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吉林省吉林市普通高中2013届高三上学期期末考试 Word版含答案


吉林市普通中学 2012—2013 学年度高中毕业班上学期期末复习检测

数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考生作答时将答案答在答题卡 上,在本试卷上答题无效。 注意事项: 1、答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对 条形码上的准考证号,并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。 2、选择题答案使

用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卡面清洁,不折叠、不破损。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。
2 1.已知集合 M ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} ,

N ? {x 0 ? x ? 2} ,则 M ? (? R N ) =
C. (?3,?1) D. (?1,0] ? [2,3)

A. ( 2,3)

B. [ 2,3)

2.若复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 2 ? i ,则 z 的虚部为 A. i B. ? i C. 1 D. ? 1

3.已知 a ? (2,0) , b ? (1,1) ,则下列结论正确的是 A. a ∥ b C. a ? b 与 b 垂直 B. a ? b D. a 与 b 的夹角为

? 6 4.设 l , m , n 均为直线,其中 m , n 在平面 ? 内,“ l ? ? ”是“ l ? m 且 l ? n ”的
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.在 ?ABC 中, A ? 60?, b ? 3 ,面积 S ? 3 3 ,则 a 等于 A.13 B.

13

C. 7

D.

7

6.设 ? 是正实数,函数 f ( x) ? 2 sin ?x 在 ?? A. 3 2 B.2

? ? ?? , ? 上是增函数,那么 ? 的最大值是 ? 3 4?
C.

12 7

D.3

7.已知某产品的广告费用 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表所示:

x (万元) y (万元)

0 2.2
?

1 4.3
?

3 4.8

4 6.7

从散点图分析, y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95 x ? a ,则据此模型预报广告费用为 6 万元 时销售额为 A. 2.6 万元 B. 8.3 万元 C. 7.3 万元 D. 9.3 万元

8.右图是一个几何体的正视图和侧视图。其俯视图是面积为 8 2 的矩形。则该几何体 的表面积是 A.8 C. 16 B. 20 ? 8 2 D.

24 ? 8 2
2

9.已知函数 f ? x ? 在 R 上满足 f (2 ? x) ? 2 x ? 7 x ? 6 ,则曲线 y ? f ?x ? 在 ?1, f ?1?? 处 的切线方程是 A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

10.

曲线 C1 : y ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 恰好是曲线 C2 :
2

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的右焦 a 2 b2

点,且曲线 C1 与曲线 C 2 交点连线过点 F ,则曲线 C 2 的离心率是

A.

2 ?1

B.

2 ?1 2

C.

6? 2 2

D.

2 ?1

11. 已知 f ? x ? 是定义在 ?? 3,3? 上的奇函数, 当 0 ? x ? 3 时 f ? x ? 的图像如图,那么

y

O

1

2

3

不等式 f ?x ? cos x ? 0 的解集是 A. (?3, ? ) ? (0,1) ? ( ,3)

x

?

?

2

2

B. (?

?

, ?1) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2
?

?

C. (?3, ?1) ? (0,1) ? (1,3)

D. (?3, ? ) ? (0,1) ? (1,3) 2

12 .设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有 且 f ( x ? l ) ? f ( x) , 则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数. 现给出下列命题: ① 函 x ?l ?D, 数 f ( x) ? 2
?x

为 R 上的 1 高调函数;② 函数 f ( x) ? sin 2 x 为 R 上的 ? 高调函数;③ 如
2

果定义域为 [?1,??) 的函数 f ( x) ? x 为 [?1,??) 上 m 高调函数,那么实数 m 的取值范 围是 [ 2,?? ) ;④ 函数 f ( x) ? lg( x ? 2 ? 1) 为 [1,??) 上的 2 高调函数。 其中真命题的个数为 A.0

B.1

C.2

D.3

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 13.已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , S n ? n ? 2n ,
2

则 a4 ? a5 ? a6 ?

。 .

14.按右图的流程图,能够输出结果的概率是 15. 已知 A、B、C 三点在曲线 y= x 上,其横坐标

依次为 0,m,4(0<m<4),当△ABC 的面积最大 是 时,折线 ABC 与曲线 y= x 所围成的封闭图形 的面积为 16.若关于 x 的方程 . 否

x ? kx 2 有四个不同的实数 x?4
.

解,则 k 的取值范围是

三.解答题;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R 2 2

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)确定函数 f ( x) 在 ?0,

? ?? ? 上的单调性并求在此区间 上 f ( x) 的最小值. ? 2?

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 是等比数列, a1 ? 2 ,且 a3 ? 1 是 a1和a4 的等差中项.

