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指数与指数函数练习试题精选 (1)


高一必修①指数与指数函数
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N .
n
*

当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.此时,a 的 n 次 方根用符号 n a 表示. 式子 n a 叫做根

式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数. 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 a 的正的 n 次 方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并 成± n a ( a >0) . 由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 .
n 结论:当 n 是奇数时, a n

?a

当 n 是偶数时, a ?| a |? ?
n n

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

2.分数指数幂

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

m n

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.有理指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r r ?s

(a ? 0, r , s ? Q) ;
(a ? 0, r , s ? Q) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(3) (ab) ? a a
r

s

(a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
1

(一)指数函数的概念 一般地, 函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域为 R.
x
1 注意:○ 指数函数的定义是一个形式定义 2 ○ 注意指数函数的底数的取值范围,底数为什么不能是负数、零和 1. (二)指数函数的图象和性质 注意内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.

指数函数的图象如右图:

4.指数函数的性质 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越 来越陡 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越 来越缓

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

a0 ? 1
增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1
x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

x ? 0, a x ? 1
x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢;

利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

(4)当 a ? 1 时,若 x 1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ;
2

(一)指数
3

2 1、化简[ 3 (?5) ] 4 的结果为 (

) C.- 5 )
? 1 2
5

A.5

B. 5

D.-5

3 2、将 ? 2 2 化为分数指数幂的形式为(
1 1

A. ? 2 2
3

B. ? 2 3

C. ? 2

D. ? 2 6

3、化简
3

ab 2 ? a 3 b 2
1 6 1 2 4

(a, b 为正数)的结果是(



b ? (a b )

A.

b a
? 1 3

B.ab
3

C.

a b

D.a2b

4、 0.027
2 3 1 23

1 ? (? ) ?2 ? 256 4 ? 3 ?1 ? 1 =__________. 7

5、

a a

b b
1

?

a ?1 b ?1 ? 3 ?( ) =__________. b a
2
2

7 10 ? 37 ?2 0 6、 (2 ) 2 ? 0.1 ? (2 ) 3 ? 3? ? =__________。 9 27 48
2 1 1 1

7、 (a 3 b 2 )( ?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) =__________。

1 3

1

5

16 ? 1 4 0.25 0 ( ( 4 ( 8、 2 ? 3) ? 2 2) ? ( )2 ? 2 ? 8 ? ? 2005) =__________。 49
3 6

4 3

9、已知 x ?

2 ab 1 a b ( ? ), (a ? b ? 0), 求 的值。 2 b a x ? x2 ?1
3

10、若 x ? x

1 2

?

1 2

? 3 ,求

x ? x ?3 的值。 x 2 ? x ?2 ? 2

3 2

?

3 2

(二)指数函数
一、指数函数的定义问题 1、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b% ,则 n 年后这 批设备的价值为( ) A、 na(1 ? b%) B、 a(1 ? nb%) C、 a[1 ? (b%)n ] 。
) C、

D、 a(1 ? b%) n

2、若 f (52 x ?1 ) ? x ? 2 ,则 f (125) ?
3、若 10 A、
2x

? 25 ,则 10 ? x 等于
B、 ?



1 5

1 5

1 50

D、

1 625

4、已知指数函数图像经过点 p(?1,3) ,则 f (3) ?

二、指数函数的图像问题
1、若函数 y ? a ? (b ? 1)(a ? 0, a ? 1) 的图像经过第一、三、四象限,则一定有(
x



A. a ? 1且b ? 0 B. 0 ? a ? 1且b ? 0 C. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1且b ? 1 2、方程 2|x|+x=2 的实根的个数为_______________
4

3、直线 y ? 3a 与函数 y ? a ? 1 (a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是
x

________。

4、函数 f ( x ) ? ? a 2 ? 1? 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
x



A、 a ? 1

B、 a ? 2
x

C、 a ? 2

D、 1 ? a ? 2

5、当 x ? 0 时,函数 f ( x ) ? ? a 2 ? 1? 的值总是大于 1,则 a 的取值范围是_____________。 6、若 ? 1 ? x ? 0 ,则下列不等式中成立的是(
x x x


x

A.5

?x

?1? ?1? ?1? ?1? ? 5 ? ? ? B.5 x ? ? ? ? 5 ? x C.5 x ? 5 ? x ? ? ? D.? ? ? 5 ? x ? 5 x ?2? ?2? ?2? ?2?
x

7、当 a ? 0 时,函数 y ? ax ? b 和 y ? b ax 的图象只可能是





x ?b 8、 (2005 福建理 5)函数 f ( x) ? a 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是





A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

三、定义域与值域问题 1、求下列函数的定义域和值域 1 1 2 (1) y ? x (2) y ? ( ) 2 x ? 2 2 ?1 3

5

?1?x (3) y ? ? ? ?2?

