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离散型随机变量的均值与方差、正态分布-概率、统计与统计案例 2012高考一轮数学精品课件


学案7

离散型随机变量的均 值与方差、正态分布

www.laomiaotan400315.com

1.离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量X的分布列为:

X P

x1 p1

x2 p2

… …
<

br />xi pi

… …

xn pn

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则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量 取值的 平均水平 . (1)E(aX+b)= aEX+b . P np . .

(2)若X服从两点分布,则EX= (3)若X~B(n,p),则EX= 2.离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为:

X P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn
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则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值 n EX的偏离程度.而DX=? = (x i - EX) 2 p i 为这些偏离程 ∑ i =1 度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的平 均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差,其算术 平方根 DX 为随机变量X的标准差,记作σX. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变 量 取值偏离于均值的平均程度 .方差或标准差越 小,则随机变量偏离于均值的平均程度 越小 . (1)D(aX+b)= a2DX . p(1-p) . . 返回目录

(2)若X服从两点分布,则DX= (3)若X~B(n,p),则DX=

np(1-p)

3.正态分布
函数φμ,σ(x)=
1 e 2πσ
(x - μ ) 2 2σ 2

,x∈(-∞,+∞),其中实

数μ和σ(σ>0)为参数.我们称φμ,σ(x)的图象为正态分 布密度曲线,简称正态曲线. 一般地,如果对于任何实数a<b,随机变量X满足

P(a<X≤b)=



b φμ,σ(x)dx, a

则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和 N(μ,σ2) .如果随机变量 σ确定,因此正态分布常记作 N(μ,σ2) . X服从正态分布,则记为X~ 正态曲线有以下特点: 返回目录

(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;

(2)曲线是单峰的,它关于
(3)曲线在 x=μ

直线x=μ
1 a 2π

对称;
; ;

处达到峰值 1

(4)曲线与x轴之间的面积为

(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿 平移; (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越 小 曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越 大 曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.

x轴
, ,

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考点一 求期望与方差 一接待中心有A,B,C,D四部热线电话,已知某一时 刻电话A,B占线的概率均为0.5,电话C,D占线的概率 均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该 时刻有ξ部电话占线,试求随机变量ξ的概率分布和它的 期望. 返回目录

【分析】先判断随机变量ξ的可能取值,再用组合 公式和概率公式求出概率,从而求分布列.最后由公式 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn求出期望.
【解析】由题意得ξ的可能取值为0,1,2,3,4. P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09, P(ξ=1)=
2 2 1 C×0.5 ×0.6 + 2

×0.52×0.4×0.6=0.3, C1 2 ×0.52×0.4×0.6+ C1 C1 2 2

2 P(ξ=2)= C×0.52×0.62+ 2

C2 ×0.52×0.42=0.37, 2

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1 P(ξ=3)= C 2 C×0.52×0.4×0.6+ 2 2

C1 C2 ×0.52×0.42=0.2, 2 2
P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04. 于是得到随机变量ξ的概率分布列为: ξ P

0 0.09

1 0.3

2 0.37

3 0.2

4 0.04

所以 Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8 【评析】求随机变量ξ的期望和方差的关键是写出分布列. 返回目录

*对应演练*
A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3.按以往多 次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下:
对阵队员 A1对B1 A2对B2 A3对B3 A队队员胜的概率 A队队员负的概率

2 3 2 5 2 5

1 3 3 5 3 5

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现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0 分.设A队,B队最后所得总分分别为ξ,η.求:
(1)ξ,η的概率分布; (2)Eξ,Eη.

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(1)ξ,η的可能取值分别为3,2,1,0. 2 2 2 8 P(ξ=3)= × × = , 3 5 5 75 P(ξ=2)= 2 3 1 2 2 2 2 3 2 × × + × × + × × = 5 5 3 5 5 3 3 5 5 2 3 3 1 2 3 1 3 P(ξ=1)= × × + × × + × × 3 5 5 3 5 5 3 5 1 P(ξ=0)= × 3 3 = 3 . × 3 5 5 25 根据题意知ξ+η=3,所以 8 P(η=0)=P(ξ=3)= , 75 28 P(η=1)=P(ξ=2)= , 75

28 , 75 2 2 = , 5 5

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2 P(η=2)=P(ξ=1)= ,P(η=3)=P(ξ=0)= 5 ∴ξ,η的概率分布分别为:
ξ 0
3 25

3 . 25

1
2 5

2
28 75

3
8 75

P
ξ P

0
8 75

1
28 75

2 2 5

3 3 25

8 28 3 22 2 (2)3× +2× +1× +0× 25 = 15 75 75 5 23 因为ξ+η=3,所以Eη=3-Eξ= . 15

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考点二

期望和方差的应用

甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的 随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列为:
ξ
P