(I) 求数列 {a n } 的通项公式 a n ; (II)若 bn ? ln an ? (?1) an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .
n

19. (本小题满分 12 分) 如图:四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠ACB=90°,平面 PAD⊥平 面 ABCD,PA=BC=1,PD=AB= 2 ,E、F 分别为线段 PD 和 BC 的中点. (I) 求证:CE∥平面 PAF; (II) 在线段 BC 上是否存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60° ?若存在,试确定 G 的位置;若不存在,请说明理由.
P

E

A D

B

F

C

20. (本小题满分 12 分) 某校共有 800 名学生,高三一次月考之后,为了了解学生学习情况,用分层抽样方法从 中抽出若干学生此次数学成绩,按成绩分组,制成如下的频率分布表:
组 号 分 组 频 数 频 率 第 一 组 第 二 组 第 三 组 第 四 组 第 五 组 第 六 组 第 七 组 第 八 组

合 计

[70,80)
4

[80, 90)
6

[90,100)
20

[100,110)
22

[110,120)
18

[120,130)

[130,140)
10

[140,150)
5

a
0.15

c

0.04

0.06

0.20

0.22

b

0.10

0.05

1

(I) 李明同学本次数学成绩为 103 分,求他被抽中的概率 p ; (II) 为了了解数学成绩在 120 分以上的学生的心理状态,现决定在第六、七、八组中用分层 抽样方法抽取 6 名学生的成绩,并在这 6 名学生中在随机抽取 2 名由心理老师张老师 负责面谈,求第七组至少有一名学生与张老师面谈的概率; (III) 估计该校本次考试的数学平均分。

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? (I) 当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f ( x) 的最大值; 2
2

(II)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.

22. (本小题满分 12 分) 已知 OA ? ( 2 2 ,0) , OB ? OA ? 0 ,O 为坐标原点,动点 E 满足:

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BE ? BA ? AE ? AB ? 6
(I) 求点 E 的轨迹 C 的方程; (II)过曲线 C 上的动点 P 向圆 O: x ? y ? 1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,
2 2

直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点,求Δ MON 面积的最小值.

命题、校对:董英武 刘明波 杨晓英 张英才 孙长青

吉林市普通中学 2012—2013 学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测

数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题 1 B 2 C 3 C 4 A 5 B 6 A 7 B 8 B 9 C 10 D 11 B 12 D

二、填空题 13: 33 ;14: 1三、解答题

? 4

15: 1/3 ;16: ( , +?)

1 4

17 解 则 的最小正周期是



;……………4 分

(2) ? 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z ? k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ? Z

? ?? ? 5? ? ? ? 所以函数的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? ,k ? Z ; 单调递减区间是 ? k? ? , k? ? ,k ? Z 6 3? 3 6 ? ? ? ?
? ?? ?? ? ? 所以函数f ( x)在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减??? 8分 ? 3? ?3 2? 3 ? 1 3 ? ?? 又f (0) ? ? , f ( ) ? ? .所以函数f ( x)在 ?0, ? 上的最小值是 ? ????10分 2 2 2 2 ? 2?

18. 解 (1)设数列 {a n } 的公比为 q (q ? 0)

(1 分)

? a3 ? 1 是 a1和a4 的等差中项
? 2(a3 ? 1) ? a1 ? a4
(6 分) 解 得 q =2 又 因 为 a1 =2 所 以 an ? 2
n

(2) ? bn ? ln an ? (?1) n an ? ln 2 2 n ?1 ? (?1) n 2 n ? Sn ? ln 2 ?

? n ln 2 ? ( ?1) n 2 n

(n ? 1)n ? [?2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? (?1) n 2 n ] 2 ln 2(n ? 1) n ?2[1 ? ( ?2) n ] 2 ln 2( n ? 1) n 2 ? ? ? ? (?2) n ? ? ????12分 2 3 3 2 3
因为 H、E 分别为 PA、PD 的中点,所以 HE∥AD, HE ? 因为 ABCD 是平行四边形,且 F 为线段 BC 的中点 所以 HE∥FC, HE ? FC 四边形 FCEH 是平行四边形 又 因 为 CE ? 平面PAF , HF ? 平面PAF

19 证明(1)取 PA 中点为 H,连结 CE、HE、FH,

1 AD , 2 1 AD 2

所以 FC∥AD, FC ? 所以 EC∥HF 所 以

CE ∥ 平 面

PAF

……………4 分 (2)因为四边形 ABCD 为平行四边形且∠ACB=90°, 所以 CA⊥AD 又由平面 PAD⊥平面 ABCD 可得 CA⊥平面 PAD 所以 CA⊥PA 由 PA=AD=1,PD=

2 可知,PA⊥AD…………5 分

所以可建立如图所示的平面直角坐标系 A-xyz 因为 PA=BC=1,AB= 2 所以 AC=1 所以 B(0,?1,0), C (1,0,0), P(0,0,1)

假设 BC 上存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60° , 设点 G 的坐标为(1,a,0) , ?1 ? a ? 0 设平面 PAG 的法向量为 m ? ( x, y, z ) 则? 所以 AG ? (1, a,0), AP ? (0,0,1)

? x ? ay ? 0 令 x ? a, y ? ?1, z ? 0 ?z ? 0

所以 m ? (a,?1,0)

.H

.E

又 CG ? (0, b,0), CP ? (?1,0,1) 设平面 PCG 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 则?

