nbhkdz.com冰点文库

宁夏银川一中2013届高三第三次模拟考试数学理试题含答案


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学
(银川一中第三次模拟考试)

参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差: s ? 中 x 为样本平均数

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ]

n



第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知全集 U=R, 设函数 y=lg(x-1)的定义域为集合 A, 函数 y= x 2 ? 2 x ? 5 的值域为集合 B, 则 A∩ U B)= ( (C A.[1,2] 2.已知 sinθ= A. 24 25

) C.(1,2] D.(1,2) )
4 5

B.[1,2)

4 ,且 sinθ-cosθ>1,则 sin2θ= ( 5

B.-

12 25

C.-

D. )

24 25

3.已知等差数列 {a n } 满足 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a101 ? 0, 则有( A. a1 ? a101 ? 0 4.已知 B. a 2 ? a100 ? 0 C. a 3 ? a 99 ? 0 )

D. a 51 ? 51

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是( a b

A.a2<b2 C.
a b ? ?2 b a

B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+b| ?

5. 下图给出了下一个算法流程图,该算法 流程图的功能是( )

A.求 a,b,c 三数的最大数 B.求 a,b,c 三数的最小数 C.将 a,b,c 按从小到大排列 D.将 a,b,c 按从大到小排列 6. 已知函数 f ( x ) ? ?
?2 x ( x ? 0) ? , 则f (5) =( ? f ( x ? 3)( x ? 0) ?
1





A.32

B.16

C.

1 2

D.

1 32

7. 下列四个命题正确的是( ① 正态曲线 f ( x ) ?
1 2? ?
?


( x ? ? )2 2? 2

e

关于直线 x=μ 对称;

② 正态分布 N(μ,σ2)在区间(-∞,μ)内取值的概率小于 0.5; ③ 服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值几乎不可能发生; ④ μ 一定时,σ 越小,曲线“矮胖” 当 A.① ③ 成的角,则 sin ? = ( A. B.② ④ C.① ④ D.② ③

8.在正方体 ABCD--A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 AA1 和 B1B 的中点,若 θ 为直线 CM 与 D1N 所 )

1 9

B.

2 3

C.

2 5 9

D.

4 5 9

(

9.函数 y=sinxcosx+ 3 cos2 x ? 3 的图象的一个对称中心是( A
( 2? 3 ,? ) 3 2

B

(

5? 3 ,? ) 6 2

C

(?

2? 3 , ) 3 2

D

?
3

,? 3 )

10.甲、乙两棉农,统计连续五年的面积产量(千克∕ 亩)如下表: 棉农甲 棉农乙 68 69 72 71 70 68 ) 69 68 71 69

则平均产量较高与产量较稳定的分别是( A.棉农甲,棉农甲 C.棉农乙,棉农甲

B.棉农甲,棉农乙 D.棉农乙,棉农乙

11. 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,集合 M ? ?? x, y ? f ( x ) ? f ( y ) ? 0?, 集合 N ? ?? x, y ? f ( x ) ? f ( y) ? 0?,则集合 M ? N 的面积是( A. ) D. 2?

? 4

B.

? 2

C. ?

12.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 ,且 f (?3) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是( )
A.(-3,0)∪ (3,+∞) C.(-∞,-3)∪ (3,+∞) B.(-3,0)∪ (0,3) D.(-∞,-3)∪ (0,3)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须
2

做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 椭圆
y2 1 x2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为________. 2 k?8 9

14. 已知函数 f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R), 是奇函数,则实数 a 的值________. 2x ?1

15. 已知边长分别为 a、b、c 的三角形 ABC 面积为 S,内切圆 O 半径为 r,连接 OA、OB、 OC,则三角形 OAB、OBC、OAC 的面积分别为 得 r=

1 1 1 1 1 1 cr、 ar、 br,由 S= cr+ ar+ br 2 2 2 2 2 2

2S ,类比得若四面体的体积为 V,四个面的面积分别为 A、B、C、D,则内 a?b?c
1 ? an (n ? N * ) ,则该数列的前 2013 项的乘积______. 1 ? an

