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数理方程与特殊函数复习课

时间:2012-04-09


数理方程与特殊函数复习课

课程内容概述
? 第一章 一些典型方程和定解条件的推导

? 第二章 分离变量法
? 第三章 行波法与积分法

? 第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
? 第五章 贝塞尔函数 ? 第六章 勒让德多项式

第一章 一些典型方程和定解条件的推导

? 数学物理方程的导出步骤 ? 数学物理方程的类型 ? 定解条件 ? 适定问题及叠加原理

数学物理方程的导出步骤
? 确定所研究的物理量 ? 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出

一小部分,再根据相应的物理规律分析邻近部分
与该部分的作用(抓主要作用),这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 ? 把这种关系用微分方程表达出来,经过化简整理, 得到数学物理方程。

三种类型的数理方程
? 波动方程(双曲型)
描述振动过程,关于连续介质(弦、杆、膜、
气体等)的振动问题,以及关于电磁振荡等

问题。
– 一维 – 二维 – 三维
2 ? 2u 2 ? u ?a 2 ?t ?x 2 2 ? 2u ? 2u 2 ? u ?a ( 2 ? 2) 2 ?t ?x ?y

2 2 2 ? 2u ? u ? u ? u 2 ? a ( ? ? ) 2 2 2 2 ?t ?x ?y ?z

三种类型的数理方程
? 热传导方程(抛物型)
描述输运过程,研究热传导、扩散、电介质内 电磁场的传播,粘性液体流动等问题。
– 一维
– 二维 – 三维
2 ?u ? u ? a2 2 ?t ?x 2 ?u ? 2u 2 ? u ?a ( 2 ? 2) ?t ?x ?y

2 2 2 ?u ? u ? u ? u 2 ?a ( 2 ? 2 ? 2) ?t ?x ?y ?z

三种类型的数理方程
? 稳定场方程(椭圆型方程)
描述稳恒过程,即不随时间变化的过程,如固 定的电场、磁场、稳定的热场等问题。
– 二维

? 2u ? 2u ? 2 ?0 2 ?x ?y

– 三维

? 2u ? 2u ? 2u ? 2 ? 2 ?0 2 ?x ?y ?z

定解条件
? 初始条件
– 对于不同类型的方程初始条件的不同

? 边界条件
– 第一类 – 第二类

波动问题

热传导问题

边界条件的分类
以S 表示物体的边界,则有: ?第一类边界条件 ?第二类边界条件

如果边界条件中的f=0,则称其为齐次边界条件,否则 称为非齐次边界条件。

考试要求
振动、扩散物理问题的方程及 定解条件,能够写出定解问题。 方程推导过程不考。

重点:振动、扩散问题的边界
条件如何确定

振动问题的边界条件
? 固定端

? 自由端

热传导问题的边界条件
? 边界温度已知
? 边界有热流流入(或绝热)

第一类问题

:根据物理现象写出定解问题

? 弦的横振动问题:两个端点x=0和x=a固定,初始时处 于静止,初始位移如下图所示,写出相应的定解问题。

u
H
X=0
X1

H
X2 X=a

x

0端

l端

长为l 的杆,侧面绝缘,两端均有热流流出, x=0端热流强度为 q1 (, t ) x=l 端热流强度为 q2 (t )
杆的初始温度分布为 x
流入或 q ? dQ dSdt 流出

,写出相应的定解问题 。 (l ? x )
? u 0端流出,温度梯 k ?x 度方向为正
l端流出,温度 ?u 梯度方向为负 k ?x
x ?0

? q1 (t )

?u dQ ? ?k dSdt ?n

x ?l

? q2 (t )

长为l的弦两端固定,开始时在x=c受到冲量k的作 用,求此问题的定解问题。

? ?0

? 设有一长为l的棒,表面绝热,包括它的两个端点(x=0 和x=l),初始温度为f(x),写出此问题的定解问题。

解此类题目的思路
? 1、对给定的物理、力学问题,识别此问题的方程属于 哪一类(波动,热传导,拉普拉斯),写出方程,注

意,方程中有没有自由项(外力作用)。
? 2、根据问题所给的条件写出初始条件(波动问题:初 位移和初速度;热传导问题:初始温度;拉普拉斯问

题:无初始条件)和边界条件(一类边界:固定端,
固定温度;二类边界:自由端,热流流入或绝热)

