36 2x 4 2 2
2

5 已 知 x ,y 均 为 正 数 ,且 x >y , 求证 :

1 2x ? 2 ≥ 2y ? 3. 2 x ? 2 xy ? y
解:因为 x>0,y>0,x-y>0, 1 1 2x ? 2 ? 2 y ? 2( x ? y ) ? 2 x ? 2 xy ? y ( x ? y)2
1 = ( x ? y) ? ( x ? y) ? ( x ? y)2

1 ≥ 3 ( x ? y) ? 3, 2 ( x ? y)
3 2

1 ≥ 2y ? 3. 所以 2 x ? 2 2 x ? 2 xy ? y

5 03 号题
( 1)

已知正数 x,y、z 满足 x + y + z = 1.

2009年浙江省高考

1 x2 y2 z2 ? ? (1)求证: ≥ y ? 2z z ? 2x x ? 2 y 3
x2 1 x2 1 2 ? ( y ? 2z) ? 2 ? ( y ? 2 z) ? x y ? 2z 9 y ? 2z 9 3
x2 2 1 ? x ? ( y ? 2z) 所以 y ? 2z 3 9 y2 2 1 z2 2 1 ? y ? ( z ? 2 x) ; ? z ? ( x ? 2 y) , 同理 z ? 2x 3 9 x ? 2y 3 9
三式累加得

证明二:因为 x ? 0 , y ? 0, z ? 0, 所以由算术平均-几何平均不等式得

x2 y2 z2 1 1 ? ? ? ( x ? y ? z) ? y ? 2z z ? 2x x ? 2 y 3 3

均值不等式的应 例4、设实数a、b、c用 a ? 2b ? 3c 满足
5
2 2

2

3 ? , 2

求证: a ? 9? b ? 27 ? c ? 1。 3?
解:由柯西不等式 (a ? 2b ? 3c) ? ( 1 ? 2 ? 3 ) ( 1a) ? ( 2b) ? ( 3c) ? 9
2 2 2 2 2 2 2

?

?

? a ? 2b ? 3c ? 3
所以3 ? 9 ? 27 ? 3 3
3 ?a ?b ?c ?( a?2b?3c )

? 3 3 ?1
3

?3

5

03 号题
(1)

已知正数 x,y、z 满足 x + y + z = 1.
x y z2

2009年浙江省高考

(2)求 4 ? 4 ? 4 的最小值.
4 ?4 ?4 ?3 4 因为 x ? y ? z ? 1 ,所以
x y z2 3
2 2

(2)解:由均值不等式得
x? y ? z2

1 2 3 3 x ? y ? z ? 1? z ? z ? (z ? ) ? ? , 2 4 4
故 4x ? 4 y ? 4z ? 3 4 ? 3 2 .
2

3

3 4

1 1 当且仅当 x ? y ? , z ? 时等号成立, 4 2
所以 4 ? 4 ? 4 的最小值为 3 2 .
x y z2

5

柯西不等式的教 学

? 柯西不等式的证明课本是采用构 造二次函数, ? 也可以用Lagrange恒等式进行证 明 ? 从课后习题进行探索,体会证明 过程中所含的思想方法,发掘其 中的证明技巧

5

由a2+b2≥2ab得到一般形式的柯西不等式

?a x
k ?1

n

k k

? (? a )(? x )
k ?1 2 k k ?1 2 k

n

n

5

? 角度1:向量角度 ? 角度2:余弦定理 ? 角度3:面积公式 ? 角度4:点到直线的距离 ? 角度5:两角差的余弦公式 ? 角度6:随机变量的方差 ? 角度7:图形角度 ? 角度8:复数角度 ? 角度9:积分角度 ?作用:分离器,平方和分为线性和。

柯西不等式的理 解

柯西不等式的应 2 2 用1 2 例1、已知a ? b ? c ? 1.
5

求a ? b ? c的最大值;

变式1、求a ? 2b ? 3c的最大值;

变式2、求a ? 2b ? 3c的最大值;
变式3:已知条件改为2a2 ? 3b2 ? 5c2 ? 1.
变式4:已知条件改为2(a ?1)2 ? 3(b ? 2)2 ? 5(c ? 3)2 ? 1.

5

柯西不等式的应 例2、已知x ? y ? z ? 1. 求x ? y ? z 的最小值; 用2
2 2 2

变式1、求x2 ? 4 y2 ? 9z 2的最小值;

变式2、求 x ?1 ? y ?1 ? z ?1 的最大值;
变式3、求(x ?1)2 ? 4( y ? 2)2 ? 9( z ? 3)2的最小值;

变式:已知改为:x ? 2 y ? 3z ? 1.

5

柯西不等式的应 例3、已知x, y, z为正实数,x ? y ? z ? 1. 用3

1 1 1 求 ? ? 的最小值; x y z 1 4 9 变式1:求 ? ? 的最小值; x y z

1 2 1 2 1 2 变式2、(x ? ) ?(y ? ) ?(z ? ) 的最小值. x y z 1 1 1 变式3、 + + 的最小值. x? y y?z z?x

5

例3、已知x, y, z为正实数,x ? y ? z ? 1.
z x y 变式4、 + + 的最小值. x? y y?z z?x

z2 x2 y2 变式5、 + + 的最小值. x? y y?z z?x
变式6.已知x, y, z为正实数,且4 x ? 3 y ? 5 z ? 1, 1 2 3 求 + + 的最小值. x? y y?z z?x


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