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二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质


二次函数 y=ax (a≠0)与 y=ax +c(a≠0)的图象与性质
【学习目标】 1.理解二次函数的概念,能用待定系数法确定二次函数的解析式; 2.会用描点法画出二次函数 y=ax (a≠0) 与 y ? ax2 ? c ? a ? 0? 的图象,并结合图象理解抛物线、对称
2

2

2

轴、

顶点、开口方向等概念; 3. 掌握二次函数 y=ax2(a≠0) 与 y ? ax2 ? c ? a ? 0? 的图象的性质,掌握二次函数 y ? ax2 ? a ? 0? 与 (上加下减). y ? ax2 ? c ? a ? 0? 之间的关系;

【要点梳理】 要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念 2 一般地,形如 y=ax +bx+c(a≠0,a, b, c 为常数)的函数是二次函数. 若 b=0,则 y=ax +c; 若 c=0,则 y=ax +bx; 若 b=c=0,则 y=ax . 以上三种形式都是二次函数的特殊形式,而 y=ax +bx+c(a≠0)是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ① (a≠0);② (a≠0);③ (a≠0);④
2 2 2 2

(a≠0),其中

;⑤

(a≠0).

要点诠释: 如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数, a≠0), 那么 y 叫做 x 的二次函数. 这里, 当 a=0 时就不是二次函数了, 但 b、c 可分别为零,也可以同时都为零.a 的绝对值越大,抛物线的开口越小.

2.二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: y ? ax2 ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ; 2. 顶点式: y ? a( x ? h)2 ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ; 3. 两根式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标) (或称交点式). 要点诠释:

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任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 2 ? 4ac ? 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析 式的这三种形式可以互化.

要点二、二次函数 y=ax2(a≠0)的图象及性质 1.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数 y=ax (a≠0)的图象,如图,它是一条关于 y 轴对称的曲线,这样的曲线叫 做抛物线. 因为抛物线 y=x 关于 y 轴对称,所以 y 轴是这条抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线 的顶点,从图上看,抛物线 y=x 的顶点是图象的最低点。因为抛物线 y=x 有最低点,所以函数 y=x 有最 小值,它的最小值就是最低点的纵坐标.
2 2 2 2 2

2.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的画法 用描点法画二次函数 y=ax (a≠0)的图象时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量 x 的值,然 后计算出对应的 y 值,这样的对应值选取越密集,描出的图象越准确. 要点诠释: 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象.用描点法画二次函数 y=ax2(a≠0)的图象,该图象是轴对称图形,对称 轴是 y 轴.y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数,把 y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象. 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点.
2

3.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数 y=ax (a≠0)的图象的性质,见下表:
2

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函数 y=ax
2

图象 a>0

开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 (0,0) y 轴

函数变化

最大(小)值

x>0 时, y 随 x 当 x=0 时, 增大而增大; y 最小=0 x<0 时, y随x 增大而减小.

y=ax

2

a<0

向下

(0,0) y 轴

x>0 时, y 随 x 当 x=0 时, 增大而减小; y 最大=0 x<0 时, y随x 增大而增大.

要点诠释: 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开 口大小完全相同,只是顶点的位置不同. │a│相同,抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大,开口越小,图象两边越靠近 y 轴,│a│越小,开口越大,?图象两边越靠近 x 轴. 要点三、二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 1.二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象 (1) a ? 0

yj

yj

y ? ax2 ? c ? c ? 0?

y ? ax2 ? c ? c ? 0?
O

c
O

x

c

x

(2) a ? 0

yj

yj

c
O

O

x

c

x

y ? ax2 ? c ? c ? 0?

y ? ax2 ? c ? c ? 0?

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2.二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数 y ? ax2 ? c(a ? 0) 的性质,主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减 性以及函数的最大值或最小值等方面来研究.下面结合图象,将其性质列表归纳如下: 函数

y ? ax2 ? c(a ? 0, c ? 0)

y ? ax2 ? c(a ? 0, c ? 0)

图象

开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大(小)值

向上 (0,c) y轴 当 x ? 0 时,y 随 x 的增大而增大; 当 x ? 0 时,y 随 x 的增大而减小. 当 x ? 0 时, y最小值 ? c

向下 (0,c) y轴 当 x ? 0 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x ? 0 时,y 随 x 的增大而增大. 当 x ? 0 时, y最大值 ? c