切球的半径 R=_____________. 16. 若数列 {an ? 满足a1 ? 2,an?1 ? 数列? n } 满足

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 如图,A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里 的两个观测点。现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号。位于 B 点南偏西 60° 且与 B 相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海里/小时。求救援船直线到达 D 的 时间和航行方向。
C
45° 60°

D

A
60°

B

18.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x ) = x ? ax ? b

(1)若-2 ? a ? 4,?2 ? b ? 4 ,且 a ? Z , b ? Z ,求等式 f ( x ) >0 的解集为 R 的概率 (2)若 a ? 1, b ? 1,求方程 f ( x ) =0 两根都为负数的概率

19. (本小题满分 12 分) 已知 D、E 分别在平面 ABC 的同侧,且 DC⊥ 平面 ABC, EB⊥ 平面 ABC,DC=2,ΔABC 是边长为 2 的正三角形,F 是 AD 中点. (1)当 BE 等于多少时,EF∥ 平面 ABC;
3

D E F C B

A

(2)当 EF∥ 平面 ABC 时,求平面 DAE 和平面 ABC 所成的角.

20.(本小题满分 12 分) 曲线 C 上任一点到定点(0, (1)求曲线 C 的方程; (2)经过 P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线 l1、2 分别交曲线 C 于 A、 两点, l1 ⊥2 , B 且 l l 设 M 是 AB 中点,问是否存在一定点和一定直线,使得 M 到这个定点的距离与它到定直线 的距离相等.若存在,求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在,说明理由.

1 1 )的距离等于它到定直线 y ? ? 的距离. 8 8

21.(本小题满分 12 分) (1) f ( x) ?

ln( x ? 1) ( x ? 0) ,求证:若 m ? n ? 0 ,则 f (m) ? f (n) . x

(2)求 g ( x) ? ln x ? ax2 在[1,2]上的最大最小值。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲. 如图:AD 是 ΔABC 的角平分线,以 AD 为弦的 圆与 BC 相切于 D 点,与 AB、AC 交于 E、F. 求证:AE· CF=BE· AF 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. (1)求点 M(2, (2)求曲线 C : ? B D C E A

F

? 3 )到直线 ρ= 上点 A 的距离的最小值。 3 sin? ? cos?

? x ? ?1 ? cos? (?为 参 数 关于直线 y=1 对称的曲线的参数方程 ) ? y ? sin?

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知: a ? c b ? c ,求证:
a?b c ? ab
2

?

1 . c

4

银川一中 2013 届高三第三次模拟数学(理科)试题参考答案
一、选择题:
题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D 9 B 10 B 11 C 12 D

二、填空题: 13. 4 或 ?

5 4

14. 1

15.

3V A? B?C ? D

16. 2

三、解答题: 17.解:AB= 5(3 ? 3) ,∠D=105°,sinD=sin(60°+45°)=

6? 2 4

DB AB ? sin 45 ? sin D 得 BD= 10 3
由 在ΔDCB 中,BC=20 3 ,∠DBC=60° CD= (20 3 ) ? (10 3 ) ? 2 ? 20 3 ? 10 3 ?
2 2

1 ? 30 2

∴救援船到达 D 的时间为

30 ? 1 小时 30

5



BD CD 1 ? 得 sin ?DCB ? sin DCB sin 60? 2

∠DCB=30° ∴救援船的航行方向是北偏东 30°的方向。 18.解析: (1)满足条件的不等式共有 49 个…………1 分 不等式解集为 R 的条件是 a ? 4b <0…………2 分 a=-2 时 b=2,3,4 a=-1 时 b=1,2,3,4 a=0 时 b=1,2,3,4 a=1 时 b=1,2,3,4 a=2 时 b=2,3,4 a=3 时 b=3,4 所以满足等式 f ( x ) >0 的解集为 R 的不等式有 20 个…………5 分
2

故等式 f ( x ) >0 的解集为 R 的概率是 (2)方程 f ( x ) ? 0 两根都为负的条件是

20 …………6 分 49
b 1 -1 -1 1 a

1 2 ? ?b ? 4 a ?a 2 ? 4b ? 0 ? ? 即 ?b ? 0 …………8 分 ?b ? 0 ?? a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? 满足上述条件的区域 A 为如图阴影部分,其面积为: 11 1 …………10 分 SA ? a 2 da ? 0 4 12 ?| a |? 1 又满足 ? 的区域 ? 的面积 S ? =4…………11 分 ?| b |? 1

?

