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汕头市2015—2016学年度高二期末统考试题 高二理科数学(含答案)


参考
一、选择题: 题号 选项 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C

答案
8 A 9 A 10 B 11 B 12 B

二、填空题: 13、 2 2 , 三、解答题. 17、解:(1)当 n ? 1 时, 2S1 ? 3a1 ?1,? a1 ? 1 …………(1 分) 当 n ? 2 时,

2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? ?3an ?1? ? ?3an?1 ?1? ,即 14、 {m | m ? 3}, 或 m ? ?3,??? , 15、

4? , 3

16、 ? 160

an ? 3 …………(3 分) an?1

? 数列 ?an ? 是以 a1 ? 1 为首项,3 为公比的等比数列,? an ? 3n?1 …………(4 分)
设 ?bn ? 的公差为 d , b1 ? 3a1 ? 3, b3 ? S2 ? 3 ? 7 ? 2d ? 3, d ? 2 …………(5 分) 所以 bn ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 …………(6 分)

2n ? 1 3 5 7 2n ? 1 , Tn ? 1 ? 72 分) ? 3 ?? ? n …………( n 3 3 3 3 3 2n ? 1 3 5 7 2n ? 1 cn ? n , Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ① 3 3 3 3 3 1 3 5 7 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ②,…………(8 分) 3 3 3 3 3
⑵由(1)可知道: cn ? 由①-②得,

2 1 1 1 2n ? 1 Tn ? 1 ? 2( 2 ? 3 ? ........? n ) ? n ?1 …………(9 分) 3 3 3 3 3
n 1 ? ?1? ? 1 ? ? ? ? ? 3? ? ? 3? ? ? 2n ? 1 1 ? ? 2? ? n ?1 …………(10 分) 1 3 3 1? 3

1 2n ? 1 ?1? ? ? 1 ? ? ? ? n?1 …………(11 分) 3 3 ? 3?
所以 Tn ? 2 ?

n

n?2 …………(12 分) 3n

?ABC ? ?BAD ? 90? ,BC ? 2 AD , 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,

?PAB与 ?PAD都是等边三角形.(1)证明: PB ? CD ;
(2)求二面角 A ? PD ? B 的余弦值.

证明: (1)取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 ADEB 为正方形…………(1 分) 过 P 作 PO ? 平面 ABCD ,垂足为点 O ,由 ?PAB与 ?PAD都是等边三角形. 不难得到 PA ? PB ? PD ,所以 OA ? OB ? OD ,…………(2 分) 即点 O 为正方形 ADEB 的对角线交点,故 OE ? BD …………(3 分) 所以 OE ? 平面 PBD ,又 PB ? 平面 PBD ,所以 OE ? PB …………(4 分) 因为 O, E 分别是 BD, BC 的中点,所以 OE // CD ,所以 PB ? CD ;…………(6 分) (2)由(1)知,可以 O 为坐标原点, OE, OB, OP 为 x, y , z 轴的正方向,建立如图所示的 直角坐标系,设 AB ? 2 ,则点 A(? 2 ,0,0) , D(0,? 2 ,0) , P(0,0, 2 ) …………(7 分) 所以 AD ? ( 2,? 2,0) , AP ? ( 2,0, 2 ) ,…………(8 分) 设平面 PAD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) 所以 ?

? ?n ? AD ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?n ? AP ? 2 x ? 2 z ? 0



取 x ? 1 得到 y ? 1, z ? ?1 ,所以 n ? (1,1,?1) …………(9 分) 又 OE ? 平面 PBD ,所以可以取平面 PBD 的一个法向量 m ? (1,0,0) …………(10 分) 由图像可知,该二面角为锐角,可设为 ?

? ?? n?m 1 3 所以 cos ? ? ? ?? ? .…………(12 分) ? 3 3 n?m
19. 2016 年 4 月 21 日上午 10 时,某省会首次启动重污染天气 II 级应急响应,正式实施机 动车车尾号限行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人,将调 查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁)

?15,25?

?25,35?

?35,45?

?45,55?

?55,65?

?65,75?

频数 赞成人数

5 4

10 6

15 9

10 6

5 3

5 4

(1)完成被调查人员的频率分布直方图; (2)若从年龄 ?15,25? , ?25,35? 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 解: (1) 各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 ,所以图中各组的纵坐标分别是 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01,画图……………(2 分)
频率 组距

0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

……………(5 分)

(2) ? 的所有可能取值为:0,1,2,3……………(6 分)

P ?? ? 0 ? ?
P ?? ? 1? ?

2 2 C6 C4 6 15 15 ……………(7 分) ? ? ? ? 2 2 C5 C10 10 45 75
1 1 1 2 C62 C4 C4 ? C6 C4 4 15 6 24 34 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 75 ……………(8 分)

P ?? ? 2 ? ? P ?? ? 3? ?

