nbhkdz.com冰点文库

北京市西城区2014年高三一模数学理科答案


北京市西城区 2014 年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学(理科)
2014.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 5.D 2.B 6.A 3 .D 7.A 4.C 8.C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?

2 5

10

. 8 12. (3,5) 14.○ 2 ,○ 3

x ? ?4

11. 2 3 13. 48

注:第 10 题第一问 2 分,第二问 3 分. 第 14 题若有错选、多选不得分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 b ? c ? a ? bc ,
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 所以 cos A ? 2bc 2
分 又因为 A ? (0, π) , 所以 A ? 分 (Ⅱ)解:因为 cos B ?

……………… 3

π . 3

……………… 5

6 , B ? (0, π) , 3
2

所以 sin B ? 1 ? cos B ? 分

3 . 3

………………7

由正弦定理 分 得 a? 分

a b ? , sin A sin B

………………9

b sin A ? 3. sin B

………………10

因为 b ? c ? a ? bc ,
2 2 2

所以 c ? 2c ? 5 ? 0 ,
2

解得 c ? 1 ? 6 , 因为 c ? 0 , 所以 c ? 6 ? 1 . 分 故△ ABC 的面积 S ? ………………11

1 3 2? 3 . bc sin A ? 2 2

………………13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: a ? 0.15 , b ? 30 . 分 (Ⅱ)解:由表可知:灯泡样品中优等品有 50 个,正品有 100 个,次品有 50 个, 所以优等品、正品和次品的比例为 50 :100 : 50 ? 1: 2 :1 . 分 所以按分层抽样法,购买灯泡数 n ? k ? 2k ? k ? 4k (k ? N ) , 所以 n 的最小值为 4 . 分 (Ⅲ)解: X 的所有取值为 0,1, 2,3 . 分 由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为 0.1 ? 0.15 ? 0.25 , ……… 8 分 从本批次灯泡中购买 3 个,可看成 3 次独立重复试验, ……………… 7 ……………… 6
?

……………… 2

……………… 4

所以 P ( X ? 0) ? C3 ? (1 ? ) ?
0 3

27 , 64 1 1 27 P( X ? 1) ? C1 ? (1 ? ) 2 ? , 3? 4 4 64 1 1 9 2 P( X ? 2) ? C3 ? ( ) 2 (1 ? )1 ? , 4 4 64 1 3 1 P( X ? 3) ? C3 . 3 ?( ) ? 4 64

1 4

……………… 11

分 所以随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64
… … … … … … 12

分 所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 64 64 64 64 4
……………… 13

分 (注:写出 X

1 1 k 1 k B (3, ) , P ( X ? k ) ? C3 ( ) (1 ? )3? k , k ? 0,1, 2,3 . 请酌情给分) 4 4 4

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为底面 ABCD 和侧面 BCC1B1 是矩形, 所以 BC ? CD , BC ? CC1 , 又因为 CD

CC1 ? C ,
………………2

所以 BC ? 平面 DCC1D1 , 分 因为 D1 E ? 平面 DCC1D1 , 所以

BC ? D1E .

………………4

分 (Ⅱ)证明:因为 BB1 //DD1 , BB1 ? DD1 , 所以四边形 D1DBB1 是平行四边形. 连接 DB1 交 D1B 于点 F ,连接 EF ,则 F 为 DB1 的中点. 在 ?B1CD 中,因为 DE ? CE , DF 所以 分 又因为 B1C ? 平面 BED1 , EF ? 平面 BED1 , 所以 B1C // 平面 BED1 . ………………8 分 A1 D1 F A 所以 D1E ? 平面 ABCD . ………………9 分 D x E G B C y z B1 C1

? B1F ,
………………6

EF //B1C .

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)可知 BC ? D1E , 又因为 D1E ? CD , BC

CD ? C ,

设 G 为 AB 的中点,以 E 为原点,EG,EC, ED1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴 如图建立空间直角坐标系, 设 D1E ? a ,则 E(0,0,0), B(1,1,0), D1 (0,0, a), C(0,1,0), B1 (1, 2, a), G(1,0,0) . 设平面 BED1 法向量为 n ? ( x, y, z ) , 因为

EB ? (1,1,0), ED1 ? (0,0, a) ,
得?

由?

? ? n ? EB ? 0, ? ? n ? ED1 ? 0,

? x ? y ? 0, ? z ? 0.
………………11

令x 分

? 1 ,得 n ? (1, ?1, 0) .