重点练习
? 习题一 1 2 4

第二章 分离变量法(在有界域内 求解定解问题)
? 分离变量法的基本思想
? 分离变量法的基本步骤

基本思想
将定解问题的解表示成单变量函数

之积(变量分离),代入偏微分方程,
将方程降阶或化为带有参数的常微分

方程,使问题简化,达到求解目的。

基本步骤
? 把解写成由几个只包含一个自变量的函数的乘积

的形式 u( x, t ) ? X ( x)T (t )
? 把偏微分方程和边界条件化成几个常微分方程的

边值问题
? 求特征值问题,得到原来方程无穷多个满足边界

条件且变量分离的特解
? 把特解叠加得到无穷级数并利用初始条件决定其

中的系数。

分离变量法步骤图
变量 分离 定 解 问 题 齐次边界条件 常微分方程2 特征值 条件 特征值问题 常微分方程1 解1 解1 × 解2

偏微分方程

解2

初始条件

所求解= Σ 用Fourier级数 确定叠加系数

必须会
? 一、一(0,l), ? 一、二, ? 二、一, ? 二、二类边界条件的特征值和特征函数 ? 上述边界条件下波动方程,热传导方程、二维拉氏问

题(矩形域、扇形域、扇环域)的解的形式 (注意:二
二类解里多一个u0,λ=0) ? 圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解 ? 解题时可以直接使用,不过要写出“根据。。。。的 边界条件及分离变量法,可得:”

应用分离变量法求解
? 一维波动 ? 一维热传导 ? 二维矩形域拉普拉斯 ? 二维扇形域拉普拉斯 ? 二维环扇域拉普拉斯 ? 二维圆环域拉普拉斯 ? 二维圆域拉普拉斯

利用齐次边界条件, 确定特征值问题, 确定特征值和特 征函数
利用周期条件,确定 特征值问题,特征 值和特征函数

一维振动,热传导方程对应的特征值问题,特征值, 特征函数系 方程
一维振动 一维传导

边界条件 特征值问题
u (0, t ) ? 0 u (l , t ) ? 0
u (0, t ) ? 0 u x (l , t ) ? 0
u x (0, t ) ? 0 u (l , t ) ? 0
u x (0, t ) ? 0 u x (l , t ) ? 0

特征值

特征函数系
X n ( x) ? sin n? x l n ? 1, 2....

? X ??( x) ? ? X ( x) ? 0 ?n ? ( n? )2 ? 0 ? l X (0) ? X ( l ) ? 0 ? n ? 1, 2,....
? X ??( x) ? ? X ( x) ? 0 ?n ? ( ? )2 ? 0 2l ? ? X (0) ? X ( l ) ? 0 ? n ? 0,1, 2,....
2 ? X ??( x) ? ? X ( x) ? 0 ?n ? ( 2l ? ) ? 0 ? ? X ?(0) ? X (l ) ? 0 n ? 0,1, 2,....

2n ? 1

X n ( x) ? sin

2n ? 1 ?x 2l n ? 0,1, 2....

2n ? 1

X n ( x) ? cos

2n ? 1 ?x 2l n ? 0,1, 2....

? X ??( x) ? ? X ( x) ? 0 ? ? X '(0) ? X '(l ) ? 0

?n ? (

n? 2 ) ?0 l n ? 0,1, 2,....

X n ( x) ? cos

n? x l n ? 0,1, 2....

矩形域两维拉氏问题对应的特征值问题,特征值, 特征函数系 方程
空间两维拉 氏问题(矩 形域)
0? x?a 0? y?b

边界条件 特征值问题
u (0, y ) ? u (a, y ) ? 0 u ( x, 0) ? ? ( x) u ( x, b ) ? ? ( x )
u (0, y ) ? u x (a, y ) ? 0 u ( x, 0) ? ? ( x) u ( x, b ) ? ? ( x ) u x (0, y ) ? u (a, y ) ? 0 u ( x, 0) ? ? ( x) u ( x, b ) ? ? ( x )

特征值

特征函数系
X n ( x) ? sin n? x a n ? 1, 2....

