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平面向量及应用


平面向量及其应用 (一)平面向量有关概念、线性运算、共线定理、基本定理
1.设 a, b, c 是非零向量,已知命题 P:若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q:若

a / /b, b / / c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题 是(
A. p ? q B. p ? q C. (?

p) ? (?q)

A

)

D . p ? ( ?q ) A )

2.已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB 同方向的单位向量为( A. ? ,-

?3 ?5

4? ? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?
D

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

3.平面向量 a , b 共线的充要条件是( A. a , b 方向相同 B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 C. ? λ ∈R, b ? ? a

)

D.存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0 .
4.在下列向量组中,可以把向量 a ? ?3,2? 表示出来的是( A. e1 ? (0,0), e2 ? (1,2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) B . e1 ? (?1,2), e2 ? (5,?2) D. e1 ? (2,?3), e2 ? (?2,3) A ) B )

5.在△ABC 中, AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD =2 DC ,则 AD =( A.

2 1 b+ c 3 3

B.

5 2 c- b 3 3

C.

2 1 b- c 3 3

D.

1 2 b+ c 3 3

6. 在 ?ABC 中,已知 D 是边 AB 上的一点,若 AD ? 2 DB , CD ? CA ? ?CB ,则

? ?(
A.

1 3

B

)

1 3

B.

2 3

C.

1 2

D.

3 4

7. 过△ABC 的中线 AD 的中点 E 作直线 PQ 分别交 AB,AC 于 P,Q 两点,如图所示, 若 =m , =n ,则 + = .4

8.在 ?ABC 所在的平面上有一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则 ?PBC 与 ?ABC 的 面积之比是( A. ) B.

1 3

1 2

C.

2 3

D.

3 4

【答案】C

(二)平面向量的坐标运算与数量积
1.设 =(1,-2), =(a,-1), =(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,

B,C 三点共线,则 + 的最小值为________. 8
2.已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 (A )

A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

3.已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量, a ? i ? 2 j , b ? i ? ? j ,且 a 与 b 的夹角为锐角,则 实数λ 的取值范围是 (?? ,?2) ? (?2, )
3 4.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ? ,且 cos ? ? 角为 ? ,则 cos ? = .

1 2

1 ,向量 a ? 3e1 ? 2e2 与 b ? 3e1 ? e2 的夹 3

2 2 3
1 AB ? AC ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

5.已知 A, B, C 为 圆 O 上的三点,若 AO ? _______.

?

?

? 2
?

6.已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ 7.设 向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( A ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

8.A,B,C,D 为平面上四个互异点,且满足( ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】B. 9. 若点 O 是△ABC 所在平面内的一点, 且满足| 的形状为________. 【答案】直角三角形



-2

)·(



)=0,则△



|=|



-2

|, 则△ABC

10. ?ABC 中, AC ? 2, AB ? 3 ? 1, ?BAC ? 45? , BP ? (1 ? ? ) BA ? ? BC (? ? 0) , AP ? 2 . (1)求 BA ? AC 的值; (2)求实数 ? 的值; (3)若 BQ ? BC , AQ 与 BP 交于点 M, AM ? ? MQ ,求实数 ? 的值.
A

2

1 4

C B

【答案】 (1) BA ? AC ?| BA | ? | AC | ? cos135? ? ? 3 ?1 . (2)∵ BP ? (1 ? ? ) BA ? ? BC ,∴ BP ? BA ? ? ( BC ? BA) ,即 AP ? ? AC , 又∵ ? ? 0 ,∴ ? ?
| AP | | AC |
A P M B Q C

?

1 . 2

(3)设 AB ? b, AC ? c .∵ AM ? ? MQ ,∴ AQ ? (? ? 1)MQ , ∴ MQ ?
BQ) ?

1 1 AQ ? ( AB ? ? ?1 ? ?1

1 1 1 1 3 1 ( AB ? BC ) ? [ AB ? ( AC ? AB)] ? b? c. ? ?1 4 ? ?1 4 4( ? ? 1) 4( ? ? 1) 1 ??4 ? BC ? MQ ? ? b? c, 4 4( ? ? 1) 4( ? ? 1)

∵ BM ? BQ ? QM ?

BP ? BA ? AP ? ? AB ?

1 1 AC ? ?b ? c ,且 BM ∥ BP , 2 2

∴?

??4 1 ? ? ? ? (?1) ,得 ? ? 4 . 4( ? ? 1) 2 4( ? ? 1)


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