设平面 BCC1B1 法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , 因为

CB ? (1,0,0), CB1 ? (1,1, a) ,

由?

? ?m ? CB ? 0, ? ?m ? CB1 ? 0,

得?

? x1 ? 0, ? x1 ? y1 ? az1 ? 0.
………………12

令 z1 分

? 1 ,得 m ? (0, ?a,1) .
π , 3

由平面 BCC1B1 与平面 BED1 所成的锐二面角的大小为 得 | cos ? m, n ?|? 分 解得 a ? 1 . 分

| m?n| a π ? ? cos , m n 3 2 ? a2 ? 1

………………13

………………14

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,得 f ?( x) ? ( x ln x)? ? ln x ? 1 ,其中 x ? 0 , 分 所以 f ?(1) ? 1 , 又因为 f (1) ? 0 , 所以函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 . 分 (Ⅱ)解:先考察函数 g ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? R 的图象,
2
2 配方得 g ( x) ? ?( x ? 1) ? 2 ,

……………… 2

……………… 4

……………… 5

分 所以函数 g ( x) 在 (??,1) 上单调递增,在 (1, ??) 单调递减,且 g ( x)max ? g (1) ? ?2 . ……………… 分 因为对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 6

1. 所以 a≤

……………… 8

分 以下考察函数 h( x) ? x ln x , x ? (0, ??) 的图象, 则 h?( x) ? ln x ? 1 , 令 h?( x) ? ln x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 分 随着 x 变化时, h( x) 和 h?( x ) 的变化情况如下:

1 . e

……………… 9

x
h?( x)

1 (0, ) e

1 e
0

1 ( , ? ?) e

?


?


h( x)
1 e

即 函 数 h( x) 在 (0, ) 上 单 调 递 减 , 在 ( , ? ?) 上 单 调 递 增 , 且

1 e

1 1 h( x) min ? h( ) ? ? . e e
因为对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,
1 所以 a≥ . e

……………… 11 分

……………… 12

分 因为 ?

1 , ? ?2 (即 h( x)min ? g ( x)max ) e

所以 a 的取值范围为 [ ,1] . 分

1 e

……………… 13

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 所以与 x 轴的交点 C (1, 0) ,与 y 轴的交点 D (0, ) . 分
2 则线段 CD 的中点 ( , ) , | CD |? 1 ? ( ) ?

1 2

……………… 1

1 1 2 4

1 2

5 , 2

……………… 3



即 ?OCD 外接圆的圆心为 ( , ) ,半径为

1 1 2 4

1 5 , | CD |? 2 4
1 4
2

所以 ?OCD 外接圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2

1 2

5 . 16

……………… 5

分 (Ⅱ)解:结论:存在直线 l ,使得 C , D 是线段 MN 的两个三等分点. 理由如下: 由题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(km ? 0) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则 C (? 分

m , 0) , D(0, m) , k

……………… 6

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由方程组 ? x 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
分 所以 ? ? 16k ? 8m ? 8 ? 0 ,
2 2

……………… 7

(*)

……………… 8

分 由韦达定理,得 x1 ? x2 ? 分 由 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,得线段 MN 的中点与线段 CD 的中点重合. 所以 x1 ? x2 ? 分 解得 k ? ? 分 由 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,得 | MN |? 3| CD | . 所以 1 ? k | x1 ? x2 |? 3 (
2

?4km 2m 2 ? 2 x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

……………… 9

?4km m ? 0? , 2 1 ? 2k k

………………10

2 . 2

……………… 11

m 2 ) ? m2 , k

……………… 12



?4km 2 2m2 ? 2 m 即 | x1 ? x2 |? ( ) ? 4? ? 3| | , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k k

解得 m ? ? 分

5 . 5

……………… 13

验证知(*)成立. 所以存在直线 l ,使得 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,此时直线 l 的方程为

y?


2 5 2 5 ,或 y ? ? . x? x? 2 5 2 5

……………… 14

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:答案不唯一. 如 3 项子列

1 1 1 , , ; 2 3 6

……………… 2 分

(Ⅱ)证明:由题意,知 1 ≥b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? 0 , 所以 d ? b2 ? b1 ? 0 . 分 若 b1 ? 1 , 由 {bn } 为 {an } 的一个 5 项子列,得 b2 ≤ , 所以 d ? b2 ? b1≤ ……………… 3

1 2

1 1 ?1 ? ? . 2 2

因为 b5 ? b1 ? 4d , b5 ? 0 , 所以 4d ? b5 ? b1 ? b5 ?1 ? ?1 ,即 d ? ? 这与 d ≤ ?