? X ??( x) ? ? X ( x) ? 0 ?n ? ( n? )2 ? 0 ? a X (0) ? X ( a ) ? 0 ? n ? 1, 2,....
? X ??( x) ? ? X ( x) ? 0 ?n ? ( ? )2 ? 0 2a ? ? X (0) ? X ( a ) ? 0 ? n ? 0,1, 2,....
2 ? X ??( x) ? ? X ( x) ? 0 ?n ? ( 2a ? ) ? 0 ? ? X ?(0) ? X (a) ? 0 n ? 0,1, 2,....

2n ? 1

X n ( x) ? sin

2n ? 1 ?x 2a n ? 0,1, 2....

2n ? 1

X n ( x) ? cos

2n ? 1 ?x 2a n ? 0,1, 2....

u x (0, y ) ? u x (a, y ) ? 0 u ( x, 0) ? ? ( x) u ( x, b ) ? ? ( x )

? X ??( x) ? ? X ( x) ? 0 ? ? X '(0) ? X '(a) ? 0

?n ? (

n? 2 ) ?0 a n ? 0,1, 2,....

X n ( x) ? cos

n? x a n ? 0,1, 2....

两组边界条件可对调

圆/扇(环)域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系
区域 边界条件 特征值问题 特征值 特征函数系

0 ? ? ? 2?
0 ? ? ? ?0

u

? ? ?0

? f (? )

?? n (? )? ? ?1, cos n? ,sin n? ?,
n ? 1, 2... ? ?

u( ? ,? ) ? u( ? ,? ? 2? )

0 ? ? ? 2?

u u u

? ? ?0
? ? ?1

? f0 (? ) ? f1 (? ) ? f (? )
? ??

?1 ? ? ? ?0
0 ?? ??
0 ? ? ? ?0

?? n (? )? ? ?1, cos n? ,sin n? ?,
n ? 1, 2... ? ?

u( ? ,? ) ? u( ? ,? ? 2? )
? ? ?0

u

? ?0

?u

?0

?? n (? )? ? ? ?sin
? n ? 1, 2...

n? ? ? ?, ? ?

0 ?? ??

u u

? ? ?0
? ? ?1

? f0 (? ) ? f1 (? )
? ??

?? n (? )? ? ? ?sin
? n ? 1, 2...

?1 ? ? ? ?0

n? ? ? ?, ? ?

u

? ?0

?u

?0

一维波动、热传导方程
? u ? a 2 u ,(0 ? x ? l , t ? 0) tt xx ? ? 11,12, 21, 22 边界条件 ? ? ? ? u t ? 0 ? ? ( x ), ut t ? 0 ? ? ( x )
2,2 u( x , t ) ? u0 ?

? ut ? a 2 uxx ,(0 ? x ? l , t ? 0) ? 11,12, 21, 22 边界条件 ? ? u t ?0 ? ? ( x ) ?

) n ?1(11;22 0(12;21)

?

?

Tn ( ? nat )X n ( ? n x )

Tn由方程的性质而定,对于振动方程

u0

2,2

? c0 ? d0 t , Tn ? Cn cos ? nat ? Dn sin ? nat

对于热传导方程

u0 ? c0 , Tn ? Cne

? ? n2a 2 t

矩形域上的二维拉普拉斯方程

u ? (c0 ? d 0 x )22 ?
若X提供齐次边界条件

) n ?1(11;22 0(12;21)

?

??

(cne ? n x ? d ne ? ? n x )Yn ( ? n y )
an ch ? n x ? bn sh ? n x

u ? (c0 ? d 0 y )22 ?

) n ?1(11;22 0(12;21)

?

??

( cn e

?n y

? d ne

? ?n y

) X n (?n x)

环(圆)域上的二维拉普拉斯方程

?

圆域

u

? ?0

? ??, ? ? ?0

扇环(扇)域上的二维拉普拉斯方程

齐次边界 若为扇域

通解中待定系数的确定方法---代入定解条件,利 用特征函数的正交性求解
一维波动方程

u( x , t ) ? (c0 ? d 0 t )2,2 ?
l

) n ?1(11;22 0(12;21)

?

?

(C n cos ? nat ? Dn sin ? nat ) X n ( ? n x ),

1 c0 ? ? ? ( x )dx l 0
l

1 d 0 ? ? ? ( x )dx l 0
l

l

2 2 1 C n ? ? ? ( x ) X n ( ? n x )dx Dn ? ? ( x ) X n ( ? n x )dx ? l 0 l ? na 0

一维热传导方程

u( x , t ) ? c
l

2,2 0

?