3.二次函数 y ? ax 2 ? a ? 0? 与 y ? ax 2 ? c ? a ? 0? 之间的关系; (上加下减). 【或向下(c<0) 】平移│c│个单位得到 y ? ax 2 ? c ? a ? 0? 的 y ? ax 2 ? a ? 0? 的图象向上(c>0) 图象. 要点诠释: 抛物线 y ? ax ? c(a ? 0) 的对称轴是 y 轴,顶点坐标是(0,c),与抛物线 y ? ax (a ? 0) 的形状相
2 2

同. 函数 y ? ax ? c(a ? 0) 的图象是由函数 y ? ax (a ? 0) 的图象向上(或向下)平移 | c | 个单位得到
2 2

的,顶点坐标为(0,c). 抛物线 y=ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分,其对称轴即为过顶点且与 x 轴垂直的一条直 线,其顶点横坐标 x=0,抛物线平移不改变抛物线的形状,即 a 的值不变,只是位置发生变化而已.

【典型例题】

类型一、二次函数的概念
1.下列函数中,是关于 x 的二次函数的是________(填序号).

(1)y=-3x2;(2) y ? x ?
2

1 ; x

(3)y=3x2-4-x3;

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(4) y ? ?2 ?

1 2 x ; 3

(5)y=ax2+3x+6; (6) y ?

x2 ? 2 x ? 3 .

【答案】(1)、(4); 【解析】紧扣二次函数的定义去判断,(1)、(4)符合二次函数的条件; (2)中不是关于 x 的整式,而是分式;(3)中 x 的最高次数不是 2,而是 3; (5)中二次项系数 a 可能为 0; (6)中 x2 ? 2x 不是整式而是根式, 所以(2)、(3)、(5)、(6)均不符合二次函数的条件. 【总结升华】判断一个函数是否是二次函数,应抓住三个特征: (1)经整理后,函数表达式是含自变量的整式; (2)自变量的最高次数为 2; (3)二次项系数不为 0,尤其是含有字母系数的函数,应特别注意含字母的二次项系数是否为 0. 举一反三: 【变式】如果函数 y ? (m ? 3) xm 【答案】 根据题意,得 ?
2

?3m?2

? mx ? 1是二次函数,求 m 的值.
解得 m=0.

?m2 ? 3m ? 2 ? 2, ?m ? 3 ? 0,

类型二、二次函数 y=ax2(a≠0)的图象及性质

2.函数 y=x 的图象对称轴左侧上有两点 A(a,15),B(b,

2

1 ),则 a-b_______0(填“>” 、 “<” 4

或“=”号). 【答案】<. 【解析】解法一:将 A(a,15), B ? b, ? 分别代入 y=x2 中得: 15 ? a ,
2

? ?

1? 4?



a ? ? 15 ;

1 ? b2 , 4 1 , 2

又 A、B 在抛物线对称轴左侧,∴ a<0,b<0,即 a ? ? 15 , b ? ? ∴

a ? b ? ? 1 5?

1 ? 0 2

解法二:画函数 y=x2 的草图(如图所示),可知在 y 轴左侧(x<0)时,y 随 x 的增大而减小,

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又∵

15 ?

1 ,a<b,即 a-b<0. 4

【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观,充分运用 了数形结合的思想. 举一反三: 【变式 1】二次函数 y ? ax 2 与 y ? ?2 x 2 的形状相同,开口大小一样,开口方向相反,则 a ? 【答案】2; 【变式 2】不计算比较大小:函数 y ? x 的图象左侧上有两点 A(a,15) ,B(b,0.5) ,则 a
2



b.

【答案】<.

类型三、二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象及性质

3.求下列抛物线的解析式:

(1)与抛物线 y ? ?

1 2 x ? 3 形状相同,开口方向相反,顶点坐标是(0,-5)的抛物线; 2

(2)顶点为(0,1) ,经过点(3,-2)并且关于 y 轴对称的抛物线. 【答案与解析】 (1)由于待求抛物线 y ? ?

1 2 1 x ? 3 形状相同,开口方向相反,可知二次项系数为 , 2 2 1 2 又顶点坐标是(0,-5) ,故常数项 k ? ?5 ,所以所求抛物线为 y ? x ? 5 . 2

(2)因为待求抛物线顶点为(0,1) ,所以其解析式可设为 y ? ax 2 ? 1 , 又∵ 该抛物线过点(3,-2) ,∴ ∴ 所求抛物线为 y ? ?

