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导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)


课题:导数的概念及运算
考纲要求: 1. 了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等); 2. 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义; 3. 理解导函数的概念 熟记基本导数公式; 4. 掌握两个函数和、差、积、商的求导法则; 5. 了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数; 6. 会求“过点 A 的曲线的切线方程”和“在点 A 处

的切线方程”. 教材复习
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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1. 设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义,当自变量在 x ? x0 处有增量 ?x 时,则函数

y ? f ( x) 相应地有增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果 ?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的比
(也叫函数的平均变化率)有极限即

?y ?x

?y 无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函 ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 y? x ? x0 ,即 f ?( x0 ) ? lim ?x ? 0 ?x 在定义式中,设 x ? x0 ? ?x ,则 ?x ? x ? x0 ,当 ?x 趋近于 0 时, x 趋近于 x0 ,因
此,导数的定义式可写成

f ?( x0 ) ? lim

?x ?o

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim . x ? x 0 ?x x ? x0

2. 求函数 y ? f ( x) 的导数的一般步骤: ?1? 求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x)

? 2 ? 求平均变化率 ?x ?
3. 导数的几何意义:
导数 f ?( x0 ) ? lim

?y

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?y ; ? 3? 取极限,得导数 y? ? f ?( x) ? lim ? x ? 0 ?x ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的瞬时变化率,它 ?x ? 0 ?x 反映的函数 y ? f ( x) 在点 x0 处变化 的快慢程度. ..

y ? f ( x) 在 点 x0 可 导 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处 的 切 线 方 程 为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 )

它的几何意义是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率 . 因此,如果

4. 导函数(导数):如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每点处都有导数,此时对于每一
个 x ? (a, b) ,都对应着一个确定的导数 f ?( x ) ,从而构成了一个新的函数 f ?( x ) , 称这个

不会学会,会的做对.

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没有不会做,只有没努力!

函数 f ?( x ) 为函数 y ? f ( x) 在开区间内的导函数,简称导数,也可记作 y? ,即 f ?( x ) = y? = lim

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x
函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数 y?
x ? x0

就是函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) ( x ? (a, b)) = f ?( x0 ) .所以函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数也

上导数 f ?( x ) 在 x0 处的函数值,即 y? 记作 f ?( x0 )
王新敞
奎屯 新疆

x ? x0

5. 几种常见函数的导数: C ' ? 0 ( C 为常数); ( x n )' ? nxn?1 ( n ? Q ); 1 1 (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x ; (ln x )? ? ; (log a x)? ? log a e , (e x )? ? e x ; x x

(a x )? ? a x ln a .
6. 求导法则:法则 1 [u( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v?( x) . 法则 2 [u( x)v( x)]? ? u?( x)v( x) ? u( x)v?( x) , [Cu ( x)]? ? Cu '( x)
法则 3 : ?

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) ? ? v2 ?v?

'

7. 复合函数的求导法则:复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导数和函数 y ? f (u ) , u ? g ( x) 的导
数间的关系为 yx ' ? yu '? ux ' .

8. 导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率,即 k ? f ?( x0 ) , 要注意“过点 A 的曲线的切线方程”与“在点 A 处的切线方程”是不尽相同的,后者 A 必
为切点,前者未必是切点.

典例分析:
题型一 利用导数的定义解题

问题 1.用导数的定义求下列函数的导数: ?1? y ? f ( x) ? x2 ; ? 2 ?

y ? f ( x) ?

4 x2

不会学会,会的做对.

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lim 问题 2. ?1? 已知 △ x ?0

f ( x0 ? 2△x) ? f ( x0 ) ? 1 ,求 f ?( x0 ) 3△x

? 2 ? ( 2013 高三西工大附中二模)若 f ?(3) ? 2 ,则 lim x ?1

f (3) ? f (1 ? 2 x) ? x ?1

题型二 导数的计算

问题 3.求下列函数的导数:

?1?

y ? e ? ln x
x

? 2?

ex ? 1 y? x e ?1

? 3? y ? 1 ? cos x

sin x

? 4 ? y ? ? x 2 ? 1? ? sin x ? x ? cos x

不会学会,会的做对.

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? 5? y ? 3x ? ex ? 2x ? e

? 6?

y ? ? 3 x 3 ? 4 x ? ? ? 2 x ? 1?

问题 3.求下列复合函数的导数.

?1?

y ? ? 2 x ? 3? ;
3

? 2? y ?