) n ?1(11;22 0(12;21)

?

?

Cne

2 ? a2?n t

X n (?n x)
l

1 c0 ? ? ? ( x )dx l 0

2 C n ? ? ? ( x ) X n ( ? n x )dx l 0

矩形域上的二维拉普拉斯方程

u ? (c0 ? d 0 x )2,2 ?

) n ?1(11;22 0(12;21)

?

??

(cne ? n x ? d ne ? ? n x )Yn ( ? n y )
an ch ? n x ? bn sh ? n x

? ( y ) ? c0

2,2

?

11;22 ) n ?1( 0 ( 12;21 )

?

?

(cn ? d n )Y ( ? n y )

? ( y ) ? (c0 ? d 0 e )2,2 ?
利用正交性求解系数

11;22 ) n ?1( 0 ( 12;21 )

?

?

(cn e ? n e ? d n e ? ? n e )Yn ( ? n y )

1 c0 ? f

?
0

f

? ( y )dy

求解方程组即可

1 c0 ? d 0 e ? f 2 cn ? d n ? f
f

? ? ( y )dy
0 n

f

? ? ( y )Y
0

( ? n y )dy

u ? (c0 ? d 0 x )22 ?

) n ?1(11;22 0(12;21)

?

??

(an ch ? n x ? bn sh ? n x )Yn ( ? n y )

? ( y ) ? c0 2,2 ?
? ( y ) ? (c0 ? d 0 e )

11;22 ) n ?1( 0 ( 12;21 )

?
?

?

anY ( ? n y )

2,2

11;22 ) n ?1( 0 ( 12;21 )

?

?

(an ch ? n e ? bn s h ? n e )Yn ( ? n y )

利用正交性求解系数
an ? 2 f

1 c0 ? f

?
0

f

? ( y )dy

? ? ( y )Yn ( ? n y )dy
0

f

1 c0 ? d 0 e ? f

? ? ( y )dy
0

f

求解方程组即可

环(圆)域上的二维拉普拉斯方程
环域

将定界条件带入

利用正交性求系数

环(圆)域上的二维拉普拉斯方程
圆域

将定界条件带入

利用正交性求系数

扇环(扇)域上的二维拉普拉斯方程
扇环域

将定界条件带入

利用正交性求系数

联立求解

c0 d 0

联立求解

扇域

将定界条件带入

利用正交性求系数

重点掌握
? 振动、热传导、拉氏问题齐次、非齐次方程的求解 ? 齐次方程可直接写出形式解 ? 非齐次方程-特征函数法 冲量法 特解法

应用分离变量法求解有界域 的定解问题
第二类问题:

? 此类定解问题的特点:
– 1、方程齐次或非齐次

– 2、边界条件齐次
? 边界条件的特点: – 一一;一二;二一;二二 ? 周期条件 ? 熟记以上边界/周期条件条件下,方程的特征值和特征函数 ? 二二类边界条件下,解的形式中多一个u0

练习
? 长度为2的弦,两端固定,弦做自由振动,初始位移 如图所示,初速度为零。写出定解问题并求解。

? 由方程和边界条件可得通解为

? 解定解问题

? u ? a 2 u ? Ax , 0 ? x ? l , t ? 0 tt xx ? ? 0? x?l ? u t ? 0 ? 0, ut t ? 0 ? 0 , ? u x ? 0 ? ux x ? l ? 0 , t ? 0 ? ?

冲量法:

? wtt ? a 2 w xx ? ? w x?0 ? w x x?l ? 0 ? ? w t ?? ? 0, wt t ?? ? Ax

? u ? a 2 u ? Ax , 0 ? x ? l , t ? 0 tt xx ? ? 0? x?l ? u t ? 0 ? 0, ut t ? 0 ? 0 , ? u x ? 0 ? ux x ? l ? 0 , t ? 0 ? ?

u( x , t ) ? ? w( x , t ;? )d?
0

t

32 Al 3 ( ?1)n (2n ? 1)? at (2n ? 1)? x ?? (1 ? cos )sin 4 4 2 2l 2l n ? 0 (2n ? 1) ? a
?

转换法:

? u ? a 2 u ? Ax , 0 ? x ? l , t ? 0 tt xx ? ? 0? x?l ? u t ? 0 ? 0, ut t ? 0 ? 0 , ? u x ? 0 ? ux x ? l ? 0 , t ? 0 ? ?

u( x, t ) ? V ( x, t ) ? w( x)
2 ? ? a w??( x ) ? ? Ax ? ? ? w x?0 ? w x x?l ? 0

? Ax 3 Al 2 x w( x ) ? ? 6 2

? Vtt ? a 2Vxx ? ? ? V x ? 0 ? Vx x ? l ? 0 ? ? ?V t ? 0 ? ? w ( x ),Vt t ? 0 ? 0

? Vtt ? a 2Vxx ? ? ? V x ? 0 ? Vx x ? l ? 0 ? V ? ? w ( x ), V ? 0 ? t ? 0 t t ? 0 ?
(2n ? 1)? (2n ? 1)? 2n ? 1 V ( x , t ) ? ? [Cn cos at ? Dn sin at ]sin( )? x 2l 2l 2l n? 0
?

2 l 2n ? 1 cn ? ? ? w ( x )sin( )? xdx 0 l 2l ( ?1)n?1 32 Al 3 ? 4 u( x, t ) ? V ( x, t ) ? w( x) ? (2n ? 1)4

特征函数法:
u ? ? un sin ? n x
n ?0 ?

? u ? a 2 u ? Ax , 0 ? x ? l , t ? 0 tt xx ? ? 0? x?l ? u t ? 0 ? 0, ut t ? 0 ? 0 , ? u x ? 0 ? ux x ? l ? 0 , t ? 0 ? ?
?

Ax ?? cn sin ? n x
n ?0

2 l 8lA n cn ? ? A sin ? n xdx ? ( ? 1) l 0 (2n ? 1) 2 ? 2
3 3 32 l A (2 n ? 1) ? 32 l A n ?1 n un ? (?1) cos at ? (?1) 4 4 2 (2n ? 1) ? a 2l (2n ? 1) 4 ? 4 a 2

32 Al 3 (?1) n (2n ? 1)? at (2n ? 1)? x u ( x, t ) ? ? (1 ? cos )sin 4 4 2 2l 2l n ? 0 (2n ? 1) ? a
?

? 求定解问题
?u ? u ? 0 , 0 ? x ? l , 0 ? y ? m yy ? xx ? u x?0 ? 0 , u x?l ? 0 ? ? u y?0 ? x , u y?m ? 0 ? ?
对于u(x,y):x满足1 1类齐次边界条件,则应用分离变量法得

u( x , y ) ? ? (cne
n ?1

?

n? y l

? d ne

?

n? y l

n? )sin x l

2 n? 2l (?1) cn ? d n ? ? x sin xdx ? l 0 l n?
l

n ?1

cn e

n? m l

? dne

?

n? m l

l (?1) e l (?1) e ? 0, cn ? , dn ? n? m n? m n? sh( ) n? sh( ) l l
? n? m l n? y l

? n? m n l

n? m n ?1 l

l (?1) e u ( x, y ) ? ? [ e n? m n ?1 n? sh( ) l
? n

?

l (?1)

n ?1

n? m n? sh( ) l

e

n? m l

e

? n? y l

n? ]sin x l

分离变量法解题思路
– 第一要审题,关键看方程特点(类型、齐次、非齐次的 自由项)与边界条件(齐次的)或者周期条件 – 第二根据边界条件(或周期条件)写出特征值与特征函 数(一sin二cos零端异,相同相异正半长)

分离变量法解题思路
– 第三,如果方程是齐次的,直接写出通解,通解是叠加
形式,即特征函数的级数展开,特别注意二二类边界条

件还有一项u0不要丢。通解中的系数可用特征函数正交
性的特点进行求解。 – 第四,如果方程是非齐次的,要根据方程的特点选择适 当的方法(特征方程法、冲量法、特解法等)

重点练习
习题二:2 5 6 8 9 12 13 14

第三章 行波法(在无界域内求解 波动方程的解)
在无界域内求解二阶偏微分方程
Auxx ? 2Buxy ? Cu yy ? Dux ? Eu y ? Fu ? 0

先写特征方程 再求特征方程线

A(dy)2 ? 2Bdxdy ? C (dx)2 ? 0
B ? B 2 ? AC y ?( ) x ? 常数 A

? 第三步,做特征变换 ? 第四步,求积分得解

B ? B 2 ? AC y ?( ) x ? 常数 A

应用行波法求解无界域一维 波动方程
第三类问题:

x?0 y?0 ? uxy ? y ? ?u (0, y) ? 2 y ? 1, u ( x, 0) ? 1
?? ? x ? ??, t ? 0 ?uxx ? 16utt ? 2 u ( x , 0) ? 0, u ( x , 0) ? x t ?