?by ? 0 令 x ? 1, y ? 0, z ? 1 所以 n ? (1,0,1) ?? x ? z ? 0

……………9 分

因 为 平 面 PAG 和 平 面 PGC 所 成 二 面 角 的 大 小 为 60° , 所 以

cos? m, n? ?

a a ?1 ? 2
2

?

1 2

所以 a ? ?1 又 ? 1 ? a ? 0 所以 a ? ?1 ……………11 分 所以线段 BC 上存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60° 点G 即为 B 点……12 分 20 解:因为频率和为 1 所以 b ? 0.18, 因为频率=频数/样本容量 所以 c ? 100, a ? 15, (1)每位学生成绩被抽取的机会均等 p ? (1 分) (3 分) (5 分)

100 1 ? 800 8

(2) 在第六、七、八组共有 30 个样本,用分层抽样方法抽取 6 名学生的成绩,每个被 抽取的概率为

1 1 。第七组被抽取的样本数为 ?10 ? 2 。 5 5

将第六组、第八组抽取的样本用 a,b,c,d 表示,第七组抽出的样本用 E,F 表示。 抽取 2 个的方法有 ab ac ad aE aF bd bc bE bF cd cE cF dE dF EF, 共 15 种。 至少含 E 或 F 的取法有 9 种,概率为

3 5

(9 分)

(3)75x0.04+85x0.06+95x0.2+105x0.22+115x0.18+125x0.15+135x0.1+145x0.05=110.4 估计平均分为 110.4 分 (12 分) 21 解 : (1) 依 题 意 , 知 f ( x) 的 定 义 域 为 (0 , + ∞) , 当 a ? b ?

1 时, 2

f ( x) ? ln x ?

1 2 1 x ? x, 4 2
1 1 1 ? ( x ? 2)( x ? 1) ……………2 分 ? x? ? x 2 2 2x

f ' ( x) ?

令 f ' ( x) =0,解得 x ? 1.(∵ x ? 0 ) 当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , 此时 f ( x) 单调递增; 当 x ? 1时, f ' ( x) ? 0 , 此时 f ( x) 单调递减. 所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?
2

3 ,此即为最大值 ……………4 分 4
2

(2)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解, 设 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx , 则 g ' ( x) ?
2

2 x 2 ? 2mx ? 2m . 令 g ' ( x) ? 0 , x

x 2 ? mx ? m ? 0 .
2 2 因为 m ? 0 ,x ? 0 , 所以 x1 ? m ? m ? 4m ? 0 (舍去),x2 ? m ? m ? 4m , …… 6 2 2 分

当 x ? (0, x 2 ) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在(0, x 2 )上单调递减, 当 x ? ( x2 ,??) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在( x 2 ,+∞)单调递增 当 x ? x2 时, g ' ( x2 ) =0, g ( x) 取最小值 g ( x 2 ) .
2 ? x2 ? 2m ln x 2 ? 2mx 2 ? 0, ? g ( x2 ) ? 0, 则? 既? ……………10 分 ? 2 x ? mx ? m ? 0 . ? g ' ( x2 ) ? 0, ? 2 2 ?

所以 2m ln x2 ? mx 2 ? m ? 0 ,因为 m ? 0 ,所以 2 ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 (*) 设函数 h( x) ? 2 ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时, h( x ) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有 一解. 因为 h(1) ? 0 , 所以方程(*)的解为 x2 ? 1 , 即

m ? m 2 ?m 4 2

解得 m ? ?1,

1 ………12 2

分 (直接看出 x=1 时,m=1/2 但未证明唯一性的给 3 分)

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 22.解:(1)设点E(x,y),OE ? OA ? (x ? 2 2,y),OE ? OA ?(x ? 2 2,y) 由已知得 (x ? 2 2)2 ? y2 ? (x ? 2 2)2 ? y 2 ? 6 即E到两定点(?2 2,0), (2 2,0)的距离之和为定值6,且4 2 ? 6 故轨迹C是以(?2 2,0)为焦点,长轴长为6的椭圆, 其方程为 x2 ? y2 ? 1...............(4分) 9

(2)如图,设P(x0 ,y0 )(x0y 0 ? 0)为曲线C上任一点由题设知O、A、P、B在以OP为直径的圆上, x ? y0 2 x0 2 y ) ?(y ? 0 )2 ?( 0 ) 2 2 2 而AB是圆O和以OP为直径的圆的公共弦
2 2

其方程为(x ?

将这两圆的方程相减得AB的方程为:x0 x ? y0y ? 1???? 8分 所以M( 1 1 ,0),N(0, ) x0 y0 1 1 OM ? ON ? 2 2 x0 y 0 1 1 1 ? ? 2 ? x 3 x0 3 2 0 ? y0 ? y02 3 9 ??12分 1

所以SΔ MON ?

1 ? ? 3

当且仅当

x0 1 ? y0 时等号成立,故Δ MON面积的最小值为 3 3


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