1 9a ? 1 ? ?2 ,解得 a ? ? . 3

1 2 x ?1. 3

【总结升华】抛物线形状相同则 | a | 相同,再由开口方向可确定 a 的符号,由顶点坐标可确定 k 的值, 从而确定抛物线的解析式 y ? ax ? k .
2

4.在同一直角坐标系中,画出

y ? ? x2 和 y ? ? x 2 ? 1的图象,并根据图象(如图所示)回答下列问

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题.

(1)抛物线 y ? ? x 2 ? 1向________平移________个单位得到抛物线 y ? ? x2 ; (2)抛物线, y ? ? x 2 ? 1开口方向是________,对称轴为________,顶点坐标为________; (3)抛物线 y ? ? x 2 ? 1, 当 x________时, 随 x 的增大而减小; 当 x________时, 函数 y 有最________ 值,其最________值是________. 【答案】 (1)下; l ; (2)向下; y 轴; (0,1); (3)>0; =0; 大; 大 ; 1. 【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线,利用图象回答问题. (1)抛物线 y ? ? x 2 ? 1向 下 平移
2

1__个单位得到抛物线 y ? ? x2 ;

(2)抛物线, y ? ? x ? 1开口方向是 向下 ,对称轴为___ y 轴_____,顶点坐标为_ (0,1)__; (3)抛物线 y ? ? x ? 1,当 x >0 时,y 随 x 的增大而减小;
2

当 x =0__时,函数 y 有最
2

大 值,其最 大__值是 1
2



【总结升华】本例题把函数 y ? ? x ? 1与函数 y ? ? x 的图象放在同一直角坐标系中进行对比,易得出 二 次 函 数 y ? ax ? k (a ? 0) 与 y ? ax (a ? 0) 的 图 象 形 状 相 同 , 只 是 位 置 上 下 平 移 的 结
2 2 2 2 论. y ? ax ? k( a ? 0) 可以看作是把 y ? ax (a ? 0) 的图象向上 (k ? 0) 或向下 (k ? 0) 平移

| k | 个单位得到的.

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【巩固练习】 一、选择题 1.下列函数是二次函数的是( A. y ? ). C. y ? ( x ?1)( x ? 2) ? x2 ). D. y ? ?

1 ?x x

B. y ? ( x )2 ? 2 x ?1

1 2 x ? 2x 3

2.函数 y ? (m ? 3) x|m| ?1 ? 3x ? 1是二次函数,则 m 的值是( A.3 B.-3 C.±2 D.±3

3.把抛物线 y ? x2 向右平移 1 个单位,所得到抛物线的函数表达式为( A. y ? x2 ? 1 B. y ? ( x ? 1)2 C. y ? x2 ?1

).

D. y ? ( x ? 1)2

4.一台机器原价 60 万元,如果每年的折旧率是 x,两年后这台机器的价格为 y 万元,则 y 与 x 之间的 函数关系式为( ). 2 2 2 A.y=60(1-x) B.y=60(1-x) C.y=60-x D.y=60(1+x)
2 2 5.在同一坐标系中,作出 y ? 2x , y ? ?2 x , y ?

1 2 x 的图象,它们的共同点是( 2

) .

A.关于 y 轴对称,抛物线的开口向上 C.关于 y 轴对称,抛物线的顶点都是原点

B.关于 y 轴对称,抛物线的开口向下 D.关于原点对称,抛物线的顶点都是原点

6.汽车的刹车距离 y (m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之间满足二次函数 y ? 的刹车距离为 5 m,则开始刹车时的速度为( A.40 m/s B.20m/s C.10 m/s ). D.5 m/s

1 2 x ( x ? 0) ,若汽车某次 20

二、填空题 2 7.已知抛物线的解析式为 y=-3x ,它的开口向________,对称轴为________,顶点坐标是________, 当 x>0 时,y 随 x 的增大而________. 2 8.若函数 y=ax 过点(2,9),则 a=________. 2 9.已知抛物线 y=x 上有一点 A,A 点的横坐标是-1,过点 A 作 AB∥x 轴,交抛物线于另一点 B, 则△AOB 的面积为________.
2 10.函数 y ? x , y ?

1 2 x 、 y ? 3x 2 的图象大致如图所示,则图中从里向外的三条抛物线对应的函数 2

关系式是_____________________.