2 1 2 2 C6 C4 C4 C4 4 15 6 6 22 ……………(9 分) ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 75 1 2 C4 C4 6 6 4 ? ? ? ? ……………(10 分) 2 2 C5 C10 10 45 75

所以 ? 的分布列是:

?
P

0

1

2

3

34 22 4 75 75 75 15 34 22 4 6 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .……………(12 分) 所以 ? 的数学期望是 E? ? 0 ? 75 75 75 75 5

15 75

20.如图,已知抛物线 C1 : y 2 ? 4x 的焦点为 F ,椭圆 C2 的中心在原点, F 为其右焦点,点

M 为曲线 C1 和 C2 在第一象限的交点,且 | MF |?

5 . (1)求椭圆 C2 的标准方程; 2

(2)设 A, B 为抛物线 C1 上的两个动点,且使得线段 AB 的中点 D 在直线 y ? x 上,

P(3, 2) 为定点,求 ?PAB 面积的最大值.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 C 解: (1)设椭圆 2 的方程为 a b ,半焦距为 c .

由已知,点 F (1,0) ,则 c ? 1 .………………(1 分)

M ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ? 0) ,据抛物线定义,得 | MF |? x0 ? 1 .由已知, 设点
x0 ?

x0 ? 1 ?

5 2 ,则

3 3 M ( , 6) y ? 4 x ? 6 0 2 .从而 0 2 ,所以点 .………………(2 分)
2

7 ?3 ? | ME |? ? ? 1? ? 6 ? 2. ?2 ? 设点 E 为椭圆的左焦点,则 E (?1,0) ,

2a ?| ME | ? | MF |?
据椭圆定义,得

7 5 ? ?6 2 2 ,则 a ? 3 .……………(4 分)

x2 y 2 ? ?1 2 2 2 C 8 从而 b ? a ? c ? 8 ,所以椭圆 2 的标准方式是 9 .……(5 分)
(2)设点 D(m, m) ,
2 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y12 ? 4x1, y2 ? 4x2 .

y1 ? y2 4 ? y ? y ? 4( x1 ? x2 ) ,即 x1 ? x2 y1 ? y2 .因为 D 为线段 AB 的中点,则 两式相减,得
2 1 2 2

y1 ? y2 ? 2m .

21.已知函数 f ( x) ? e ln x ?
x

2e x ?1 . x
(2)证明: f ? x ? ? 1 .

(1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f (1)? 处的切线方程;

解:(1)显然函数 f(x)的定义域为(0,+∞),………(1 分)

e x 2 xe x ?1 ? 2e x ?1 f ( x) ? e ln x ? ? x x2 且 ……………(3 分) / 所以切线斜率 k ? f (1) ? e ,且 f (1) ? 2 ……………(4 分)
' x

所以曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1)? 处的切线方程为 y ? 2 ? e( x ? 1) 即 ex ? y ? e ? 2 ? 0 ……………(5 分) (2)由题意知 f ( x) ? 1 ? e x ln x ?

2e x ?1 ?1 x

由于 x ? 0, e x ? 0 ,该不等式可以转化为如下等价的不等式:

x ln x ?

x 2 x 2 ? ,即证对于 ?x ? 0, 不等式 x ln x ? x ? 恒成立。…………(6 分) x e e e e

设 h( x) ? x ln x, ( x ? 0) ,则 h / ( x) ? ln x ? 1

1 1 ,所以函数 h( x) 在 ( ,?? ) 上是增函数。 e e 1 1 由 h / ( x) ? ln x ? 1 ? 0 得到 0 ? x ? , 所以函数 h( x) 在 ( 0, ) 上是减函数。 …………(7 分) e e 1 1 1 1 所以函数 h( x) 在 (0,??) 上有最小值 h( ) ? ln ? ? …………(8 分) e e e e x 2 1? x / 设 g ( x) ? x ? , ( x ? 0) ,则 g ( x ) ? x e e e 1 ? x / 由 g ( x) ? x ? 0 得到 0 ? x ? 1 ,所以函数 g ( x) 在 (0,1) 上是增函数。 e 1 ?x / 由 g ( x ) ? x ? 0 得到 x ? 1 ,所以函数 g ( x) 在 (1,??) 上是减函数。…………(9 分) e 1 2 1 所以函数 g ( x) 在 (0,??) 上有最大值 g (1) ? ? ? ? …………(10 分) e e e
由 h / ( x) ? ln x ? 1 ? 0 得到 x ? 综上所述: x ln x ?