1 . 4

1 矛盾. 2

所以 b1 ? 1. 所以 b1≤ 分 因为 b5 ? b1 ? 4d , b5 ? 0 , 所以 4d ? b5 ? b1≥b5 ? 综上,得 ?

1 , 2

……………… 6

1 1 1 ? ? ,即 d ? ? , 2 2 8
……………… 7

1 ?d ?0. 8

分 (Ⅲ)证明:由题意,设 {cn } 的公比为 q , 则 c1 ? c2 ? c 3 ?

? cm ? c1 (1? q ? q2 ?

? qm?1 ) .

因为 {cn } 为 {an } 的一个 m 项子列, 所以 q 为正有理数,且 q ? 1 , c1 ? 设 q?

1 ≤1 (a ? N? ) . a

K ( K , L ? N? ,且 K , L 互质, L≥2 ). L 当 K ? 1 时, 1 1 因为 q ? ≤ , L 2
所以 c1 ? c2 ? c 3 ?

? cm ? c1 (1? q ? q2 ?
1 1 2 ?( ) ? 2 2 1 ? 2 ? ( ) m ?1 , 2 1 m?1 ? cm ≤2 ? ( ) . 2
≤1 ?

? qm?1 )
1 ? ( ) m ?1 , 2

所以 c1 ? c2 ? c 3 ? 分 当 K ? 1 时, 因为 cm ? c1q 所以 a ? K
m ?1

……………… 10

?

1 K m?1 ? 是 {an } 中的项,且 K , L 互质, a Lm?1

m?1

? M (M ? N* ) ,

所以 c1 ? c2 ? c 3 ?

? cm ? c1 (1? q ? q2 ?
?

? qm?1 )
? 1 ). L
m ?1

1 1 1 1 ( m ?1 ? m ? 2 ? m ?3 2 ? M K K L K L

* 因为 L≥2 , K,M ? N ,

所以 c1 ? c2 ? c 3 ? 综上, c1 ? c2 ? c 3 ? 分

1 1 ? cm ≤1 ? ? ( ) 2 ? 2 2 1 ? cm ≤2 ? m ?1 . 2

1 1 ? ( ) m?1 ? 2 ? ( ) m?1 . 2 2
……………… 13

更多试题下载: (在文字上按住 ctrl 即可查看试题) 高考模拟题:高考各科模拟试题【下载】 历年高考试题:历年高考各科试题【下载】 高中试卷频道:高中各年级各科试卷【下载】 高考资源库:各年级试题及学习资料【下载】 点击此链接还可查看更多高考相关试题【下载】


北京市西城区2014年高三一模数学理科试卷word版有答案

北京市西城区2014年高三一模数学理科试卷word版有答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014.4西城区高三一模数学理科,含有答案北京市西城区 2014 年高三一模试卷 ...

2014高三数学理西城一模试题及答案

第 4 页共 11 页 北京市西城区 2014 年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 5....

北京市西城区2014年高三一模数学理科答案

北京市西城区2014年高三一模数学理科答案_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区 2014 年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学(理科) 2014.4 一、选择题:本大...

【2014西城一模】北京市西城区2014届高三一模试卷 数学理 Word版含答案

1 2 m ?1 . 北京市西城区 2014 年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 5.D ...

2014年北京市西城区高三一模数学(理科)及答案

2014年北京市西城区高三一模数学(理科)及答案_数学_高中教育_教育专区。2014年北京市西城区高三一模数学(理科)及答案北京市西城区 2014 年高三一模试卷 数 学(理科...

2015西城区高三一模数学(理)试题及答案(word版)

2015西城区高三一模数学(理)试题及答案(word版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区...(本小题满分 13 分) 2014 年 12 月 28 日开始, 北京市公共电汽车和地铁...

2016届北京市西城区高三一模理科数学试题及答案

2016届北京市西城区高三一模理科数学试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区 2016 高三一模试卷 数学(理科)第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 2016....

2015北京西城高三一模数学(理)(word版+答案) 正版

2015北京西城高三一模数学(理)(word版+答案) 正版_高三数学_数学_高中教育_教育...(本小题满分13 分) 2014 年12 月28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程...

北京市西城区2016年高三一模理科数学答案

北京市西城区2016年高三一模理科数学答案_高考_高中教育_教育专区。北京市西城区2016年高三一模理科数学答案 文档贡献者 glory_study 贡献于2016-04-12 ...