10
0.5

9
0.2

8
0.1

7
0.1

6
0.05

5
0.05

0
0

ξ
P

10
0.1

9
0.1

8
0.1

7
0.1

6
0.2

5
0.2

0
0.2

计算ξ,η的期望与方差,并以此分析甲、乙的技术优劣. 返回目录

【分析】利用ξ,η的分布列,用期望、方差公式计算 出它们的值,再根据期望、方差的实际意义作出分析. 【解析】依题意,有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1 +7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环). Eη=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2

+0×0.2=5.6(环).
Dξ=(10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(88.85)2×0.1+…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5, Dη=(10-5.6)2×0.1+(9-5.6)2×0.1+(85.6)2×0.1+…+(5-5.6)2×0.2+(0-5.6)2×0.2=10.24, 返回目录

所以Eξ>Eη,说明甲的平均水平比乙高,又因为
Dξ<Dη,说明甲射中的环数比较集中,比较稳定,而乙 射中的环数分散较大,技术波动较大,不稳定,所以甲 比乙的技术好.

【评析】期望反映运动员的平均水平,方差反映运 动员的稳定程度.在实际问题中,应结合实际意义,作出 合理的判断.

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*对应演练*
英语考试有100道选择题,每题4个选项,选对得1分, 否则得0分,学生甲会其中的20道,学生乙会其中的80 道,不会的均随机选择,求甲、乙在这次测验中得分 的期望. 设甲、乙不会题得分分别为随机变量X和Y,由题意知 X~B(80,0.25),Y~B(20,0.25),故 EX=80×0.25=20,EY=20×0.25=5,这样甲、乙期望成 绩分别为40分和85分.

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考点三

正态分布

某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(使用时间: 小时)为随机变量X,已知X~N(1 000,302),要使灯管的 平均寿命为1 000小时的概率为99.7%,问灯管的最低 寿命应控制在多少小时以上?

【分析】因为X~N(1 000,302),即X服从正态分 布,设灯管最低寿命为1 000-a(a>0),由于灯管平均寿 命为1 000,依题意,则应P(1 000-a<X<1 000+a)=99.7%,求得a,即可得出最低寿命1 000a(小时).
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【解析】因为灯管的使用寿命X~N(1 000,

302),为了查表方便,先化为标准正态分布N(0,1);令
Y= X - 1 000 ,即X=1 000+30Y,故Y~N(0,1).
30

设灯管总体寿命最低为1 000-a,则依题意: P(1 000-a<X<1 000+a)=0.997. 又X=1 000+30Y,

a a 所以P(1 000-a<X<1 000+a)=P(<Y< ) 30 30 a a =P(Y< )-?1-P(Y< )? 30 30 a =2P(Y< )-1, 30
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a 所以2P(Y< )-1=0.997, 30 a 所以P(Y< )=0.998 5, 30 a 即Φ( ) =0.998 5,由查表知Φ(2.97)=0.998 5, 30 a 所以 =2.97,所以a≈90,所以X在(910,1 090) 30 内取值的概率为0.997.所以,灯管的总体最低寿命应控
制在910小时以上.

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【评析】在根据正态分布解决实际问题时,一般

以标准正态分布来研究,为此若X~N(μ,σ2),设
X- μ Y= ,则Y~N(1 000,302)且X在(1 000-3×30,1 σ

000+3×30)的概率为99.7%,即X在(910,1 090)内取值 的概率为99.7%,故最低寿命应控制在910小时以上.

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*对应演练*
设随机变量X服从正态分布N(0,1)。求: (1)P(0.02<X<2.33);

(2)P(-1.85<X<0.04);
(3)P(-2.80<X<-1.21).

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(1)P(0.02<X<2.33)
=P(X<2.33)-P(X≤0.02) =Φ(2.33)-Φ(0.02)=0.990 1-0.508 0 =0.482 1. (2) P(-1.85<X<0.04) =P(X<0.04)-P(X≤-1.85) =Φ(0.04)-Φ(-1.85) =Φ(0.04)-[1-Φ(1.85)] =0.516 0-(1-0.967 8)=0.483 8. 返回目录

(3) P(-2.80<X<-1.21) =P(X<-1.21)-P(X≤-2.80) =Φ(-1.21)-Φ(-2.80) =[1-Φ(1.21)]-[1-Φ(2.80)] =Φ(2.80)-Φ(1.21) =0.997 4-0.886 9=0.110 5.

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1.离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变 量的最简明的描写,期望表示在随机试验中取值的概

率的平均值;方差表示随机变量所取的值相对于它的
期望值的集中与离散的程度,即取值的稳定性. 2.在利用期望、方差解应用题时,通常先求期望, 在期望相等的情况下再求方差.

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