直接积分 特征方程

特征线
特征变换 积分
x ? at

直接用 达朗倍 尔公式

utt ? a uxx
2

1 1 u ( x, t ) ? [? ( x ? at ) ? ? ( x ? at )] ? ? (? )d? ? 2 2a x ? at

? uxx ? 2uxy ? 3u yy ? 0 ? 2 u ( x , 0) ? 3 x , u y ( x, 0) ? 0 ?

特征方程 特征线 特征变换 积分

行波法解题思路
? 熟记达朗贝尔公式 ? 对于积分型的方程,对x,y分别积分,求 通解,之后,代入定解条件求通解中的待 定函数,切记仔细认真! ? 小心方程陷阱 a

重点掌握
? 三种题型的解法

重点练习
习题三 1 及课堂上提供的两个练习题,

书中第一节例题

第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
? 拉普拉斯狄氏问题和牛曼问题
? 第一、第二格林公式 ? 调和函数的性质 ? 格林函数的建立(电象法) ? 应用格林法写出拉普拉斯方程的形式解

拉普拉斯方程的狄氏问题和牛曼问题
狄氏问题:在Ω内找到一个调和函数u,且 u

?

? f

?u 牛曼问题:在Ω内找到一个调和函数u,且 ?n

?

? f

? 第一,第二格林公式
?v (u? v)dV ? ?? u dS ? ??? gradu ? gradvdV ??? ?n ? ? ?
2

?v ?u (u? v ? v? u )dV ? ?? (u ? v )dS ??? ?n ?n ? ?
2 2

?v ?u (u? v ? v? u )d? ? ? (u ? v )ds ?? ?n ?n D C
2 2

? 三维拉普拉斯方程的基本解
1 1 v? ? r ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( z ? z0 ) 2

? 二维拉普拉斯方程的基本解
v ? ln 1 ? ln 1 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2

?

? 调和函数的性质

– 调和函数的积分公式
– 边值性质

– 平均值定理
– 唯一性

? 调和函数的积分表达式
1 u(M 0 ) ? ? 4? ? 1 1 ?u ( M ) [u ( M ) ( )? ]dS ?? ?n rM 0 M rM 0 M ?n ?

1 ? 1 1 ?u ( M ) u(M 0 ) ? ? u ( M ) (ln ) ? (ln ) ]ds ? 2? ? ?n ? M 0 M ?M0M ?n
rM 0 M ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( z ? z0 )2

?M M ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2
0

点M0到点M的距离

格林函数
定义
G( M , M 0 )

1 ? ?v ?G ( M , M 0 ) ? 4? r MM 0 ? ? G(M , M 0 ) ? ? 0 ?

1 1 ? ?G ( M , M 0 ) ? 2? ln r ? v MM 0 ? ? G(M , M 0 ) ? ? 0 ?

拉普拉斯方程的格林函数

? 若G存在,且在Ω+Г上有连续的 一阶偏导数,则拉普拉斯方程的狄 氏问题

? ? ? u?0 ? ? ?u ? ? f ( M )
2

?G 的解为 u ( M 0 ) ? ? ?? f ( M ) dS ?n ? ?G u(M 0 ) ? ?? f (M ) dS ? ?n

电象法求格林函数
? 画图,找到所求的区域Ω及区域的边界Г ? 对应于Ω内的一点M0寻找Ω外的一点M1;
– 在M1点放置一个负电荷(-q),使得它在Г上 产生的电位为
?v ? ?q 4? rMM1
?

的电位

1 4? rM 0 M

,与M0处正电荷产生
rMM1 rMM 0

?

相抵消,即
?

1 4? rM 0 M

q ? ? 4? rMM1

? 0 因而 q ?

