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三角函数专题(解析版)

时间:2016-10-25


三角函数专题 1.(江苏 2008)满足条件 AB ? 2, AC ? 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值为 【答案】 2 2 。 【考点】三角形的计算。 【 分 析 】 设 BC = x , 则 AC = .

2x

, 根 据 面 积 公 式 得 S?ABC =

1 ? AB ? BC ? sin B ?

x 1 ? cos 2 B , 2
根据余弦定理得 cos B ?

AB2 ? BC2 ? AC2 4 ? x 2 ? 2 x 2 4 ? x 2 ,代入上式得 ? ? 2AB ? BC 4x 4x
2 2

128 ? ? x2 ? 12 ? ? 4 ? x2 ? 。 S?ABC = x 1 ? ? ? ? 16 ? 4x ?
由三角形三边关系有 ?

? ? 2x ? x ? 2 ? ?x ? 2 ? 2x

,解得 2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2 。

∴当 x2 ? 12, x ? 2 3 时 S?ABC 取最大值

128 ?2 2。 16

2.(江苏 2009)函数 y ? A sin(? x ? ? )( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = 【答案】3。 【分析】根据函数图象求出函数的周期 T,然后求出 ? : 由 图中可以看出: T ? ? ,∴ T ? ? ? 3.(江苏 2010)定义在区间 ? 0 , .

3 2

? ?

??

2 3

2?

?

。∴ ? ? 3 。

? 上的函数 y ? 6cosx 的图像与 2?

y ? 5tanx 的图像的交点为 P ,过点 P 作 PP 1 ⊥ x 轴于点 P 1 ,直线 PP 1 与 y ? sinx 的图像交于
点 P2 ,则线段 PP 1 的长为 【答案】 .

2 。 3

【考点】余弦函数的图象,正切函数的图象。 【分析】先将求 P1P2 的长转化为求 sinx 的值,再由 x 满足 6cosx = 5tan x 可求出 sinx 的值, 从 而得到答案: 由三角函数的图象,运用数形结合思想,知线段 P1P2 的长即为 sinx 的值,且其中的 x 满足
6cosx = 5tan x ,解得 sinx =

2 2 。∴线段 P1P2 的长为 。 3 3

1

4.(江苏 2010)在锐角三角形 ABC , A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,

b a ? ? 6 cos C ,则 a b

tan C tan C = ? tan A tan B
【答案】4。

.

【考点】正、余弦定理,同角三角函数基本关系的运用。 【分析】 ∵ ∴

b a 3c 2 , ? ? 6cos C ? 6ab cos C ? a 2 ? b 2 ? 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? a b 2

tan C tan C sin C cos B sin A ? sin B cos A sin C sin( A ? B) 1 sin 2 C ? ? ? ? ? ? ? tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B

?

2ab c2 2c 2 2c 2 ? ? ? ?4。 c2 a 2 ? b2 ? c 2 ab 3c 2 2 ?c 2 2

5.(江苏 2011)已知 tan( x ? 【答案】

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为 tan 2 x

.

4 。 9

【考点】三角函数的和差倍计算。 【分析】∵ tan( x ? ∴ tan x ? ∴

?
4

)?

1 ? tan x ?2, 1 ? tan x

1 。 3

tan x tan x ( 1-tan 2 x) 4 = = ? 。 2 tan x tan 2 x 2 9 2 1-tan x

1] 上, 6.(2012 年江苏)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b?R . 其中 a , 若 , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1
【答案】 ?10 。 【考点】周期函数的性质。

?1? ?3? f ? ?? f ? ?, 则 a ? 3b 的值为 ?2? ?2?



【解析】∵ f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,∴ f ? ?1? ? f ?1? ,即 ?a ? 1=

b?2 ①。 2

1 ?3? ? 1? 又∵ f ? ? ? f ? ? ? = ? a ? 1 , 2 ?2? ? 2?

?1? ?3? f ? ?? f ? ?, ?2? ?2?
2

∴ ? a ? 1=

1 2

b?4 ②。 3

联立①②,解得, a =2. b = ? 4 。∴ a ? 3b = ? 10 。 7. (2014 江苏卷 5)已知函数 y ? cos x 与函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的图像有 一个横坐标为 【答案】 ? 6 8. (2014 江苏卷 14)若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值 是 . 【答案】 6 ? 2 4

? 的交点,则 ? 的值是 3

.

9.函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ??? ? 0? 在区间 [ , ] 上是单调的,且 f ( ) ? f (

? ?

?

6 2

2

2? ? ) ? ?f ( ), 3 6

则 ? 的最小值为

.

3


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