∴方程 f ( x ) ? 0 的两根都为负的概率是 P(A)=

SA 1 …………12 分 ? s ? 48

19.解:(1)取 AC 中点 G,连接 FG、BG,则 FG∥DC∥BE 当 BE=1 时,有 FG=BE,即 BEFG 为平行四边形 故当 BE=1 时,EF∥BG,即 EF∥平面 ABC ………5 分 (2)取 BC 中点 O,过 O 作 OZ⊥平面 ABC D 如图,建立平面直角坐标系,则 A( 3 ,0,0) B(0,1,0) E(0,1,1) D(0,-1,2) F C G A x 平面 ABC 的法向量为 BE ? (0,0,1) 设平面 ADE 法向量为 n ? ( x, y, z)

z E O B

y

AD ? (? 3,?1,2), DE ? (0,1,?1) ?? 3 x ? y ? 2 z ? 0 由? ,取 z=2,则 y=1,x= 3 2y ? z ? 0 ?
∴ n ? ( 3,1,2) ∴ cos ? BE, n ??

2 , ? BE, n ?? 45? 2

∴平面 DAE 和平面 ABC 所成角为 45°或 135°. 20.解:设 l1 :y-2=k(x-1)(k≠0)

l1 :y=2= ?
6

1 k

由?

? y ? kx ? 2 ? k
2 ? y ? 2x

得 2x -kx+k-2=0

2

1 1 ? 2 (? ? 2) 2 同理得 B 点坐标为 ( k , k ) 2 2 1 ? ?4 x ? ( k ? k ) ? 4 ? ∴? ?4 y ? k 2 ? 1 ? 4(k ? 1 ) ? 8 ? k k2 ? 5 2 消去 k 得:y=4x +4x+ 2 ?
M 轨迹是抛物线,故存在一定点和一定直线,使得 M 到定点的距离等于它到定直线的距离。

1 3 1 1 2 (y ? ) , 此抛物线可看成是由抛物线 x ? y 左移 个单 4 2 4 2 3 1 1 1 2 位,上移 个单位得到的,而抛物线 x ? y 的焦点为(0, ),准线为 y=.∴所求 2 4 16 16 1 25 23 的定点为 (? , ) ,定直线方程为 y= . 2 16 16
将抛物线方程化为 ( x ? ) ?
2

1 2

21. 解:(1)方法一:设 B(M,ln(m+1)),A(n,ln(n+1))为函数 y=ln(x+1)图象上两点 而 f(m),f(n)分别 B、A 两点与原点连线的斜率, 显然 kOA>kOB 即 f(m)<f(n) ……………5 分

x ? ln(x ? 1) x ?1 方法二: f ' ( x) ? x2 x ? ln( x ? 1) 令 h( x ) ? x ?1 1 1 ?x h' ( x ) ? ? ? ?0 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) ∴ h(x) 是减函数
由 x>0 得,h(x)<h(0)=0 ∴ f ' ( x) ? 0 ∴f(x)是减函数 由 m>n>0 可得 f(m)<f(n) (2) g ' ( x) ?
2

……………5 分

1 1 ? 2ax ? 2ax ? x x 2 令 g ' ( x) ? 0 得 2ax =1 ……………① 当 a≤0 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在[1,2]上为增函数
∴最大值为 g(2),最小值为 g(1)] 当 a>0 时,由①得 x ? 若

1 2a

1 1 ≥2 即 0<a≤ 时, g ' ( x ) ≥0, g (x) 在[1,2]上为增函数 8 2a

∴最大值为 g(2),最小值为 g(1)
7



1 1 ≤1 即 a≥ 时, g ' ( x ) ≤0, g (x) 在[1,2]上为减函数 2 2a

∴最大值为 g(1),最小值为 g(2)