x 2 2e x ?1 x ? ? e ln x ? ? 1 ? f ( x) ? 1 …………(12 分) ex e x

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对 应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答 第一题评分。
22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如图所示,已知 PA 是⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的 割线交圆于 B, C 两点,弦 CD // AP , AD, BC 相交于点

E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC . (1)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (2)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

第 22 题图

解: (Ⅰ)∵ DE 2 ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF ∴ ?DEF ∽ ?CED , ∴ ?EDF ? ?C ……………………(1 分) 又∵ CD // AP , ∴ ?P ? ?C , ……………………(2 分) ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA ∴ ?EDF ∽ ?EPA ,

EA EP ,∴ EA ? ED ? EF ? EP ……………………(3 分) ? EF ED 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,……………………(4 分) ∴ CE ? EB ? EF ? EP .……………………(5 分) (Ⅱ)∵ DE 2 ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 9 ∴ EC ? ,………………(6 分) 2 ∵ CE : BE ? 3 : 2 ∴ BE ? 3 ……………………(7 分)


由(1)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? ∴ BP ? EP ? EB ?

27 .……………………(8 分) 4

15 . 4 ∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA2 ? PB ? PC ………………(9 分) 15 3 15 27 9 ∴ PA2 ? .……………………(10 分) ? ( ? ) ,解得 PA ? 4 4 4 2
23.本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? ? 1 ( ? 为参数), 以直角坐标系原点为极点,x 轴正 y ? 3 sin ? ? ?

半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)若直线 l 的参数方程为 ?

? x?t 其中 t 为参数,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. ? y ? 3t
? ? x ? 2 cos ? ? 1 (α 为参数) y ? 3 sin ? ? ?

解(1)∵曲线 C 的参数方程为 ? ∴曲线 C 的普通方程为

y2 ? ? 1 ……………………(2 分) 4 3 ? x ? ? cos ? 3 将? 代入并化简得: ? ? 2 ? cos ? ? y ? ? sin ? 3 即曲线 c 的极坐标方程为 ? ? ……………………(5 分) 2 ? cos ? (2)直线 l 的普通方程为 y ? 3x ,……………………(6 分) ? x ? ? cos ? 将? 代入并化简得: ? y ? ? sin ? 直线 l 的极坐标方程为: tan? ? 3,? ? ?0,2? ? ……………………(7 分) ? 4? 所以 ? ? 或 ? ? ……………………(8 分) 3 3 ? 4? 6 3 将? ? 或? ? 分别代入 ? ? 得: ? ? 或 ? ? 2 ……………………(9 分) 3 3 5 2 ? cos ? 6 ? 4? ) 即直线 l 与曲线 C 两个交点的极坐标为 A( , ) , B ( 2, 5 3 3 6 16 所以弦长 AB ? ? 2 ? ……………………(10 分) 5 5 24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲

? x ? 1?

2

f ( x) ?| x | ? x ? 1 , g ( x) ? ? | x ? 4 | ? m . (1)解关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ? 1 ? m ? 0 ; (2)若函数 f ( x) 的图像恒在函数 g ( x) 图像的上方,求实数 m 的取值范围.
已知函数 解: (Ⅰ)由 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 得 || x | ? x ? 1 ? 4 |? 1 ,

…………(1 分) ? 3 ?| x | ? x ? 1 ? 5 ……(*) (1) 当 x ? 0 时,不等式(*)可以化为: 3 ? 1 ? 2 x ? 5 ,即 ? 2 ? x ? ?1 ………(2 分)

(2) 当 0 ? x ? 1 时,不等式(*)显然不成立。………(3 分) (3) 当 x ? 0 时,不等式(*)可以化为: 3 ? 2 x ? 1 ? 5 ,即 2 ? x ? 3 ………(4 分) 综上,原不等式的解集为 ? ?2, ?1? ? ? 2,3? ………(5 分) (Ⅱ)∵函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方 ∴ f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 m ?| x | ? x ? 1 ? | x ? 4 | 恒成立………(6 分) 记 h( x) ? x ? x ? 1 ? x ? 4 (1)当 x ? 0 时, h( x) ? x ? x ? 1 ? x ? 4 = 5 ? 3 x ,则 h( x) ? 5 (2)当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? x ? x ? 1 ? x ? 4 = 5 ? x ,则 4 ? h( x) ? 5 ………(7 分) (3)当 1 ? x ? 4 时, h( x) ? x ? x ? 1 ? x ? 4 = 3 ? x ,则 4 ? h( x) ? 7 ………(8 分) (4)当 x ? 4 时, h( x) ? x ? x ? 1 ? x ? 4 = 3 x ? 5 ,则 h( x) ? 7 ………(9 分) 综上, h( x) min ? 4 ∴ m 的取值范围为 m ? 4 . ………(10 分)


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