于是,格林函数 G( M , M 0 ) ?

1 q ? 4? rM 0 M 4? rMM1

电象法求格林函数
? 电象法的关键:如何寻找M1。 – 通常取M1为M0关于边界Г的某种“对称点”。 – 如果Г为平面,则为几何对称点;如果为球 面,则为反演点

?如果Г为平面(直线), 则为几何对称点
M1 Y

P

M(0x0 , y0 )

(? x0 , y0 )

O

X

? Г为球面(圆弧

线),则为反演点

rOM0 ? rOM1 ? R

2

求电荷量
?Г为平面(直线)

q?

rMM1 rMM 0

?1

放置单位负电荷

?Г为球面(圆弧线)

q?

rM1P rM 0 P

?

R

?0

根据边界的情况, 有时需要找若干个M0

的对称点。
如果对称点有若干个,则关于平面(直线)

的对称点放置单位电荷,关于球面(圆
弧线)对称点放置电量为
R

?0

的电荷,

电荷电量的正负性依据在边界上电位相 消的特性确定。

写出格林函数
写出M0及其所有对称点在区域内产生的电位(空间
域),求和,即为格林函数
空间域

1 q G(M , M 0 ) ? ? ? 4? rM 0 M 4? rMM1

平面域

1 1 1 q G(M , M 0 ) ? ln ? ln ? 2? rM 0 M 2? rMM1

特殊区域的格林函数
? 半空间
? 半平面 ? 球

p95 4.4.1
p97 6 p97 4.4.1

? 圆
? 半球 ? 半圆

p97 5

? 四分之一平面 ? 四分之一圆 ? 四分之一空间 ? 四分之一球

半球内的格林函数
1 1 R R 1 G? ( ? ? ? ) 4? rMM 0 ?0 rMM1 ?0 rMM '1 rMM '0
Z Г R
ρ0

M1

M0 Y M’1

O M’0

X

1/4球内的格林函数
1 1 R 1 R G? ( ? ? ? 4? rMM 0 ?0 rMM 0 rMM '0 ?0 rMM '1 ? 1 rMM ''0 R 1 R ? ? ? ) ?0 rMM ''1 rMM '''0 ?0 rMM '''1

M’’1 M’’0

Г R
ρ0

M1

M0 M’0 M’1

O
M’’’
0

M’’’
1

半圆内的格林函数
1 1 R 1 R G? (ln ? ln ? ln ? ln ) 2? rMM 0 ?0 rMM1 rMM '0 ?0 rMM '1
Г M0 M1

ρ0

R

O M’0 M’1

四分之一空间
1 1 1 G? ( ? 4? rMM 0 rMM1 ? 1 rMM 2 ? 1 rMM 3 )
M2 M0

O M3

M1

?平面内的格林函数
1 1 1 1 1 G? (ln ? ln ? ln ? ln ) 2? rMM 0 rMM1 rMM 2 rMM 3
M1 Y M0

O M2 M3

X

?圆(半径为R)内的格林函数
1 1 1 1 1 R G ? (ln ? ln ? ln ? ln ? ln 2? rMM 0 rMM1 rMM 2 rMM 4 ?0 rMM 3 R R R ? ln ? ln ? ln ) ?0 rMM 5 ?0 rMM 6 ?0 rMM 7
M6

Y
M7

roM0 ? ? 0

M2 O M0 M3

M4

x
M1 M5

:应用格林函数法写出拉普拉 斯方程狄氏问题的形式解
第四类问题

? 解题思路:
– 先写出格林函数( 特殊区域的格林函数,注

意二维还是三维)
– 再根据

? ? ? u?0 ? ? ?u ? ? f ( M )
2

u ( M 0 ) ? ? ??
?

?G f (M ) dS ?n
u(M 0 ) ? ??
?

写出形式解,特别注意

?G f (M ) dS ?n

在上半圆域内求格林函数,并写出该问题的 形式解。
?? 2u ? 0 ( x 2 ? y 2 ? a 2 , y ? 0) ? ? u x 2 ? y 2 ? a 2 ? f ( x, y ) ? ? u y ?0 ? g ( x) ? ?

?? 2u ? 0 ( x 2 ? y 2 ? a 2 , y ? 0) ? ? u x 2 ? y 2 ? a 2 ? f ( x, y ) ? ? u y ?0 ? g ( x) ? ?

