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高中数学必修五 数列求和方法

时间:2016-11-01


数列求和的方法
一、利用常用求和公式求和 1. 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2. 等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3.
n 1 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1 n 1 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1

4.

n 1 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1

5.

2 2 2 【例题】等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则 a12 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?

. .

★练习 若 12 ? 22 ? ? ? ? n ? 1? ? an3 ? bn2 ? cn ,则 a=
2

,b=

,c=

二、错位相减法求和 主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 【例题】求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 . ★练习 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

三、倒序相加法求和 【例题】已知函数 ,

(1)证明:
?1? (2)求 f ? ? ? ?n?


?2? ?n? f ? ? ? ? ? f ? ? 的值. ?n? ?n?

★练习 求值:

.

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 【例题】求数列 a n ?

1 a n ?1

? 3n ? 2 (a 为常数)的前 n 项和 Sn .

★练习 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和 Sn .
1

五、裂项法求和 (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tan n? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C 1 n ? n ?1 ? n ?1 ? n

(7) a n ?

(8) an ?

【例题】求数列 an ?

1 的前 n 项和 Sn . n?n ? 2?
n ?1 的前 n 项和 Sn . n

★练习 求数列 a n ? ln

六、分段求和法(合并法求和) 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这 些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 【例题】已知数列{an}满足: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2016. ★练习 求数列 a n ? sin 【例题】求数列 an ? ?

n? 的前 2016 项和 S2016. 4

?2n ? 1, n为奇数 的前 n 项和 Sn . n n为偶数 ? 2 ,

★练习 求 S ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (?1)n?1 n2 ( n ? N ? ).

2


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