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第四讲 不等式


第四讲 不 等 式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法.高中阶段将进一步学习一 元二次不等式和分式不等式等知识.本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识. 一、一元二次不等式及其解法 1.形如 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (其中a ? 0) 的不等式称为关于 x 的一元二次不等式. 【例 1】解不等式 x ? x ? 6 ? 0

. 2 分析:不等式左边可以因式分解,根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原 则,将其转化为一元一次不等式组. 解:原不等式可以化为: ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 , 于是: ? ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ? x ? ?3 或? ?? 或? ? x ? ?3或x ? 2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?x ? 2 所以,原不等式的解是 x ? ?3或x ? 2 . 说明:当把一元二次不等式化为 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式后,只要左边可以分解为两 个一次因式,即可运用本题的解法. 【例 2】解下列不等式: (1) ( x ? 2)( x ? 3) ? 6 2 (2) ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 2)(2 x ? 1) 分析:要先将不等式化为 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式,通常使二次项系数为正数. 解:(1) 原不等式可化为: x ? x ? 12 ? 0 ,即 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 2 于是: ? ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 或? ? ?3 ? x ? 4 ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0 2 所以原不等式的解是 ?3 ? x ? 4 . (2) 原不等式可化为: ? x ? 4 x ? 0 ,即 x2 ? 4 x ? 0 ? x( x ? 4) ? 0 于是: ? ?x ? 0 ?x ? 0 或? ? x ? 0或x ? 4 ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0 所以原不等式的解是 x ? 0或x ? 4 . 2. 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 与二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 及一元二 2 2 次方程 ax ? bx ? c ? 0 的关系(简称:三个二次). 2 1 以二次函数 y ? x 2 ? x ? 6 为例: (1) 作出图象; (2) 根据图象容易看到,图象与 x 轴的交点是 (?3, 0), (2, 0) ,即 当 x ? ?3或2 时, y ? 0 .就是说对应的一元二次方程 x ? x ? 6 ? 0 2 的两实根是 x ? ?3或2 . (3) 当 x ? ?3或x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的上方.就 是说 x ? x ? 6 ? 0 的解是 x ? ?3或x ? 2 . 2 2 当 ?3 ? x ? 2 时 , y ? 0 , 对 应 图 像 位 于 x 轴 的 下 方 . 就 是 说 x ? x ? 6 ? 0 的 解 是 ?3 ? x ? 2 . 一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1) 将二次项系数先化为正数; (2) 观测相应的二次函数图象. ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数 根 x1 ,

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