第 10 题

第 12 题

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11.边长为 12 cm 的正方形铁片,中间剪去一个边长 x cm 的小正方形铁片,剩下的四方框铁片的面积 2 y(cm )与 x(cm)之间的函数关系式为_______. 12.如图所示,用一段长 30 米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园 ABCD,设 AB 的边长 2 为 x 米,则菜园的面积 y(单位:米 )与 x(单位:米)的函数关系式为_____ ___(不要求写自变量 的取值范围). 三、解答题 13.已知 y ? (m ? 2) xm
2

?m

是二次函数,且当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大.

(1)求 m 的值;(2)画出函数的图象.

14. 几位同学聚会,每两个人之间握手一次,试写出握手的总数 m 与参加聚会的人数 n 之间的函数关系 式.

15.已知抛物线 y ? a( x ? 2) ? 1 的顶点为 A,原点为 O,该抛物线交 y 轴正半轴于点 B,且 S△ AOB ? 3 ,
2

求:(1)此抛物线所对应的函数关系式;(2)x 为何值时,y 随 x 增大而减小?

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【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D ; 【解析】根据二次函数的定义判断.A 项中,

1 不是整式; x
2

B 项中 ( x )2 ? 2 x ?1 是根式,而不是整式;C 项中,去括号合并后不合 x 项. 2. 【答案】B ; 【解析】由二次函数的定义知,二次项系数 a≠0,当 m=3 时,m-3=0,所以 A、D 不正确. 由|m|-1=2 得 m=±3,显然 C 选项不正确. 3. 【答案】D ; 【解析】由抛物线 y ? x2 的图象知其顶点坐标为(0,0),将它向右平移 1 个单位后, 抛物线的顶点坐标为(1,0),因此所得抛物线的解析式为 y ? ( x ? 1)2 . 4. 【答案】A ; 【解析】一年后这台机器的价格为 60-60x=60(1-x), 2 两年后这台机器的价格为 y=60(1-x)(1-x)=60(1-x) .以此类推. 5.【答案】C ; 【解析】y=2x ,y=-2x , y ?
2 2

1 2 x 的图象都是关于 y 轴对称的,其顶点坐标都是(0,0). 2

6.【答案】C ; 2 【解析】当 y=5 时,x =100,x=10. 二、填空题 7. 【答案】下 ; y 轴; (0,0); 减小; 8. 【答案】

9 ; 4

【解析】将点(2,9)代入解析式中求 a. 9. 【答案】 1 ; 【解析】由抛物线的对称性可知 A(-1,1),B(1,1),则 S△ AOB ?
2 2 10. 【答案】 y ? 3x , y ? x , y ?

1 AB 2

1 y A ? ? 2 ?1 ? 1 . 2

1 2 x . 2

【解析】先比较

1 ,|1|,|3|的大小关系,由|a|越大开口越小,可确定从里向外的三条抛物线所 2
1 2 x . 2

2 2 对应的函数依次是 y=3x ,y=x , y ? 2

11. 【答案】y=144-x ; 【解析】剩下四方框的面积为两个正方形的面积差.

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12. 【答案】 y ? x 三、解答题 13.【答案与解析】 (1)∵

30 ? x x2 ? ? ? 15 x . 2 2

y ? (m ? 2) xm ?m 为二次函数,且当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,
?m2 ? m ? 2 ?m ? 1或m ? ?2 , ∴ ? . ? m ? ? 2 m ? 2 ? 0 ? ?

2



∴m=1. (2)由(1)得这个二次函数解析式为 y ? 3x 2 ,自变量 x 的取值范围是全体实数, 可以用描点法画出这个函数的图象.如图所示.

14.【答案与解析】 n 位同学中,因为每人除自己之外都要与其余同学分别握手一次,即握(n-1)次手, 考虑到两位同学彼此的握手只算一次,所以 n 位同学共握手 即m ?

1 n(n ? 1) 次. 2

1 1 1 n(n ? 1) ? n 2 ? n 2 2 2 1 ? 3 得 (4a ? 1) ? 2 ? 3 , 2

15.【答案与解析】 (1) 由题意知 A(2, 1), 令x ? 0, 则 y ? 4a ? 1 , 所以 B(0, 4a ? 1) . 由 S△B O A

1 1 2 ,因此抛物线的解析式为 y ? ( x ? 2) ? 1 . 2 2 (2)当 x ? 2 时,y 随 x 增大而减小.
所以 a ?

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