Y

X

Y

X

在1/2球内求格林函数,并写出该问题的形式解
?? 2 u ? 0 ? ? u ? ? ? ?

( x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 , y ? 0)
x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2

? f ( x, y, z )

u

y?0

? g( x , z )

1 1 R R 1 G? ( ? ? ? ) 4? rMM 0 ?0 rMM1 ?0 rMM '1 rMM '0

重点练习
? p95 4.4.1, p97 4.4.1,习题四 5,6

第五章 贝塞尔函数
? 贝赛尔方程标准形式及解贝赛尔函数
? 贝赛尔函数的母函数 ? 贝赛尔函数的性质
J n ( x) ? ?
m?0 ?

xn?2m (?1) n? 2 m , n?0 2 m!?(n ? m ? 1)
m

– 第一类贝赛尔函数特点
– 第二类贝赛尔函数特点 – 贝塞尔函数的奇偶性

– 递推公式
– 贝赛尔函数的零点 – 第一类边界条件下贝赛尔方程的特征值和特征函数 – 贝塞尔函数的正交完备性 – 贝赛尔函数求定解问题

重点掌握
? 贝赛尔函数的性质,会利用递推公式进行证明和
积分。

第五类问题:贝赛尔函数性质应用

证明 积分

对于一切整数n,由母函数定义,存在贝塞尔 函数的加法定理如下
J n ( x ? y) ?

k ???

?J

?

k

( x) J n ? k ( y )

利用加法定理证明如下结论:
2 2 J0 ( x ) ? 2? J n ( x) ? 1 n ?1 ??

令n=0,y等于-x,则有
J 0 (0) ?
k ???

?J
?

?

k

( x)J ? k (? x)

J 0 (0) ? 1 ? ? J k ( x)J ? k (? x) ? 1
k ???

J ? k ( x) ? (?1) J k ( x)
k

J k (? x) ? (?1) J k ( x)
k

? ? (?1) J k ( x)J k ( x) ? 1
2k k ???

?

?

k ???

?

?

( ?1) 2 k J k ( x)J k ( x ) ? 1

k 为所有整数, ? 上式可改写为:
k ???

?

?

( ?1) 2 k J k ( x )J k ( x ) ? 1
2 2 +J n ( x)+J ? n ( x) ? 1

2 2 J0 ( x )+J12 ( x )+J -1 ( x )+

J ? k ( x ) ? ( ?1) k J k ( x ) ? 上式可改写为:
2 J0 ( x )+J12 ( x )+J12 ( x)+ 2 J0 ( x )+2J12 ( x )+ ?? 2 2 +J n ( x)+J n ( x) ? 1 2 +2J n ( x) ? 1

2 2 ? J0 ( x )+2? J n ( x) ? 1 n ?1

由 ? sin xd ( xJ 0 ( x)) , 利用贝塞尔函数递推 公式及分部积分证明

?

J 0 ( x)sin xdx ? x ? J 0 ( x) ? sin x ? x ? J1 ( x) ? cos x ? C
?

并求积分 已知
?

?

4 0

J 0 ( x)sin xdx
J1 ( ) ? 0.36 4

J 0 ( ) ? 0.85 4

?

? sin xd ( xJ ( x )) ? sin x [ J ( x ) ? xJ 0 0 0 ( x )]dx ? ? ? ? sin xJ 0 ( x)dx ? ? xJ 0? ( x)sin xdx

? sin xJ ( x)dx ? ? sin xd ( xJ ( x)) ? ? xJ ? ( x)sin xdx ? C ? xJ ( x)sin x ? ? xJ ( x)d (sin x) ? ? xJ ? ( x)d (cos x) ? C ? xJ ( x)sin x ? ? xJ ( x)cos xdx ? xJ ? ( x)cos x ? ? cos xd ( xJ ( x)) ? C ? xJ ( x)sin x ? ? xJ ( x)cos xdx ? xJ ( x)cos x ? ? xJ ( x)cos xdx ? C
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

? xJ 0 ( x)sin x ? xJ1 ( x)cos x ? C

?

?

4 0

sin xJ 0 ( x)dx ? 0.27

重点练习
? 习题五 6 16及课堂的相关练习


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