1

?1? (4) y ? ? ? ?2?

? x2 ? x?2

? 1 ? x ?1 (5) y ? ? ? ?2?

x ?1

(6) y ?

2x 1? 2x

2、下列函数中,值域为 ?0,??? 的函数是(



A. y ? 3

2 x

B. y ? 2 ? 1
x
x

C. y ? 2 ? 1
x
2

?1? D. y ? ? ? ?2?

2? x

3、设集合 S ? { y | y ? 3 , x ? R}, T ? { y | y ? x ? 1, x ? R} ,则 S ? T 是 A、 ? B、 T C、 S

( D、有限集



4、函数 f(x)= 1 ? 2 x 的定义域是 A、 ?? ?,0?
5、若函数 f ? x ? ?



) D、 (-∞,+∞)


B、[0,+∞)
2x
2

C、 (-∞,0)

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围

6、若函数 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,求函数 y ? 2 x ? 2 ? 2 ? 4 x 的最大值和最小值。

7、已知 x ? ? ?3, 2? ,求 f ( x) ?

1 1 ? ? 1 的最小值与最大值。 4x 2x

6

8、 如果函数 y ? a 2 x ? 2a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 在 ?? 1,1? 上的最大值为 14, 求实数 a 的值。

9、若函数 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3 的值域为 ?1, 7 ? ,试确定 x 的取值范围。

四、比较大小问题
1、设 y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9 0.48

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

?1.5

,则



) C、 y1 ? y3 ? y2 D、 y1 ? y2 ? y3
7

A、 y3 ? y1 ? y2

B、 y2 ? y1 ? y3

2、设 a ? ( )1.5 , b ? ( ) ?1.2 . 那么实数 a 、 b 与 1 的大小关系正确的是 B. a ? b ? 1 C. b ? 1 ? a

2 3 A. b ? a ? 1
1 2 ?1

2 3

(

)

D. a ? 1 ? b

?2? 3、 2 , ? ? ,3 3 的大小顺序有小到大依次为_____________。 ?3?
4、设 0 ? a ? b ? 1, 则下列不等式正确的是( )

1

A.a a ? b b

B.b a ? b b

C.a a ? b a

D.b b ? a a

五、定点问题 函数 y ? a x ?3 ? 3(a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点____________。
六、单调性问题。

?1? 1、函数 y ? ? ? ?2?

x2 ?2 x

的单调增区间为_____________
x

2、函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大 3、函数 f ( x) ? 2 A. [6,+ ?)
x 2 ? 2 ( a ?1) x ?1

a ,则 a =__________ 2
( )

在区间 [5,??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 C. (??,6]

B. (6,??)

D. (??,6)

a x ?1 ? b x ?1 (a ? 0, b ? 0, a ? b) 的单调性为( 4、函数 f ( x) ? ax ? bx
A.增函数 B.减函数
2

) D.与 a, b 取值有关

C.常数函数
?3 x ? 2

5、设 0 ? a ? 1,解关于 x 的不等式 a 2 x

? a2 x

2

? 2 x ?3



6、 已知函数 f ( x) ? 2 ? 2
x

?x

.

(Ⅰ) 用函数单调性定义及指数函数性质证明: f ( x) 是区间 (0,??) 上的增函数; (Ⅱ) 若 f ( x) ? 5 ? 2
?x

? 3 ,求 x 的值.
8

?1? 7、已知函数 y ? ? ? ?3?

x2 ? 2 x ?5

,求其单调区间及值域。

七、函数的奇偶性问题 1、如果函数 f (x) 在区间 ? 2,4 a ? 2 a 上是偶函数,则 a =_________ 2、函数 y ? A、奇函数
2x ? 1 是( 2x ? 1

?

?

) D、非奇非偶函数

B、偶函数 C、既奇又偶函数 1 3、若函数 f ( x) ? a ? x 是奇函数,则 a =_________ 4 ?1 1 4、若函数 f ( x) ? a ? x 是奇函数,则 a =_________ 4 ?1

9

2 ? ? 5、 F ( x) ? ?1 ? x ? ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) ( ? 2 ?1 ?

)

A、是奇函数 C、是偶函数
6、设函数 f ( x) ? a ?

B、可能是奇函数,也可能是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数
2 , 2 ?1
x

(1) 求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数; (2) 确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数及此时 f ( x) 的值域.

7、已知函数 f ( x) ?

a x ?1 (a ? 1) , ax ?1

(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f ( x) 是 R 上的增函数。

10


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