3? x ;

? 3? y ? sin ? ? 2x ?
?

??

?; 3?

? 4 ? y ? ln ? 2x ? 5?

题型三 导数的几何意义的应用:求曲线切线的方程 问题 3. ?1? 求过点 P ?1,1? 且与曲线 y ? x3 相切的直线方程.

不会学会,会的做对.

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? 2 ? ( 06 全国Ⅱ文)过点 ? ?1,0 ? 作抛物线 y ? x2 ? x ?1 的切线,则其中一条切线为
A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. 3x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

? 3? ( 08 届高三攸县一中)已知曲线 y ? 3 x 3 ? m 的一条切线方程是 y ? 4 x ? 4 ,则 m
的值为

1

A.

4 3

B. ?

28 3

C.

4 28 或? 3 3

D.

2 13 或? 3 3

? 4?

( 2010 辽宁)已知点 P 在曲线 y ?

? 的取值范围是 A. [0, )

? 4

4 上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 e ?1 ? ? ? 3? 3? B. [ , ) C. ( , D. [ ] ,? ) 4 2 2 4 4
x

? 5? 已知 a 为常数,若曲线 y ? ax2 ? 3x ? ln x 存在与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直的切线,则实数
? 1 ? a 的取值范围是 A. ? ? , ?? ? ? 2 ? 1? ? B. ? ??, ? ? 2? ?
C. ? ?1, ??? D. ? ??, ?1?

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课后练习作业:
1. 若 f ?( x0 ) ? 2 ,求 lim
k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) . 2k

2. ( 07 届高三皖南八校联考)已知 f ( x) ? x2 ? 2 xf ?(2) ,则 f ?(2) ?

3. ( 2012 沈阳模拟)若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在 ? 0, b ? 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 A. a ? 1, b ? 1 B. a ? ?1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ?1 D. a ? ?1, b ? ?1

4. ( 2013 杭州模拟)若存在过点 ?1,0 ? 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax 2 ?
则 a ? A. ?1 或 ?

25 64

B. ?1 或 ?

21 4

C. ?

7 25 或? 4 64

15 x ? 9 都相切, 4 7 D. ? 或 7 4

2 ?2 5. 已知 f ( x) ? x3 ? f ?( ) x 2 ? x ,则 f ( x) 在点 ? , 3 ?3

? 2 ?? f ? ? ? 处的切线方程是 ? 3 ??

6. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 4x2 ? 5x ? 4 . ?1? 求曲线 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程;? 2 ? 求经过点 A ? 2, ?2? 的曲线 f ( x) 的切线方程.

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走向高考:
1. ( 07 湖北文)曲线 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1,? 3) 处的切线方程是

2. ( 2013 广东)若曲线 y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ?

3. ( 2013 江西)设函数 f ( x) 在 (0, ??) 内可导,且 f (e x ) ? x ? e x ,则 f '(1) ?

4. ( 05 北京)过原点作曲线 y ? ex 的切线,则切点的坐标为

,切线的斜率为

5. ( 06 全国)设函数 f ( x) ? cos
则? ?

?

3x ? ? ( 0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f ?( x) 是奇函数,

?

6.( 05 湖南)设 f0 ( x) ? sin x , f1 ( x) ? f0 ?( x) , f 2 ( x) ? f1?( x) ,…, f n?1 ( x) ? f n ?( x) , n ? N ,则 f 2005 ( x) ? A. sin x B. ? sin x C. c o s x D. ? cos x

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7. ( 06 安徽)若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为

A. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; B. x ? 4 y ? 5 ? 0 ; C. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; D. x ? 4 y ? 3 ? 0

8. ( 07 海南)曲线 y ? e 2 在点 ? 4, e 2 ? 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
x

1

A.

9 2 e 2

B. 4e 2

C. 2e 2

D. e2

9. ( 09 湖北)已知函数 f ( x) ? f ?( ) cos x ? sin x 则 f ( ) 的值为 4 4

?

?

10. ( 07 全国Ⅱ文)已知曲线 y ?
A. 1 B. 2

1 x2 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 2 4
C. 3 D. 4

11. ( 08 海南)设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ?
A. e2 B. e C.

ln 2 2

D. ln 2

12. ( 08 全国)曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1, 3) 处的切线的倾斜角为 A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 120?

13.( 07 湖北文)已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是 y ?
则 f (1) ? f ?(1) ?

1 x?2, 2

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