1 1 1 <2 即 <a< 时 8 2 2a 1 1 )上为增函数,在( ,2)上为减函数 g (x) 在(1, 2a 2a 1 1 1 ∴最大值为 g ( ) ? ? ln 2a ? 2a 2 2
若 1< 最小值为 g(2),g(1)中的较小的数 ∵g(2)-g(1)=ln2-3a

1 3 1 若 a> ln 2 ,则 g(1)<g(1) 3 1 1 ∴当 <a≤ ln 2 时,最小值为 g(1) 8 3 1 1 当 ln 2 <a< 时,最小值为 g(2) 3 2 1 综上得:a≤ 时,最大值为 ln2-4a,最小值为-a 8 1 1 1 1 <a≤ ln 2 时,最大值为 ? ln 2a ? ,最小值为-a 8 3 2 2 1 1 1 1 ln 2 <a< 时,最大值为 ? ln 2a ? ,最小值为 ln-4a 3 2 2 2 1 a≥ 时,最大值为-a,最小值为 ln2-4a. 2
若 a≤ ln 2 ,则 g(2)≥g(1) 22.解:连结 ED ∵圆与 BC 切于 D,∴∠BDE=∠BAD ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC
AE AF 即 AE〃CF=BE〃AF ? BE CF 23.(1)解:M 点的直角坐标为(1, 3 )………………………2 分

又∠DAC=∠DEF

∴∠BDE=∠DEF

∴EF//BC ∴

直线的直角坐标方程为:x + y - 3 =0………………………4 分 点 M(1, 3 )到直线 x + y - 3 =0 上点 A 的距离的最小值为 d 则d ? 点 M(2,
1? 3 ? 3 2 ? 2 2

? 3 2 )到直线ρ= 上点 A 的距离的最小值为 ……………6 分 3 sin? ? cos? 2

(2) ?

? x ? ?1 ? cos? (?为参数) ………………………10 分 ? y ? 2 ? sin ?
2

24.证明:要使原不等式成立,只要: ?
2 2 2 4

1 ? a?b ? ? ? 2 ………………………3 分 2 c ? c ? ab ?
2 2 2

只要: (a ? 2ab ? b )c ? c ? 2abc ? a b ………………………6 分
8

只要: (a 2 ? c 2 )(c 2 ? b 2 ) ? 0

由已知此不等式成立。………………………10 分

9


宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学理及答案解析

宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学理答案解析_数学_高中教育_教育专区...第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 ...

宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试 数学理

宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试 数学理_数学_高中教育_教育专区。宁夏银川...第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 ...

宁夏银川一中2013届高三第三次模拟考试数学理试题含答案

宁夏银川一中2013届高三第三次模拟考试数学理试题含答案 隐藏>> 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (银川一中第三次模拟考试) 参考公式:...

宁夏银川一中2013届高三第三次模拟考试数学理试题 Word版含答案

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 宁夏银川一中2013届高三第三次模拟考试数学理试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。绝密★启用前 2013 年普通高等学校招...

宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学理试题 (Word版含答案)

宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学理试题 (Word版含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学理试题 (Word版含...

宁夏银川一中2015年高三第三次模拟考试理科数学试题及答案word版

宁夏银川一中2015年高三第三次模拟考试理科数学试题答案word版_数学_高中教育_...理 科 数 学 (银川一中第三次模拟考试) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷...

宁夏银川一中2013届高三第三次模拟考试理科综合试题

宁夏银川一中2013届高三第三次模拟考试理科综合试题_数学_高中教育_教育专区。绝密...原因可能是含水量 30%的土 壤在施氮肥以后,土壤溶液浓度升高,根对 减少,叶片...

宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学理试题

宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学理试题_数学_高中教育_教育专区。银川...? -4- 银川一中 2015 届高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案一、选择题 ...

宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学理试题 Word版含答案

宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学理试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。银川一中 2015 届高三第三次模拟考试 数学(理)试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)...